Rappels de cours Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité, Définition

Rappels de cours
Soit (⌦, F, P) un espace de probabilité,
⇥
d
d
Définition n1. Soit X une
variable
aléatoire
à
valeurs
dans
R
.
On
pose
D
(L
)
:=
z
2
R
|
E
e
X
h
i
o
Xd
X1
d
D (MX ) := z 2 R | E z1 . . . zd
< +1
GX :
⇤
< +1 ,
!
⇥ R
⇤
7
!
E e hz,Xi
D (LX )
z
LX :
hz,Xi
R
h
i
7! E z1X1 . . . zdXd
D (MX )
!
z
LX est appelée transformée de Laplace de X. GX est appelée fonction génératrice.
Si X est une variable aléatoire appartenant à Ln (⌦, F, P) (c’est à dire E [|X|] < +1),
(n)
LX (0)
n
( 1) E [X n ]
=
Proposition 2. 1) Si X et Y sont indépendantes, alors
G(X,Y ) (t, u)
=
GX (t) GY (u)
2) Si X et Y sont indépendantes, alors
GX+Y (t)
=
GX (t) GY (t)
3) Si X n est une variable aléatoire intégrable, alors
(n)
GX (1)
E [X (X
=
1) . . . (X
n + 1)]
Théorème 3. 1) Si LX et LY coîncident sur un ouvert non vide Rd , alors X et Y ont même loi.
2) Si X et Y sont indépendantes,
L(X,Y ) (x, y)
=
LX (x) LY (y)
3) Si X et Y sont indépendantes,
LX+Y (z)
=
LX (z) LY (z)
Définition 4. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans Rd .
X
:
Rd
z
!
7
!
est appelée fonction caractéristique de X.
⇥ R ⇤
E eihz,Xi
n
Proposition 5. Si X est une variable aléatoire appartenant à Ln (⌦, F, P) (c’est à dire E [|X| ] < +1), alors
n
X 2 C (R, R)et pour tout k 2 {1, . . . , n},
⇥ k⇤
(k)
k
X (0) = i E X
Si n est pair et si
X
est n fois dérivable en zéro, alors X admet un moment d’ordre n fini et in E [X n ] =
Théorème 6. 1) X = Y si et seulement si X et Y ont même loi.
2) X et Y sont indépendantes si et seulement si
(X,Y )
(x, y)
=
X
(x)
Y
(y)
3) X et Y sont indépendantes si et seulement si
X+Y
(z)
=
X
1
(z)
Y
(z)
(n)
(0).
Théorème 7. Les lois suivantes sont caractérisées par leur transformée de Laplace et leur fonction caractéristique
données dans le tableau suivant :
loi
loi normale N µ, 2
loi géométrique Geo (p) sur N loi géométrique Geo (p) sur N⇤
⇣
⌘
2 2
(1 p)eiz
1 p
z
Fonction caractéristique
exp µiz
2
1 peiz
1 peiz
⇣
⌘
2 2
(1 p)e z
1 p
z
Transformée de Laplace
exp
µz + 2
1 pe z
1 pe z
(1 p)z
1 pz
1 p
1 pz
Fonction génératrice
Attention ! Ici la loi géométrique est définie par P (X = k) = pk
1
(1
p).
Exercice 56
(n)
n
Rappel : Si X admet n moments alors, LX (0) = ( 1) E [X n ].
2
1. Ainsi, E [X] = L0X (0) et Var (X) = LX ” (0) (L0x (0)) .
2. Pour tout x 2 R, g (x)
0. Comme X admet une transformée de Laplace, la fonction x 7! f (x) e tx est
´
´
X (t)
tx
intégrable et R f (x) e
= LX (t). Donc g est intégrable et R g (x) dx = L
LX (t) = 1. Conclusion : g est une
densité de probabilité.
3. On calcule
LY (z)
E [exp ( zY )]
ˆ
e zy g (y) dy
R
´
e zy e ty f (y) dy
R
LX (t)
⇥ (z+t)X ⇤
E e
LX (t)
LX (z + t)
LX (t)
=
=
=
=
=
4. On trouve
E [Y ] =
Var (Y )
L0X (t)
LX (t)
L0Y (0) =
2
=
L”Y (0)
(L0Y (0))
L”X (t)
LX (t)
(L0X (t))
2
=
(LX (t))
2
5. On cherche f telle que, pour tout t tel que LX (t) 2 R⇤ ,
L”X (0)
(L0X (0))
2
=
On pose h (t) = ln (LX (t)). On remarque que h0 (t) =
h” (t)
=
, h (t)
=
=
LX ” (0)
LX ” (0)
L”X (t)
LX (t)
L0X (t)
LX (t)
(L0X (t))
2
(LX (t))
2
et h” (t) =
(L0X (0))
2
2
(L0X (0)) 2
t + C1 t + C2
2
Var (X) 2
t + C1 t + C2
2
avec C2 = h (0) = ln (LX (t)) = 0, C1 = h0 (0) = L0X (0) =
LX (t) = e
2
L”X (t)
LX (t)
E [X]. Donc
Var(X) 2
t
2
E[X]t
(L0X (t))
2
(LX (t))2
donc
On reconnait dans le tableau la transformée de Laplace de la loi N (E
⇣ [X] , VarX)
⌘ et on conclut que X est
(x µ)2
1
suit une loi normale : il existe µ 2 R, > 0 tels que f (x) = p2⇡ 2 exp
. Alors,
2 2
E [Y ]
L0X (t)
= tVar (X)
LX (t)
=
E [X] .
