RÉVISIONS ALGÈBRE

PSI RÉVISIONS ALGÈBRE
1) Soit Eun espace vectoriel de dimension finie et f∈ L(E).
Montrer que : E= Ker(f)⊕Im (f)⇐⇒ Im (f) = Im (f2)⇐⇒ Ker(f) = Ker(f2).
2) Soit Eun K-espace vectoriel et f∈ L(E)telle que : f2−7.f + 12.e =Ooù e=IdE.
a) Montrer que p=f−3.e et q= 4.e −fsont des projecteurs de E.
b) Calculer poq, qop et p+q.
c) En déduire que Ker p= Im qet Im p= Ker q. Que peut-on en déduire sur pet q?
d) Exprimer fà l’aide de pet q, et calculer pour ndans N∗,fnen fonction de p, q, n.
e) Montrer que fest bijective et exprimer f−1en fonction de pet q.
La formule de d) est-elle valable pour ndans Z?
3) Soit Eun espace vectoriel de dimension finie et g∈ L(E).
a) Quelle relation existe-t-il entre les dimensions de Im (gp)et Ker(gp),pétant un entier naturel ?
b) On considère les suites Aet Bde s-e-v de Edéfinies par : ∀n∈N, An= Ker(gn)et Bn= Im (gn).
Montrer que les suites (An)n∈Net (Bn)n∈Nsont monotones et stationnaires à partir d’un certain rang m.
On pourra utiliser les dimensions.
c) Montrer que : E=Am⊕Bm.
4) Soit Eun espace vectoriel et f∈ L(E)nilpotent d’ordre p∈N∗c’est-à-dire fp= 0 et fp−16= 0.
a) Soit z∈Etel que fp−1(z)6= 0E. Montrer que (z, f(z), . . . , fp−1(z)) est une famille libre de E.
b) Si Eest de dimension finie n, comparer net p. Que peut-on dire si n=p?
Ecrire alors la matrice de fdans cette base.
5) Soit Aune matrice non nulle de Mn(R)telle que : ∃B∈Mn(R)− {0}/ AB = 0.
a) Montrer que An’est pas inversible.
b) Soit Φ : Mn(R)−→ Mn(R)
X7−→ XA Montrer que Φest un endomorphisme non surjectif (utiliser a))
c) En déduire qu’il existe C6= 0 telle que CA = 0.
6) Soit Eun espace vectoriel et E1, E2, . . . , Ep,psous-espaces vectoriels de E.
Montrer que : E1,E2, . . . , Epsont en somme directe ⇐⇒ ∀i∈[[2, p]], Ei∩
i−1
X
j=1
Ej={0E}.
7) Trouver l’ensemble des entiers nde N∗tels que (X2+X+ 1)2divise (X+ 1)n−Xn−1.
8) Pour ndans N∗, calculer la dérivée n-ième de F=1
X(X+ 1)(X+ 2) . . . (X+n).
9) Soit Aune matrice carrée complexe d’ordre ntelle que : A2= 2In−A.
Calculer, pour m>2, le reste de la division euclidienne de Xmpar X2+X−2. En déduire Am.
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10) Soit n∈N.
a) Montrer que fn:Rn[X]−→ Rn[X]
P7−→ P(X+ 1) + P(X)est un isomorphisme d’espaces vectoriels .
b) Montrer que : ∃!Pn∈Rn[X]/ Pn(X+ 1) + Pn(X)=2Xn.
c) Montrer que : P0
n+1 = (n+ 1)Pn.
11) Soit A∈Mn(K). Montrer que : ∀B∈Mn(K),tr (AB)=0=⇒A= 0.
12) Soit Dune matrice diagonale de Mn(K)dont les éléments diagonaux sont distincts deux à deux.
Soit Adans Mn(K). Montrer que : AD =DA =⇒Aest diagonale.
13) Que peut-on dire d’un endomorphisme ud’un espace vectoriel Equi admet un polynôme annulateur de degré 1?
14) Soit n>2et A∈Mn(R).
a) Montrer que Aest de rang 1 si et seulement si il existe une matrice-ligne Let une matrice colonne Cnon nulles
telles que : A=CL.
b) Montrer que si Aest de rang 1, il existe α∈Rtel que A2=αA.
En déduire que si α6=−1alors I+Aest inversible et (I+A)−1=I−1
1 + α.A
c) Soit A= (aij )16i,j6nla matrice telle que ∀(i, j)∈[[1, n]]2, aij = 1.
