Rayonnement dipolaire électrique 1. Position du problème

Spéciale PSI - Cours "Physique des ondes" 1
Ondes électromagnétiques dans le vide
Chapitre VI : Rayonnement dipolaire électrique
Objectifs :
•Rayonnement électromagnétique d’un dipôle
•Notions élementaires sur la diusion
1. Position du problème
1.1. La source de rayonnement
Dans le chapitre précédent nous avons étudié la propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide sans nous préoccuper
de leur production à partir de charges en mouvement.
L’étude du rayonnement électromagnétique créé par des charges en mouvement est di cile, notamment en raison des condi-
tions aux limites imposées aux équations de Maxwell.
Nous étudions ici le dipôle de Hertz ; il est important pour plusieurs raisons :
•Il permet de donner une interprétation du rayonnement électromagnétique à partir du mouvement d’oscillations des
charges électriques autour de leur position moyenne ; la matière étant globalement neutre, on conçoit alors que le
moment dipolaire de ces charges ait un rôle déterminant dans l’interaction entre la matière et le rayonnement.
•Le champ rayonné par les antennes peut se ramener à la superposition des champs produits par un ensemble de dipôles
oscillants.
•La dépendance temporelle sinusoïdale du dipôle de Hertz ne limite en rien l’intérêt de l’étude, puisque l’on sait que
toute évolution temporelle peut se ramener, par une analyse de Fourier, à une somme de fonctions sinusoïdales.
1.2. Description du système
Considérons un doublet constitué de deux charges électriques opposées, q>0au point Pet qau point N, distantes de
a>0, et supposons que qvarie au cours du temps selon une loi sinusoïdale :
q(t)=q0cos (t)
Le moment dipolaire instantané p(t)de cette distribution est :
p(t)=q(t) NP
Nous choisissons l’origine Odu système d’axe au milieu du segment [NP]et l’axe (Oz)de telle sorte que  NP =auz.Nous
avons alors
p(t)=aq0cos (t)uz
En raison de la symétrie de révolution du système autour de (Oz)nous adoptons les coordonnées sphériques (r, ,)avec
(r, )coordonnées polaires dans le plan méridien Oz,  OM(même système de coordonnées que pour l’étude du dipôle
électrostatique en 1`ere année).
Remarque fondamentale :On réalise un dispositif ayant un comportement analogue au dipôle de Hertz (moment dipolaire
p(t)variable dans le temps) soit :
•en considérant deux charges constantes +q0et q0séparées par une distance variable :
D(t)=acos (t)p(t)=q0D(t)uz=q0acos (t)uz
•en considérant un élément de courant iauzavec i=dq
dt soit :
i=q0sin (t)p(t)=qauz=idtauz=q0acos (t)uz

Physique des ondes. Chapitre VI : Rayonnement dipolaire électrique 2
1.3. Mise en équation
Nous voulons déterminer le champ électromagnétique rayonné par ce dipôle, donc résoudre les équations de Maxwell. Nous
savons qu’il existe un couple de potentiels  A, V tel que :
•AveclechoixdejaugedeLorentzdiv  A+1
c2
V
t=0, les potentiels scalaire Vet vecteur 
Asont liés aux charges et aux
courants par les équations :
V=V1
c2
2V
t2= 0
A= A1
c2
2
A
t2=µ0
j
•le champ électromagnétique est alors donné par :
B= rot  Aet  E= grad V 
A
t
1.4. Potentiels retardés (dits de Liénard-Wiechert)
Nous admettons que  Aet Vsont donnés par les formules de Liénard et Wiechert :
V(M, t)= 1
40D
(P,trPM
c)d
rPM et 
A(M,t)=µ0
4D
j(P,trPM
c)d
rPM avec c=1
0µ0Potentiels retardés
Ces expressions font intervenir un décalage temporel t=rPM
c: les potentiels au point M, à l’instant t, sont liés aux
valeurs de et  jaux instants trPM
c. Ce décalage correspond à la durée de propagation de l’information à la vitesse de la
lumière c.
2. Potentiels  Aet Vdu dipôle
2.1. Potentiel vecteur  Adu dipôle
D’après le paragraphe 1.3. le potentiel vecteur  Aest
A(M,t)= µ0
4"D
jP, t rPM
cd#
rPM
Nous nous plaçons dans le cas où le dipôle est constitué d’une charge +q;xe en Oet d’une charge mobile qplacée en Pet
animée d’une vitesse v.
Dans une telle situation le potentiel vecteur est donné par :
A(M,t)= µ0
4"
qvP, t rPM
c
rPM
en remarquant que
•
p=p
t=qvle potentiel vecteur s’écrit :
A(M,t)= µ0
4"
•
ptrPM
c
rPM
Nous e<ectuons alors deux approximations :
•l’approximation dipolaire :
la distance d’observation r=OM est très grande devant les dimensions de la distribution d:
rd A(M,t)= µ0
4"
•
ptrPM
c
rPM
µ0
4"
•
ptrPM
c
r
•l’approximation non relativiste :
nous supposons que la particule qe<ectue des oscillations sinusoïdales à la pulsation =2
T.