Exercice 57
Notons tout d’abord que la loi donnée est une loi de probabilité si b > a
1. Soit z = (z1 , z2 ) 2 R . Alors,
0 et a < 1.
2
G(X,Y ) (z)
=
=
⇥
⇤
E z1X z2Y
X
z1l z2k (1
a) al bk
a) (b
l 1
0kl<+1
=
=
=
=
2. Soit z1 2 R
GX (z1 )
=
=
b
1
b
1
b
1
(1
(1
a) (b
+1
X
a)
a) (b
k=0
+1
X
a)
(1 a) (b a)
1 ab 1 z1
z2k bk
+1
X
ab
1
z1
l
l=k
z2k bk ak b
k=0
+1
X
k k
z1
+1
X
ab
z1l (1
l
z1
l=0
k
(az1 z2 ) si ab
1
z1 < 1
k=0
(1 a) (b a)
si |az1 z2 | < 1 et ab
(b az1 ) (1 az1 z2 )
⇥ ⇤
E z1X
X
1
a) (b
a) al bk
1
z1 < 1
l 1
0kl<+1
=
=
(1
(1
a) (b
a) (b
+1
X
a)
l=0
+1
X
a)
z1l al b l 1
=
=
=
=
=
=
(1
a) (b a)
(1 b)
a) (b
(1 b)
(1 a) (b
(1 b)
(1 a) (b
(1 b)
(1 a) (b
(1 b)
(1 a) (b
(b az1 ) (1
a)
z1l al b
a)
a)
a)
b
✓
✓
✓
✓
l 11
1
+1
X
b
b
1
(b
(b
1
bl+1
1 b
z1 ab
l=0
a)
az1 )
3
bk
k=0
l=0
(1
l
X
1 l
+1
X
(az1 )
l=0
1
ab
1
1 az1
◆
1z
1
1
1
1
az1
1 az1
◆
az1 b + az1
az1 ) (1 az1 )
◆
1 b
az1 ) (1 az1 )
◆
l
!
GY (z2 )
=
=
⇥ ⇤
E z2Y
X
z2k (1
a) al bk
a) (b
l 1
0kl<+1
=
=
=
(1
a) (b
(1
a)
a) (b
(1
a)
a) (b
a)
+1
X
k=0
+1
X
k=0
+1
X
bk
1 k
z2
+1
X
=
=
(1
a) (b a) b
1 ab 1
(b
bk
1 k k
z2 a b k
z2k ak
ab
l=0
+1
X
1
b
+1
X
ab
(az2 )
1 l
1 l
l=0
+1
1 X
!
k
k=0
+1
a) X
a) (1
b a
1 l
l=k
k=0
=
ab
(az2 )
k
k=0
1 a
1 az2
3. X et Y sont indépendantes si et seulement si G(X,Y ) = GX · GY . Or, on voit bien que G(X,Y ) 6= GX · GY donc
X et Y ne sont pas indépendantes. On peut aussi s’en convaincre en observant que
0 = P (X = 0, Y = 1)
P (X = 0) P (Y = 1) > 0
6=
4. 1ère méthode : Par la caractérisation d’une loi géométrique, on s’aperçoit que Y suit la loi géométrique de
paramètre a à valeurs dans N.
2è méthode :
P (Y = j)
=
X
P (X = i, Y = j)
i2N
=
+1
X
(1
a) (b
a) ai bj
i 1
i=j
=
(1
a) (b
a) b
1 j
b
+1
X
ai b
i
i=j
=
(1
a) (b
a) b
1 j j
b a b
j
+1
X
i=j
=
(1
a) (b
=
(1 a) (b
b (1 ab
a) b
1 j
a
+1
X
ai b
i
i=0
a) j
a = (1
1)
Donc Y suit une loi géométrique de paramètre a à valeurs dans N.
