cours_pdf

Probabilités
Table des matières
1 Mots clés - Notations - Formules 3
1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 q.c.m préliminaire 6
2.1 énoncé 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 énoncé 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 petite évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 loi des grands nombres 15
3.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 probabilité 18
4.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 probabilités et opérations sur les événements 32
5.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1.2 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1.3 activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.4 activité 4 : tables de vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2.1 corrigé activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2.2 corrigé activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.3 corrigé activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 probabilités et expériences aléatoires composées 43
6.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.2 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.3 activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.1.4 activité 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1

7 exercices 50
8 devoir maison 57
8.1 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9 évaluations 59
9.1 évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.2 corrigé évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
10 révision 61

1 Mots clés - Notations - Formules
1.1 Vocabulaire
Il faut connaître la signification des mots ou expressions suivantes :
1. une expérience aléatoire
2. l’univers d’une expérience aléatoire
3. les issues d’une expérience aléatoire
4. les événements élémentaires d’une expérience aléatoire
5. les événements éventualités d’une expérience aléatoire
6. probabilité d’un événement élémentaire
7. probabilité d’un événement quelconque
8. cas de l’équiprobabilité
9. événement favorable
10. sous ensemble d’un ensemble
11. sous ensemble inclu dans un ensemble
12. événement contraire d’un événement
13. intersection d’événements
14. ensembles disjoints
15. événement incompatibles
16. événement impossible
17. événement certain
18. réunion d’événements
19. expérience aléatoire composée
20. arbre de dénombrement

1.2 Notations
Il faut connaître la signification des notations mathématiques suivantes :
1. p
2. p(A)
3. p(xi)
4. U
5. Ω
6. xi∈Ω
7. A⊂Ω
8. A∪B
9. A∩B
10. A
11. ∅

1.3 Formules
Il faut connaître par coeur les résultats suivants :
1. U={x1;x2;...;xn}
Une probabilité pdéfinie sur Uest une fonction de Uvers [0; 1]
qui à chaque xiassocie un nombre p(xi)compris entre 0 et 1 et telle que :
✞
✝☎ ✆
p(x1) + p(x2) + ... +p(xn) = 1 (la somme des probabilités des issues vaut 1)
2. Soit un l’univers U={x1;x2;...;xn}sur lequel est défini une probabilité p
Soit Aune partie de U
•Si A6=∅est constituée des issues xi1;...;xik(A={xi1;...;xik})
alors la probabilité de Aest le nombre noté p(A)avec : ✞
✝☎ ✆
p(A) = p(xi1) + ... +p(xik)
(p(A)est la somme des issues qui constituent A)
•Si ✞
✝☎ ✆
A=∅alors ✞
✝☎ ✆
p(A) = 0 on dit que Aest un événement "impossible"
•si ✞
✝☎ ✆
p(A) = 1 on dit que Aest un événement "certain"
3. Soit l’univers U={x1;x2;...;xn}constitué de n > 0issues et pune probabilité
(1) Si ☛
✡
✟
✠
p(x1) = p(x2) = ... =p(xn) = 1
nalors on dit qu’il y a "équiprobabilité"
(toutes les éventualités ont la même probabilité)
(2) Soit Aune partie de Uconstituée des kévénements élémentaires xi1;...;xik
S’il y a équiprobabilité alors ☛
✡
✟
✠
p(A) = k
nou encore ☛
✡
✟
✠
p(A) = nombre de cas f avorables pour A
nombre de cas au total
4. Soit un univers U={x1;x2;...;xn}
Soient A⊂Uun sous ensemble de U
Soient B⊂Uun sous ensemble de U
(1) pour ✞
✝☎ ✆
Ale contraire de Aon a : ✞
✝☎ ✆
p(A) = 1 −p(A)
(2) pour ✄
✂ ✁
A∪Bla réunion de Aet Bon a : ✞
✝☎ ✆
p(A∪B) = p(A) + p(B)−p(A∩B)
(3) si ✞
✝☎ ✆
A∩B=∅(Aet Bincompatibles) on a : ✞
✝☎ ✆
p(A∪B) = p(A) + p(B)