Cours seconde 5 Les ensembles de nombres 1 Les nombres entiers Définition 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ................50 ; 51 ; 52 ; ........ sont des nombres entiers naturels L’ensemble de ces nombres est appelé N Exemples 7 ∈ N mais −7 ∈ / N et 3, 8 ∈ /N Définition ........ -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ..... sont des nombres entiers relatifs L’ensemble de ces nombres est appelé Z Exemples 7 ∈ Z ; −7 ∈ Z et 3, 8 ∈ /Z Remarque N est inclus dans Z N⊂Z C’est à dire que tout entier naturel est un entier relatif 2 Les nombres rationnels Définition a On appelle nombre rationnel tout nombre qui peut s’écrire sous la forme où a est un entier relatif et b un b entier relatif non nul. a L’écriture est appelée écriture fractionnaire . b L’ensemble de ces nombres est noté Q Exemples 7 ∈ Q; 1 5 ∈ Q ; ∈ Q ; 3, 8 ∈ Q 2 3 Remarques – N⊂Z⊂Q – Un nombre rationnel admet une infinité d’écriture fractionnaire. 4 8 20 Par exemple peut s’écrire : ; − .... 3 6 15 3 Cas particuliers : les nombres décimaux Définition On appelle nombre décimal tout nombre qui peut s’écrire sous la forme a où a et n sont des entiers relatifs 10n L’ensemble de ces nombres est noté D Remarques – D ⊂ Q , les décimaux sont des rationnels particuliers. – Comme on divise un nombre entier par une puissance de 10 l’écriture décimale d’un nombre décimale admet un nombre fini de chiffres après la virgule . ( la division se termine ) Exemples 1385 4 3 75 ∈ D; − ∈ D; = ∈D 100 10000 4 100 1 1 Par contre : ∈ / D car on ne peut pas obtenir une fraction égale à avec une puissance de 10 au dénominateur. 3 3 1 En fait : = 0, 3333333..... 3 L’écriture décimale admet un nombre infini de chiffres après la virgule Hervé Gurgey 1 8 septembre 2008 Cours seconde 5 Définition Tout nombre décimal positif s’écrit de manière unique sous la forme a × 10p avec 1 ≤ a < 10 et p entier relatif Cette écriture est appelée écriture scientifique de ce nombre. Exemple L’écriture scientifique de 2328423 est 2, 328423 × 106 On dit que : 2 × 106 est l’ordre de grandeur de 2328423 4 Les autres nombres Il existe des nombres qui n’appartiennent à aucun des ensembles que nous venons de définir. √ / Q ou π ∈ /Q On démontre par exemple que : 2 ∈ ces nombres sont appelés nombres irrationnels ils appartiennent ( avec tous les nombres définis précédemment) à l’ensemble des nombres réels Définition qui est noté : R l’ensemble des nombres réels est l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée. c’est à dire munie d’un repère (O,I) . Cette droite, qui représente R est appelée droite des réels ou droite numérique 5 Récapitulatif les différents ensembles de nombres sont emboı̂tés : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R R Q D Z N Hervé Gurgey 2 8 septembre 2008