Rappels de cours Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité, Définition

Rappels de cours
Soit (⌦,F,P)un espace de probabilité,
Définition 1. Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans Rd.OnposeD(LX):=z2Rd|Eehz,Xi<+1,
D(MX):=z2Rd|EzX1
1...z
Xd
d<+1
LX:D(LX)!R
z7! Eehz,Xi
GX:D(MX)!R
z7! EzX1
1...z
Xd
d
LXest appelée transformée de Laplace de X.GXest appelée fonction génératrice.
Si Xest une variable aléatoire appartenant à Ln(⌦,F,P)(c’est à dire E[|X|]<+1),
L(n)
X(0) = (1)nE[Xn]
Proposition 2. 1) Si Xet Ysont indépendantes, alors
G(X,Y )(t, u)=GX(t)GY(u)
2) Si Xet Ysont indépendantes, alors
GX+Y(t)=GX(t)GY(t)
3) Si Xnest une variable aléatoire intégrable, alors
G(n)
X(1) = E[X(X1) ...(Xn+ 1)]
Théorème 3. 1) Si LXet LYcoîncident sur un ouvert non vide Rd, alors Xet Yont même loi.
2) Si Xet Ysont indépendantes,
L(X,Y )(x, y)=LX(x)LY(y)
3) Si Xet Ysont indépendantes,
LX+Y(z)=LX(z)LY(z)
Définition 4. Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans Rd.
X:Rd!R
z7! Eeihz,Xi
est appelée fonction caractéristique de X.
Proposition 5. Si Xest une variable aléatoire appartenant à Ln(⌦,F,P)(c’est à dire E[|X|n]<+1), alors
X2Cn(R,R)et pour tout k2{1,...,n},
(k)
X(0) = ikEXk
Si nest pair et si Xest nfois dérivable en zéro, alors Xadmet un moment d’ordre nfini et inE[Xn]=(n)(0).
Théorème 6. 1) X=Ysi et seulement si Xet Yont même loi.
2) Xet Ysont indépendantes si et seulement si
(X,Y )(x, y)=X(x)Y(y)
3) Xet Ysont indépendantes si et seulement si
X+Y(z)=X(z)Y(z)
1

Théorème 7. Les lois suivantes sont caractérisées par leur transformée de Laplace et leur fonction caractéristique
données dans le tableau suivant :
loi loi normale Nµ, 2loi géométrique Geo (p)sur Nloi géométrique Geo (p)sur N⇤
Fonction caractéristique exp µiz 2z2
21p 1peiz
(1p)eiz
1peiz
Transformée de Laplace exp µz +2z2
21p 1pez
(1p)ez
1pez
Fonction génératrice 1p
1pz
(1p)z
1pz
Attention ! Ici la loi géométrique est définie par P(X=k)=pk1(1 p).
Exercice 56
Rappel : Si Xadmet nmoments alors, L(n)
X(0) = (1)nE[Xn].
1. Ainsi, E[X]=L0
X(0) et Var (X)=LX” (0) (L0
x(0))2.
2. Pour tout x2R,g(x)0. Comme Xadmet une transformée de Laplace, la fonction x7! f(x)etx est
intégrable et ´Rf(x)etx =LX(t).Doncgest intégrable et ´Rg(x)dx =LX(t)
LX(t)=1. Conclusion : gest une
densité de probabilité.
3. On calcule
LY(z)=E[exp (zY )]
=ˆR ezyg(y)dy
=´Rezyety f(y)dy
LX(t)
=Ee(z+t)X
LX(t)
=LX(z+t)
LX(t)
4. On trouve
E[Y]=L0
Y(0) = L0
X(t)
LX(t)
Var (Y)=L”Y(0) (L0
Y(0))2
=L”X(t)
LX(t)(L0
X(t))2
(LX(t))2
5. On cherche ftelle que, pour tout ttel que LX(t)2R⇤,
L”X(0) (L0
X(0))2=L”X(t)
LX(t)(L0
X(t))2
(LX(t))2
On pose h(t)=ln(LX(t)).Onremarquequeh0(t)=L0
X(t)
LX(t)et h”(t)=L”X(t) LX(t)(L0
X(t))2
(LX(t))2donc
h”(t)=LX” (0) (L0
X(0))2
,h(t)=LX” (0) (L0
X(0))2
2t2+C1t+C2
=Var (X)
2t2+C1t+C2
avec C2=h(0) = ln (LX(t)) = 0,C1=h0(0) = L0
X(0) = E[X].Donc
LX(t)=eVar (X)
2t2E[X]t
2

