Solution des questions proposées par le P. Pepin

NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
MORET-BLANC
Solution des questions proposées
par le P. Pepin
Nouvelles annales de mathématiques 2esérie, tome 14
(1875), p. 371-377
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SOLUTION DES QUESTIONS PROPOSÉES PAR LE P. PEPIN
( \oir mime tome, p. ??û);
PAR M. MORET-BLANC.
i. THÉORÈME. — Si Von désigne par a et b deux
nombres entiers quelconques, Vun des produits
ab(a' — b-), (a>— ib2) (a>— ^b7)
est toujours divisible par 7, savoir : le premier, si la
somme a*-\-b2 est de Vune des formes jl, jl-t-i,
jl-+- 2, y l -f- 4, et le second si cette somme est de l'une
des formes 7/4- 3, 7/4- 5, 7 / -f- 6.
Démonstration. — Un nombre quelconque est de l'une
des formes 7/, 7/zti, 7 / dt 2, 7 / ±: 3.
24.

Les formes correspondantes des carrés sont 7/, 7/ 4-1,
7/-f-4. 7/-+-2.
Le produit ab(a*—b9) est évidemment divisible
par 7:
i° Quand l'un des nombres a et b est divisible par 7;
20 Quand rt2 et b2 sont de même forme.
Dans ces deux cas, a2 4- è2 est de l'une des formes 7/,
7/4-1,7/4-2,7/4-4.
Si l'on a
+ ^2='T/4-(3, 5,6).
Le théorème est donc démontré.
2. THÉORÈME. — Soient a et b deux nombres entiers
quelconques : Vun des deux produits
est toujours divisible par 11, savoir : le premier, si la
somme a* 4- fe2 est de Vune des formes
(1) n/-t- (o, 1, 3,4,5, 9),
et le second, si cette somme est de l'une des formes
(2) 11/-h (2, 6, 7, 8, 10).
Démonstration,—Formes des nombres : 11/, II/±I,
n/±2, u/±3, n/±4, n/±5.
Formes des carrés n/, 11/4-1, 11/4-4?
11/4-5, 11/4-3.

Si l'un des nombres a et b est de forme 11 /, ab est
divisible par 11.
b2— 11/-4- 3
b7= i il 4-9
—36»= n/,
Dans tous ces cas, a2-\-b2 appartient à Tune des
formes (1).
Si a2 et b2 sont de même forme, a2— b2 est divisible
par 11.
<z2=ii/-f-4, ^2—il/-}- 3
5 ^2 =
ll/4-3, ^2— I I / -*- 5
ri/ —I— i, b2=iïl -h 5
n/-h4» ^2= ï i/-f- 9
Dans tous ces cas, a2-f-&2 appartient à l'une des
formes (2), ce qui démontre le théorème.
3. THÉORÈME. — Soient a, è, c,. . . des facteurs pre-
miers inégaux, m~ aaPc;. . ., et <f(n) la fonction nu-

( 3:4 )
mêrique qui exprime combien dans la suite i, 2, 3,..., H
il y a de nombres premiers relativement à n. Cette f onc-
tion jouit de la propriété exprimée par Véquation sui-
vante :
Soit, par exemple, m = 32.5% O/J a
32.52= 225= ?(225) -4- 5(p(9) 4- 3?(25) -4-i5.
La suite des nombres entiers depuis 1 jusqu'à m com-
prend :
i° Les nombres premiers avec m; leur nombre est
<p(m);
a0 Ceux qui ne sont divisibles que par un seul des
nombres premiers a, 6, c,. . .*, leur nombre est
v? (
m\
*-J \«tt/
En effet, on obtiendra ceux qui n'admettent que le
facteur a, eu multipliant les nombres premiers avec—?
dont le nombre est <p ( — ] par les multiples de a, non
' \a*) r ^ r
supérieurs à aa, dont le nombre est — = a*~K\ il y en a
donc aa~io ( — j • De sorte que ^V a*~ ' o f — J exprime
combien, de 1 à m, il y a de nombres divisibles par un
seul des nombres premiers «, è, c,. . . *,
3° Les nombres qui sont divisibles par deux des nom-
bres premiers a, b, c,. . . ; il y en a évidemment