4
a) aj
ai
j
b
i+j
Exercice 58
1. L’espace d’arrivée de X et Y n’est pas mentionné dans l’énoncé. On se place dans le cas général, c’est à dire
le cas où l’espace d’arrivée est Rd . Déterminons la loi de Z. Soit B 2 B Rd ,
PZ (B)
=
=
(1)
=
=
=
=
(2)
=
=
P (Z 2 B)
P (X1A + Y 1A 2 B)
P ({X1A + Y 1A 2 B} \ A) + P {X1A + Y 1A 2 B} \ A
P ({! 2 ⌦ | X (!) 1A (!) + Y (!) 1A (!) 2 B et ! 2 A})
+P ! 2 ⌦ | X (!) 1A (!) + Y (!) 1A (!) 2 B et ! 2 A
P ({! 2 ⌦ | X (!) 2 B et ! 2 A}) + P
! 2 ⌦ | Y (!) 2 B et ! 2 A
P ({X 2 B} \ A) + P {Y 2 B} \ A
P (X 2 B) P (A) + P (Y 2 B) P A
PX (B) P (A) + PY (B) P A
(1) est obtenue par la décomposition ⌦ = A [ A (réunion disjointe). (2) est obtenue par indépendance de A
avec X et Y . Ainsi, on a bien
PZ
2. Soit z 2 Rd ,
Z
(z)
=
=
=
=
Z
= P (A)
X
+P A
P (A) PX + P A PY
h
i
E eihz,Zi
h
i
E eihz,X1A i e ihz,Y 1A i
h
i
h
i
E eihz,X1A i e ihz,Y 1A i 1A + E eihz,X1A i e ihz,Y 1A i 1A
h
i
h
i
E eihz,X1A i 1A + E e ihz,Y 1A i 1A
h
i
h
i
E eihz,X1A i E [1A ] + E e ihz,Y 1A i E [1A ]
=
=
Ainsi,
=
X
(z) P (A) +
Y
(z) P A
Y
3. On sait que E [Z] = i (0) = iP (A) 0X (0) iP A 0Y (0) et
⇥ ⇤
2
Var (Z) = E Z 2
E [Z]
⇥
⇤
2
= E X 2 12A + 2XY 1A 1A + Y 2 12A
(E [X] P (A))
2E [X] E [Y ] P (A) P A
E [Y ] P A
⇥ 2⇤
⇥ 2⇤
2
2
= E X P (A) + E Y P A
(E [X] P (A))
2E [X] E [Y ] P (A) P A
E [Y ] P A
.
0
Z
Exercice 59
Soit z = (z1 , z2 ) 2 R2 ,
(X+Y,X Y )
(z1 , z2 )
=
=
=
(1)
=
=
(2)
=
h
i
E eih(z1 ,z2 ),(X+Y,X Y )i
h
i
E eiz1 (X+Y )+iz2 (X Y )
h
i
E ei(z1 +z2 )X ei(z1 z2 )Y
h
i h
i
E ei(z1 +z2 )X E ei(z1 z2 )Y
X
e
=
e
=
e
5
(z1 + z2 )
(z1 +z2 )2
2
e
Y
(z1
2 +2z z +z 2 +z 2
z1
1 2
2
1
2
z12
e
z22
(z1
z2 )
z2 ) 2
2
2
2z1 z2 +z2
2
(1) est obtenue par indépendance de X et Y . (2) est obtenue par la caractérisation de la loi normale centrée réduite.
Or,
(z1 )
X+Y
=
X
=
X Y
(z2 )
X
=
par indépendance de X et Y donc
indépendantes.
(X+Y,X Y )
e
=
(z1 , z2 ) =
e
e
X+Y
(z1 )
Y
2
z1
2
(z2 )
2
z2
2
e
(z1 )
2
z1
2
Y
(
z12
=e
( z2 )
z2 )2
2
(z1 )
=e
z22
X Y
(z2 ) et les variables X + Y et X
Y sont
Exercice 60
On pose Y =
Xp
. On détaille le calcul :
(z)
Y
=
=
=
(1)
=
=
Donc, pour tout z 2 R⇤ ,
Y
(z)
=
=
=
!
!+1
Pour z = 0,
Y
(0) = 1 =
N (0,1)
exp
✓ ✓
h X
i p
E e
e
i
p
e
i
p
z
i
h X i
ip z
E e
✓
◆
z
z
p
X
z
⇣ ⇣ z
ip
exp
e
⇣ ⇣ z
⌘
ip
exp
e
1
e
i
p
z
z2
+
2
iz
1+ p
o
!+1
✓
p
z2
exp iz
+ o
z2
!+1
2
✓ 2
◆
z
exp
+ o
z2
!+1
2
e
z2
2
(0). Ainsi
=
Y
N (0,1)
⌘⌘
1
p ⌘
i z
✓
i
z2
p
◆
z
1
◆
◆
i
p
z
◆
(z)
converge simplement vers
N (0,1)
quand
! +1.
Remarque. D’après le théorème de convergence de Lévy, cela signifie que Y converge en loi vers une variable
aléatoire de loi la loi normale centrée réduite quand ! +1.
6