Montrer que I−Aest inversible et calculer son inverse.
15) Soit Ala matrice de Mn(R)définie par : A=
0 0 0 . . . 0
1 0 0 . . . 0
0 1 0 . . . 0
.
.
...........
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.
0. . . . . . 1 0
Montrer que Aest semblable à tA.
16) a) Soit A= (aij )16i,j6nune matrice triangulière supérieure de Mn(R)telle que 16j6i6n=⇒aij = 0.
Montrer que Aest nilpotente.
b) n∈N. calculer Anpour A=
123
012
001
.
17) On dit qu’une matrice A= (aij )∈Mn(K)est à diagonale strictement dominante si :
∀k∈[[1, n]],|akk|>
n
X
j=1
j6=k
|akj |.
Montrer que toute matrice à diagonale strictement dominante est inversible.
Indication : Raisonner par l’absurde en supposant que Ker A6={0}.
18) Montrer que si pest un projecteur alors sa trace est égale à son rang.
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19) Pour aet xdans R, calculer le déterminant Dn=
1 2 . . . . . . 2
2 2 ....
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....3....
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.......2
2. . . . . . 2n
[n]
20) Pour tout réel x, on définit D0= 1, D1= cos xet pour n>2,
Dn=
cos x1 0 . . . . . . . . . 0
1 2 cos x1....
.
.
0 1 2 cos x1....
.
.
.
.
.................
.
.
.
.
.............0
.
.
....1 2 cos x1
0. . . . . . . . . 0 1 2 cos x
[n]
Calculer Dnà l’aide d’une récurrence.
21) Pour n>2,(a1, a2, . . . , an)∈Knet (b1, b2, . . . , bn)∈Kn, on considère
Dn=
a1+b1a1. . . . . . . . . a1
a2a2+b2a2. . . . . . a2
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..
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..
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..
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an−1. . . . . . an−1an−1+bn−1an−1
an. . . . . . . . . anan+bn
[n]
Calculer Dnà l’aide de la linéarité par rapport à chacune des colonnes.
22) Pour n∈N∗et a1,a2, . . . , an,nréels, on note An=
−a1−a2. . . . . . −an
1 0 . . . . . . 0
0 1 0 . . . 0
.
.
...........
.
.
0. . . 0 1 0
.
Calculer à l’aide d’une récurrence : ∆n=det(An−XIn).
23) Soient nun entier impair et A∈Mn(R)telle que : A2=A−In.
Calculer A3+Inet montrer que det (A) = −1.
24) Soit Dl’endomorphisme de dérivation sur C∞(R,R)et P=X2+ 1. Calculer le noyau de P(D).
25) Pour A∈ Mn(K), on appelle comatrice de A, et on note com(A),
la matrice de Mn(K)de terme général Aij , cofacteur d’indices i, j.
a) Calculer A×(tcom(A)) et (tcom(A)) ×A
b) On suppose que : A∈GLn(K). Exprimer alors A−1en fonction de Adans le cas général.
c) Cas particulier n= 2
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24) L’incontournable : Les Polynômes de Tchebycheff ! ! ! ! !
Soit (Tk)k∈Nla suite de polynômes définie par :
T0= 1 ; T1=X;∀k∈N∗, Tk+1 = 2XTk−Tk−1
a) Déterminer les polynômes T2,T3et T4.
b) Quels sont le degré de Tnet son coefficient dominant ?
c) Etudier la parité de Tn.
d) Calculer Tn(1), Tn(−1) et Tn(0).
e) Montrer que Tnest l’unique polynôme qui vérifie : ∀θ∈R, Tn(cos θ) = cos(nθ).
f) Dans cette question uniquement, on suppose que l’entier nest non nul.
Pour quelles valeurs de θa-t-on Tn(cos θ)=0?
Montrer alors que Tnanracines réelles distinctes dans [−1,1]. Conclure.
g) Déterminer les racines de T0
n.
On définit l’application Φtelle que : ∀P∈Rn[X],Φ(P)=(X2−1)P00 +XP 0
h) Montrer que Φest un endomorphisme de Rn[X].
i) Soit P∈Rn[X]. Calculer le degré de Φ(P)en fonction de celui de P.
j) En déduire le noyau de Φ.
k) Déterminer la matrice de Φdans la base canonique (1, X, X2, . . . , Xn)de Rn[X].
l) Calculer la trace de Φ.
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