RÉVISIONS ALGÈBRE

RÉVISIONS ALGÈBRE
PSI
1)
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E).
Montrer que : E = Ker(f ) ⊕ Im (f ) ⇐⇒ Im (f ) = Im (f 2 ) ⇐⇒ Ker(f ) = Ker(f 2 ).
2)
Soit E un K-espace vectoriel et
a) Montrer que
b) Calculer
p = f − 3.e
poq,
c) En déduire que
qop
et
f ∈ L(E)
telle que :
q = 4.e − f
et
f 2 − 7.f + 12.e = O
e = IdE .
où
sont des projecteurs de E.
p + q.
Ker p = Im q
et
Im p = Ker q.
Que peut-on en déduire sur p et q ?
d) Exprimer f à l’aide de p et q, et calculer pour n dans N∗ , f n en fonction de p, q, n.
e) Montrer que f est bijective et exprimer f −1 en fonction de p et q.
La formule de d) est-elle valable pour n dans Z ?
3)
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et
g ∈ L(E).
a) Quelle relation existe-t-il entre les dimensions de
Im (g p )
et Ker(g p ),
p étant un entier naturel ?
b) On considère les suites A et B de s-e-v de E définies par : ∀ n ∈ N, An = Ker(g n ) et Bn = Im (g n ).
Montrer que les suites (An )n∈N et (Bn )n∈N sont monotones et stationnaires à partir d’un certain rang m.
On pourra utiliser les dimensions.
c) Montrer que : E = Am ⊕ Bm .
4)
Soit E un espace vectoriel et
a)
Soit z ∈ E tel que
f ∈ L(E)
f p−1 (z) 6= 0E .
nilpotent d’ordre p ∈ N∗
Montrer que
b) Si E est de dimension finie n, comparer n et p.
Ecrire alors la matrice de f dans cette base.
5)
c) En déduire qu’il existe C 6= 0
6)
(z, f (z), . . . , f p−1 (z))
fp = 0
et f p−1 6= 0.
est une famille libre de E.
Que peut-on dire si n = p ?
Soit A une matrice non nulle de Mn (R) telle que :
a) Montrer que A n’est pas inversible.
Mn (R) −→ Mn (R)
b) Soit Φ :
X 7−→ XA
c’est-à-dire
∃ B ∈ Mn (R) − {0} / AB = 0.
Montrer que Φ est un endomorphisme non surjectif (utiliser a))
telle que
CA = 0.
Soit E un espace vectoriel et E1 , E2 , . . . , Ep , p sous-espaces vectoriels de E.
Montrer que :
E1 , E2 , . . . , Ep sont en somme directe
⇐⇒ ∀ i ∈ [[2, p]],
Ei ∩
i−1
X
Ej = {0E } .
j=1
7)
Trouver l’ensemble des entiers n de N∗ tels que
(X 2 + X + 1)2
8)
Pour n dans N∗ ,
F =
9)
Soit A une matrice carrée complexe d’ordre n telle que : A2 = 2In − A.
Calculer, pour m > 2, le reste de la division euclidienne de X m par X 2 + X − 2.
calculer la dérivée n-ième de
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divise
(X + 1)n − X n − 1.
1
.
X(X + 1)(X + 2) . . . (X + n)
En déduire
Am .
10)
Soit n ∈ N.
a) Montrer que
fn :
Rn [X]
P
−→
7−→
Rn [X]
P (X + 1) + P (X)
est un isomorphisme d’espaces vectoriels .
b) Montrer que :
∃ !Pn ∈ Rn [X] / Pn (X + 1) + Pn (X) = 2X n .
c) Montrer que :
0
Pn+1
= (n + 1)Pn .
11)
12)
Soit A ∈ Mn (K).
tr (AB) = 0 =⇒ A = 0.
∀ B ∈ Mn (K),
Montrer que :
Soit D une matrice diagonale de Mn (K) dont les éléments diagonaux sont distincts deux à deux.
Soit A dans Mn (K). Montrer que : AD = DA =⇒ A est diagonale.
13)
Que peut-on dire d’un endomorphisme u d’un espace vectoriel E qui admet un polynôme annulateur de degré 1 ?
14)
Soit
n>2
et A ∈ Mn (R).
a) Montrer que A est de rang 1 si et seulement si il existe une matrice-ligne L et une matrice colonne C non nulles
telles que : A = CL.
b) Montrer que si A est de rang 1, il existe α ∈ R tel que
En déduire que si
α 6= −1
alors
I +A
A2 = αA.
(I + A)−1 = I −
est inversible et
c) Soit A = (aij )16i,j6n la matrice telle que ∀ (i, j) ∈ [[1, n]] 2 ,
Montrer que I − A est inversible et calculer son inverse.

