Le lambda calcul vu comme monade initiale

Facult´ e des Sciences
D´ epartement de Math´ ematiques
Le lambda calcul vu comme
monade initiale
M´emoire de Recherche
master 2
ann´ee 2005/06
Directeur : Andr´e Hirschowitz
Auteur : Julianna Zsid´o

Remerciements
J’aimerais remercier tous ceux qui m’ont rendu ce stage de master 2 et ce m´emoire de recherche
possibles :
Tout d’abord M. Hirschowitz, mon directeur de stage, pour avoir dispens´e le cours de lambda
calcul au premier trimestre et ´eveill´e mon interˆet, pour m’avoir propos´e un sujet de stage et
pour l’avoir encadr´e.
Les autres professeurs de master 2 pour leur enseignement, en particulier M. Pottier pour le
cours de preuves formelles et l’introduction `a Coq. M. Maggesi pour ses «Coq–libraries».
Claudine pour avoir ´et´e l`a chaque jour pendant le troisi`eme trimestre et pour m’avoir ´ecout´ee,
conseill´ee et aid´ee. Pierre qui a toujours ´et´e interess´e `a discuter de mon sujet. Thu pour sa
disponibilit´e `a r´epondre `a mes petites questions sur les cat´egories.
Mme Laurent et M. Thomin de la biblioth`eque du laboratoire, Mme Lachkar, la secr´etaire du
master 2 et M. Lacroix pour m’avoir facilit´e l’acc`es aux ressources dont j’avais besoin.
Mes parents, en particulier pour m’avoir soutenu pendant mes ´etudes en France.
Julianna Zsid´o

Table des mati`eres
1 Introduction 1
2 Lambda Calcul non-typ´e 3
2.1 Monades et modules sur monades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Pull–back module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Monade exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Lambda calcul simplement typ´e 14
4 Perspective 18
Bibliographie 20
i

Chapitre 1
Introduction
Quand on cherche dans les r´ef´erences de la litt´erature (par exemple [Bar85], [Bar00], [Har02],
[Ber02]) la d´efinition du lambda calcul pur, on trouve qu’il s’agit d’une th´eorie des fonctions.
Celles–ci sont vues comme une r`egle de correspondance sans types : une fonction peut ˆetre ap-
pliqu´ee mˆeme `a elle–mˆeme parce qu’il n’y a pas de notions de domaine et de codomaine. Dans
[Har02] ce point de vue est appel´e «intentionnel»par contraste avec le point de vue «extension-
nel»dans lequel on consid`ere une fonction comme son graphe, c’est–`a–dire comme un ensemble
de couples.
Puis on trouve des remarques sur l’histoire du lambda calcul, contenant les noms des cher-
cheurs associ´es. Les personnes li´ees fortement au lambda calcul sont premi`erement son inventeur
A. Church et ses deux ´el`eves J. B. Rosser et S. C. Kleene qui ont contribu´e au d´eveloppement,
par exemple en prouvant l’inconsistance du syst`eme initial publi´e par Church. Apr`es s’ˆetre res-
treint `a un sous–syst`eme, la consistance ´etait d´emontr´ee par le th´eor`eme de Church–Rosser. Les
noms de H. B. Curry et A. Turing ne peuvent pas ˆetre omis dans cette liste car la logique combi-
natoire de Curry est reli´ee au lambda calcul. Ainsi que les fonctions calculables par une machine
de Turing sont ´equivalentes `a la classe des fonctions λ–calculables, d´efinies formellement par le
lambda calcul.
Ensuite, plusieurs aspects et int´erˆets du lambda calcul sont donn´es. Par exemple l’intention
de d´evelopper un fondement des math´ematiques, le mod`ele de la calculabilit´e, des aspects infor-
matiques, etc. Dans ce contexte la simplicit´e1et la puissance de la construction sont soulign´ees.
Parfois il y a une r´ef´erence au lambda calcul simplement typ´e qui limite la notion g´en´erale
de fonction en ajoutant domaine et codomaine par l’interm´ediaire du typage. Son int´erˆet : les
termes typables sont les fonctions calculables2. De plus il permet d’´etablir la correspondance de
Curry–Howard entre les propositions logiques et les termes typ´es.
Mais on ne trouve pas une caract´erisation ou une d´efinition conceptuelle du lambda calcul
dans l’environnement math´ematique classique. Un des buts de [HM05] est d’y pallier. Comme la
r´ef´erence de base de ce m´emoire est [HM05], il essaie de contribuer `a cette caract´erisation. Les
structures d’une monade et d’un module sur une monade sont les bonnes notions, en particulier
pour la liaison d’une variable par l’abstraction. Un outil employ´e pour v´erifier les preuves est le
logiciel Coq d´evelopp´e `a INRIA, un outil d’aide `a la preuve. Ces preuves peuvent ˆetre consult´ees
1l’application, l’abstraction et la beta–r´eduction, qui est la r`egle principal du calcul
2C’est la th`ese de Church.
1

CHAPITRE 1. INTRODUCTION 2
sur l’internet `a l’adresse suivant : http ://math.unice.fr/∼zsido/st.
Ce m´emoire consiste surtout en deux parties. La premi`ere traite du lambda calcul non–typ´e
et la deuxi`eme du lambda calcul simplement typ´e. Le deuxi`eme chapitre est bas´e sur [HM05].
On y introduit et ´etudie les structures cat´egorielles, les monades, les modules et les morphismes
afin de caract´eriser le lambda calcul pur ou non–typ´e comme l’objet initial de la cat´egorie des
monades exponentielles. Les preuves des deux premi`eres sections ont ´et´e r´ealis´ees par le logiciel
Coq. Le troisi`eme chapitre est un analogue du chapitre pr´ec´edent, o`u les diff´erences de structure
avec le cas non–typ´e sont soulign´ees. Toutes les preuves ont ´et´e r´ealis´ees par Coq. Enfin, dans le
quatri`eme chapitre, on donne une perspective pour unifier et g´en´eraliser les deux cas pr´ec´edents.