axiome -ainsi

Unicité et stabilité (suite)
Unicité et stabilité (suite)
2006
2006- -2007. 2007.
5.
5.

Le point.
Le point.
Une économie abstraite :
Une économie abstraite :
Un espace des biens,
Un espace des biens, R
Rn
n, w, u(h,.),Y(j)
, w, u(h,.),Y(j)⊂ ⊂R
Rn
n
•
•Deux déclinaisons. Deux déclinaisons.
Economie d’échanges : u(h,.), w(h).
Economie d’échanges : u(h,.), w(h).
Une économie de production.
Une économie de production.
•
•Deux questions : Deux questions :
Existence, Calcul : tâtonnement ….
Existence, Calcul : tâtonnement ….
Un outil :
Un outil :
•
•La fonction d’excès de demande (éco. d’échanges La fonction d’excès de demande (éco. d’échanges strict.convexe strict.convexe). ).
•
•Z : p Z : p ∈ ∈R Rn
n+
+→
→Z(p) Z(p) ∈ ∈R
Rn
n
•
•Z Z: p : p ∈ ∈R Rn
n- -1 1+
+→
→Z Z(p) (p) ∈ ∈R
Rn
n- -1, 1, numéraire
numéraire- -sphère, sphère, S Sn,
n, simplexe,U
simplexe,Un
n.
.
•
•Z(p*)=0 Z(p*)=0
•
•Si économie de production avec Si économie de production avec rdts rdts constants… Z(p) constants… Z(p) ∈ ∈Y
Y
Philosophie:
Philosophie:
•
•Unicit Unicité épara paraî ît plausible t plausible… ….stabilit .stabilité éaussi ? aussi ?
•
•Difficult Difficulté éanalytique analytique … …. .

Technique mathématique pour l’unicité.
Technique mathématique pour l’unicité.
Un ingrédient supplémentaire : Z est différentiable.
Un ingrédient supplémentaire : Z est différentiable.
•
•p, p, Z Z(p), différentiable, numéraire choisi et oublié (p), différentiable, numéraire choisi et oublié
•
•Considérons le Considérons le Jacobien Jacobien ( (∂ ∂Z Z)(p), matrice (n
)(p), matrice (n- -1, n 1, n- -1) 1)
Le concept d
Le concept d’é ’économies r conomies ré éguli guliè ères. res.
•
•Economie r Economie ré éguli guliè ère : En tt re : En tt é équilibre p*, quilibre p*,Det Det( (( (∂ ∂Z Z)(p*)) )(p*))# #0. 0.
•
•Presque toutes les Presque toutes les é économies sont r conomies sont ré éguli guliè ères. res.
•
•Un th Un thé éor orè ème me à àla fois la fois « «intuitif intuitif » »et et « «profond profond » ». ( . (Sard Sard, Thom) , Thom)
Techniques de d
Techniques de dé émonstration; Suite. monstration; Suite.
•
•Indice Indice é équilibre est 1, quilibre est 1, Sign Sign ( (Det Det( (( (∂ ∂Z Z)(p*)) = )(p*)) =sign sign ( (- -1) 1)n
n- -1 1
•
•Ss r Ss ré éserve des conditions au bord; serve des conditions au bord;
•
•∑indices ∑indices = 1. = 1. (Poincar (Poincaré é- -Hopf Hopf). ).
THM :
THM : Si tous les équilibres ont l’indice +1, alors, l’économie a un Si tous les équilibres ont l’indice +1, alors, l’économie a un
seul équilibre.
seul équilibre.
•
•Elle est régulière. Elle est régulière.
•
•Est Est- -ce mieux que : ce mieux que : ∀ ∀p, p, Sign Sign ( (Det Det( (( (∂ ∂Z Z)(p)) =
)(p)) =sign sign ( (- -1) 1)n
n- -1 1 ?
?
•
•L Lé ég gè èrement pour deux raisons rement pour deux raisons
(
(( (∂ ∂Z Z)(p) a des propri )(p) a des proprié ét té és particuli s particuliè ères au voisinage de l res au voisinage de l’é ’équilibre. quilibre.
Id
Idé ées a priori sur la zone de l es a priori sur la zone de l’é ’équilibre. quilibre.

Indices visualisés
Indices visualisés
Indice +1
Indice -1
Indice +1
Indice -1

Un théorème d’unicité.
Un théorème d’unicité.
Les intuitions économiques derrière l’unicité ou la
Les intuitions économiques derrière l’unicité ou la
convergence.
convergence.
•
•Version différentielle de la loi de la demande Version différentielle de la loi de la demande
•
•Z Zdéfinie négative : définie négative : ∀ ∀p, p,dp dp, , dp dp.( .(∂ ∂Z Z) )p
p.
.dp dp<0. <0.
•
•Version affaiblie : Version affaiblie :
•
•Z Zdéfinie négative sur définie négative sur Z(p) Z(p)
⊥
⊥
,
, ∀ ∀p, p,dp dp, , Z Zdp dp=0, =0, dp dp.( .(∂ ∂Z) Z)p
p.
.dp dp <0. (id.) <0. (id.)
•
•Version locale : Version locale :
•
•Z Zdéfinie négative à l’équilibre : propriété définie négative à l’équilibre : propriété préc préc. Z=0. . Z=0.
THM
THM :
:
•
•Si en tout équilibre, la matrice Si en tout équilibre, la matrice ( (∂ ∂Z Z)(p*) )(p*) est définie négative, est définie négative,
•
•alors il existe un équilibre unique. alors il existe un équilibre unique.
•
•Le tâtonnement est localement convergent… Le tâtonnement est localement convergent…
•
•Preuve. Preuve.
Matrice déf. négative
Matrice déf. négative ⇒ ⇒le le polynome polynome caractéristique [ caractéristique [( (∂ ∂Z Z)(p*) )(p*)- -λ λI] I] pas de pas de
valeur propre positive,
valeur propre positive,
son signe en zéro=
son signe en zéro= sign sign Det Det..= signe à l’infini= ..= signe à l’infini= sign sign ( (- -1) 1)n
n- -1 1.indice +1.
.indice +1.
Tâtonnement, voir plus loin….
Tâtonnement, voir plus loin….