15)



A=


Soit A la matrice de Mn (R) définie par :
16) a) Soit A = (aij )16i,j6n
1
.A
1+α
aij = 1.
0
1
0
..
.
0
0
1
..
.
0
0
0
..
.
...
...
...
..
.
0
0
0
..
.
0
...
...
1
0







Montrer que A est semblable à
une matrice triangulière supérieure de Mn (R) telle que
t
A.
1 6 j 6 i 6 n =⇒ aij = 0.
Montrer que A est nilpotente.

b) n ∈ N.
17)
calculer An pour
1
A= 0
0
2
1
0
On dit qu’une matrice A = (aij ) ∈ Mn (K)
n
X
∀ k ∈ [[1, n]], |akk | >
|akj |.

3
2 .
1
est à diagonale strictement dominante si :
j=1
j6=k
Montrer que toute matrice à diagonale strictement dominante est inversible.
Indication : Raisonner par l’absurde en supposant que Ker A 6= {0}.
18)
Montrer que si p est un projecteur alors sa trace est égale à son rang.
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19)
20)
Pour a et x dans R, calculer le déterminant
Pour tout réel x, on définit
cos x
1
0
Dn = ...
.
..
.
..
0
Dn = D0 = 1,
D1 = cos x
1
0
...
2 cos x
1
...
..
.
1
..
.
2 cos x
..
.
1
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
.
...
1
0
.
..
...
...
1
2
2
..
.
..
.
2
2
..
.
...
...
..
.
2 n [n]
...
..
3
..
.
2
..
.
..
.
.
..
.
2
...
et pour n > 2,
..
.
..
.
0
2 cos x
1
1
2 cos x [n]
...
0
..
.
..
.
..
.
Calculer Dn à l’aide d’une récurrence.
21)
Pour
n > 2,
(a1 , a2 , . . . , an ) ∈ Kn
a1 + b1
a2
..
.
Dn = ..
.
an−1
an
a1
a2 + b2
..
.
..
.
...
...
et
... ...
a2
...
..
..
.
.
..
..
.
.
. . . an−1
... ...
(b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ Kn ,
...
...
..
.
..
.
an−1 + bn−1
an
a1
a2
..
.
..
.
an−1
an + bn
on considère
[n]
Calculer Dn à l’aide de la linéarité par rapport à chacune des colonnes.

22)
Pour n ∈ N∗ et a1 , a2 , . . . , an , n réels, on note
Calculer à l’aide d’une récurrence :
23)
24)
25)



An = 


−a1
1
0
..
.
−a2
0
1
..
.
0
...
. . . . . . −an
... ...
0
0 ...
0
..
..
..
.
.
.
0
1
0




.


∆n = det(An − XIn ).
Soient n un entier impair et A ∈ Mn (R) telle que :
Calculer A3 + In et montrer que det (A) = −1.
Soit D l’endomorphisme de dérivation sur C ∞ (R, R)
A2 = A − In .
et P = X 2 + 1.
Calculer le noyau de P (D).
Pour A ∈ Mn (K), on appelle comatrice de A, et on note com(A),
la matrice de Mn (K) de terme général Aij , cofacteur d’indices i, j.
a) Calculer
A × ( t com(A)) et ( t com(A)) × A
A ∈ GLn (K).
b) On suppose que :
c) Cas particulier
n=2
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Exprimer alors A−1 en fonction de A dans le cas général.
24)
L’incontournable : Les Polynômes de Tchebycheff ! ! ! ! !
Soit (Tk )k∈N la suite de polynômes définie par :
T0 = 1
;
T1 = X
;
∀ k ∈ N∗ ,
Tk+1 = 2XTk − Tk−1
a) Déterminer les polynômes T2 , T3 et T4 .
b) Quels sont le degré de Tn et son coefficient dominant ?
c) Etudier la parité de Tn .
d) Calculer
Tn (1),
Tn (−1) et Tn (0).
e) Montrer que Tn est l’unique polynôme qui vérifie :
∀ θ ∈ R,
Tn (cos θ) = cos(nθ).
f ) Dans cette question uniquement, on suppose que l’entier n est non nul.
Pour quelles valeurs de θ a-t-on Tn (cos θ) = 0 ?
Montrer alors que Tn a n racines réelles distinctes dans [−1, 1]. Conclure.
g) Déterminer les racines de Tn0 .
On définit l’application Φ telle que :
∀ P ∈ Rn [X],
Φ(P ) = (X 2 − 1)P 00 + XP 0
h) Montrer que Φ est un endomorphisme de Rn [X].
i) Soit P ∈ Rn [X].
Calculer le degré de Φ(P ) en fonction de celui de P .
j) En déduire le noyau de Φ.
k) Déterminer la matrice de Φ dans la base canonique
(1, X, X 2 , . . . , X n ) de Rn [X].
l) Calculer la trace de Φ.
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