On reconnait dans le tableau la transformée de Laplace de la loi N(E[X],VarX)et on conclut que Xest
suit une loi normale : il existe µ2R,>0tels que f(x)= 1
p2⇡2exp (xµ)2
22.Alors,
E[Y]=L0
X(t)
LX(t)=tVar (X)E[X].
Exercice 57
Notons tout d’abord que la loi donnée est une loi de probabilité si b>a0et a<1.
1. Soit z=(z1,z
2)2R2.Alors,
G(X,Y )(z)=EzX
1zY 2
=
0kl<+1
zl
1zk 2(1 a)(ba)albkl1
=b1(1 a)(ba)
+1
k=0
zk
2bk
+1
l=kab1z1l
=b1(1 a)(ba)
+1
k=0
zk
2bkakbkzk 1
+1
l=0 ab1z1l
=b1(1 a)(ba)
1ab1z1
+1
k=0
(az1z2)ksi ab1z1<1
=(1 a)(ba)
(baz1)(1az1z2)si |az1z2|<1et ab1z1<1
2. Soit z12R
GX(z1)=EzX
1
=
0kl<+1
zl
1(1 a)(ba)albkl1
=(1a)(ba)
+1
l=0
zl
1albl1
l
k=0
bk
=(1a)(ba)
+1
l=0
zl
1albl11bl+1
1b
=(1 a)(ba)
(1 b)b1
+1
l=0 z1ab1l
+1
l=0
(az1)l
=(1 a)(ba)
(1 b)b11 1ab1z11 1az1
=(1 a)(ba)
(1 b)1 baz11 1az1
=(1 a)(ba)
(1 b)1az1b+az1 (baz1)(1az1)
=(1 a)(ba)
(1 b)1b (baz1)(1az1)
=(1 a)(ba)
(baz1)(1az1)
3

GY(z2)=EzY
2
=
0kl<+1
zk
2(1 a)(ba)albkl1
=(1a)(ba)
+1
k=0
bk1zk
2
+1
l=kab1l
=(1a)(ba)
+1
k=0
bk1zk
2akbk
+1
l=0 ab1l
=(1a)(ba)
+1
k=0
zk
2akb1
+1
l=0 ab1l
=(1 a)(ba)b1
1ab1
+1
k=0
(az2)k
=(ba)(1a)
ba
+1
k=0
(az2)k
=1a
1az2
3. Xet Ysont indépendantes si et seulement si G(X,Y )=GX·GY.Or,onvoitbienqueG(X,Y )6=GX·GYdonc
Xet Yne sont pas indépendantes. On peut aussi s’en convaincre en observant que
0=P(X=0,Y= 1) 6=P(X= 0) P(Y= 1) >0
4. 1ère méthode : Par la caractérisation d’une loi géométrique, on s’aperçoit que Ysuit la loi géométrique de
paramètre aàvaleursdansN.
2è méthode :
P(Y=j)=
i2N
P(X=i, Y =j)
=
+1
i=j
(1 a)(ba)aibji1
=(1a)(ba)b1bj
+1
i=j
aibi
=(1a)(ba)b1bjajbj
+1
i=j
aijbi+j
=(1a)(ba)b1aj
+1
i=0
aibi
=(1 a)(ba)
b(1 ab1)aj=(1a)aj
Donc Ysuit une loi géométrique de paramètre aàvaleursdansN.
4

Exercice 58
1. L’espace d’arrivée de Xet Yn’est pas mentionné dans l’énoncé. On se place dans le cas général, c’est à dire
le cas où l’espace d’arrivée est Rd.DéterminonslaloideZ.SoitB2BRd,
PZ(B)=P(Z2B)
=P(X1A+Y1A2B)
(1)
=P({X1A+Y1A2B}\A)+P{X1A+Y1A2B}\A
=P({!2⌦|X(!)1A(!)+Y(!)1A(!)2Bet !2A})
+P!2⌦|X(!)1A(!)+Y(!)1A(!)2Bet !2A
=P({!2⌦|X(!)2Bet !2A})+P!2⌦|Y(!)2Bet !2A
=P({X2B}\A)+P{Y2B}\A
(2)
=P(X2B)P(A)+P(Y2B)PA
=PX(B)P(A)+PY(B)PA
(1) est obtenue par la décomposition ⌦=A[A(réunion disjointe). (2) est obtenue par indépendance de A
avec Xet Y.Ainsi,onabien
PZ=P(A)PX+PAPY
2. Soit z2Rd,
Z(z)=Eeihz,Zi
=Eeihz,X1Aieihz,Y 1Ai
=Eeihz,X1Aieihz,Y 1Ai1A+Eeihz,X1Aieihz,Y 1Ai1A
=Eeihz,X1Ai1A+Eeihz,Y 1Ai1A
=Eeihz,X1AiE[1A]+Eeihz,Y 1AiE[1A]
=X(z)P(A)+Y(z)PA
Ainsi, Z=P(A)X+PAY
3. On sait que E[Z]=i0
Z(0) = iP(A)0 X(0) iPA0 Y(0) et
Var (Z)=EZ2E[Z]2
=EX212
A+2XY 1A1A+Y212
A(E[X]P(A))22E[X]E[Y]P(A)PAE[Y]PA2
=EX2P(A)+EY2PA(E[X]P(A))22E[X]E[Y]P(A)PAE[Y]PA2.
Exercice 59
Soit z=(z1,z
2)2R2,
(X+Y,XY)(z1,z
2)=Eeih(z1,z2),(X+Y,XY)i
=Eeiz1(X+Y)+iz2(XY)
=Eei(z1+z2)Xei(z1z2)Y
(1)
=Eei(z1+z2)XEei(z1z2)Y
=X(z1+z2)Y(z1z2)
(2)
=e(z1+z2)2
2e(z1z2)2 2
=ez2
1+2z1z2+z2 2+z2 12z1z2+z2 2
2
=ez2
1ez2 2
5