DM n°4 : Circuits en Régime Sinusoïdal

Optimal Sup-Spé. Le n°1 en Sup-Spé
DM n°4 : Circuits en Régime
Sinusoïdal
Préparation ITPE Interne - Concours 2016-2017
Un constructeur de bobines doit indiquer l’inductance des composantes qu’il vend, cette mesure est souvent donnée
à 5% près pour les bobines commerciales classiques mais peut être bien plus précise si l’on cherche à construire un
circuit de précision. On propose ici des méthodes expérimentales pour caractériser entièrement une bobine quelconque.
Le constructeur peut utiliser une de ces techniques pour ensuite indiquer l’inductance au consommateur.
On dispose donc d’une bobine, que l’on modélise par une inductance pure L en série avec une résistance r ; ce sont
des constantes positives indépendantes de la fréquence).
uptq
L
iptq
I.
r
À Partir d’un Oscillogramme
On place, en série avec la bobine, une résistance R “ 40 Ω et un condensateur de capacité C “ 10 µF. Le GBF
(générateur basses fréquences) est réglé pour délivrer une tension sinusoïdale de fréquence f “ 250 Hz (la pulsation
sera notée ω) et de valeur crête à crête de 10 V. Deux tensions sont visualisées sur un oscilloscope numérique : ue ptq
et uR ptq
A
L
r
C
‚
Bobine Étudiée
ue
R uR ptq
M
‚
iptq
L’oscillogramme obtenu est repésenté en figure 1.1.
1) Déterminer l’amplitude Ue de la tension ue , et l’amplitude Ur de la tension ur . Déterminer aussi l’amplitude I
de l’intensité i.
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Figure 1.1 – Oscillogramme obtenu
2) Rappeler l’expression générale de l’impédance Z d’un dipôle quelconque (module de l’impédance complexe).
Calculer alors l’impédance ZAM du dipôle AM .
3) Déterminer précisément, à partir de l’oscillogramme, le déphasage ϕue {i entre ue et i, (c’est-à-dire entre ue et
uR ).
4) Écrire l’expression générale de l’impédance complexe Z AM en fonction de r, R, L, C, ω.
5) Exprimer r en fonction de R, ZAM et ϕue {i . Calculer sa valeur.
6) Exprimer L en fonction de C, ω, ZAM et ϕue {i . Calculer sa valeur.
II.
À Partir d’un Diagramme de Bode
Figure 1.2 – Gain en Décibels en fonction de la fréquence.
7) Rappeler la définition de la fonction de transfert H du filtre ainsi formé avec ue pour tension d’entrée et uR pour
tension de sortie. Rappeler aussi la définition du diagramme de Bode dans ce cas précis.
8) Proposer un schéma équivalent en basses puis en hautes fréquences et en déduire la nature probable du filtre.
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9) Exprimer H en fonction de r, R, L, C, ω.
10) Trouver les constantes H0 , Q et ω0 telles que la fonction de transfert se mette sous la forme :
H“
H
´ 0ω
ω0 ¯ .
1`j¨Q
´
ω0
ω
11) La figure 1.2 représente en partie le diagramme de Bode du filtre précédent. Déterminer, à l’aide du graphe, les
valeurs de r et de L en expliquant votre raisonnement.
III.
Aparté sur l’Oscilloscope
Pour mesurer précisement l’inductance et la résistance interne de la bobine étudiée, il ne faut en aucun cas que
l’appareil de mesure ne perturbe le système observé. On se propose donc d’étudier l’oscilloscope pour savoir si les
résultats obtenus précédemment sont effectivement valides.
On utilise un oscilloscope dont les caractéristiques d’entrée sont indiquées : « 1 MΩ, 25 pF » ; dans la suite, on
désigne par R0 et C0 la résistance et la capacité correspondantes. Cet appareil de mesure correspond ainsi au circuit
suivant :
A
L
r
C
‚
Bobine Étudiée
e
R s
M
‚
C0
R0
iptq
Oscilloscope
s
12) Déterminer la nouvelle fonction de transfert H 1 “ .
e
13) Simplifier cette expression en tenant compte de la valeur des rapports R{R0 et C0 {C.
14) Tracer le diagramme de Bode Asymptotique de ce nouveau filtre. Dans quel domaine de fréquences la présence
de l’oscilloscope conduit-elle à des effets non-désirables ?
15) Conclure quant à la validité des résultats de la première partie.