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Nous pourrons écrire
•
ptrPM
c
•
ptr
csi le décalage temporel entre trPM cet tr cqui est de l’ordre de
d
cest négligeable devant l’échelle de temps caractéristique de l’évolution de
•
pdonc du moment dipolaire 
p:
d
cT
dans le modèle sinusoïdal, la vitesse vde la particule est de l’ordre de vd/T d’où
d
cTd cd vvccas non relativiste
ou de manière équivalente d
cTd c& cd&
Nous admettons la généralité du résultat précédent :
Soit un dipôle électrique variable p(t), d’extension spatiale de l’ordre de d, situé au voisinage d’un
point Oet évoluant à une échelle de temps caractéristique T. Dans le cadre :
•de l’approximation dipolaire : OM =rd
•de l’approximation non relativiste : &=cT d
le potentiel vecteur  Aen Màladatetest :
A(M,t)µ0
4
•
p(tr
c)
r
2.2. Potentiel scalaire Vdu dipôle
Le potentiel scalaire Vest donné par la condition de jauge de Lorentz :
div  A+1
c2
V
t=0
Après calcul nous obtenons :
V(M,t)= 1
40
p(tr
c).ur
r2+
•
p(tr
c).ur
rc =1 40cos p(tr
c)
r2+
•
p(tr
c)
rc 
Remarque :Leterme 1
40
p(tr
c).ur
r2correspond au potentiel du dipôle électrostatique alors que le terme 1 40
•
p(tr
c).ur
rc est
un terme de rayonnement.
3. Champs  Eet  Bdu dipôle
Nous sommes toujours en coordonnées sphériques de base (ur,u,u).
3.1. Symétries du champ électromagnétique
Tout plan contenant l’axe (Oz), donc le dipôle, est plan de symétrie de la distribution de charges.
•Le champ électrique est un vecteur polaire et appartient donc à tous ces plans méridiens :
E=0
•Le champ magnétique est un vecteur axial et est donc perpendiculaire à tous ces plans méridiens :
B=Bu
3.2. Champ magnétique  Bdu dipôle
Le champ magnétique  Best donné par la relation : 
B= rot  A
soit après calcul :
B(M,t)=µ0
4sin •
p(tr
c)
r2+
••
p(tr
c)
rc u

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3.3. Champ électrique  Edu dipôle
Pour le champ électrique  Enous pouvons soit :
•calculer  Eà partir des potentiels :  E= grad V 
A
t
•intégrer l’équation de Maxwell-Ampère (M-A) : rot 
B=µ00
E
t
Après calcul nous obtenons :
E(M,t)=
Er=2cos 
40p(tr
c)
r3+
•
p(tr
c)
r2c
E=sin 
40p(tr
c)
r3+
•
p(tr
c)
r2c+
••
p(tr
c)
rc2
E=0
3.4. Les di-érentes zones
Nous supposons toujours que le moment dipolaire pest une fonction sinusoïdale :
p(t)=p0cos (t)
Les termes p
r3,
•
p
r2c,
••
p
rc2apparaissant dans les expressions de 
Eet  Bont alors des amplitudes di<érentes :
terme p
r3
•
p
r2c
••
p
rc2
amplitude p0
r3
p0
cr2=2"p0 r3r 2p0 rc2=4"2p0 r3r 2
Selon les valeurs de rpar rapport à &le terme prépondérant change.
•r&dé;nit la zone ”statique”
•r&dé;nit la zone ”intermédiaire”
•r&dé;nit la zone ”de rayonnement”.
4. Rayonnement dipolaire électrique
4.1. Champ de rayonnement
4.1.1. Expression du champ rayonné
Dans la pratique nous aurons très souvent r&: la distance à laquelle on détecte le champ électromagnétique est très
supérieur à la longueur d’onde &(1µmdans le visible par exemple).
Les expressions du paragraphe précédent se simpli;ent pour donner :
Erayon(M, t)= sin 
4"0
••
ptr
c
rc2uet 
Brayon(M,t)= µ0
4"sin 
••
ptr
c
rc u
soit sous forme intrinsèque
Erayon(M, t)= 1
40
••
p(tr
c)urur
rc2et 
Brayon(M,t)=µ0
4
••
p(tr
c)ur
rc
4.1.2. Structure du champ rayonné
D’après le paragraphe précédent :
Erayon(M, t)= 1
4"0
••
ptr
curur
rc2=1 4"04
µ0rc 
Brayon(M, t)ur
rc2
=1
0µ0
1
c
Brayon(M,t)ur=c
Brayon(M, t)ur
•Les champs  Eet  Bsont en phase.

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•Les champs 
Eet 
Bsont nuls sur l’axe du dipôle et maximals dans le plan équatorial (Oxy)(voir ;gures ci-dessous).
Dans le voisinage d’un point Msitué à grande distance du dipôle (champ rayonné), le champ  E,  Best pratiquement
uniforme. Comme  E,  Bet urforment un trièdre orthogonal (direct) avec E=cB, la structure locale de l’onde émise par le
dipôle est celle d’une onde plane transversale, le plan d’onde étant tangent à la sphère en M.
Dans le cadre de l’approximation dipolaire (rd)et de l’approximation non relativiste (&d),
le champ électromagnétique émis par une dipôle électrique dans sa zone de rayonnement (r&):
•décroît comme 1
r;
•est proportionnel à •• ptr
cdonc à l’accélération de la particule ;
•présente localement une structure d’onde électromagnétique plane progressive dans le vide
se propageant radialement à partir du dipôle :
Erayon(M, t)=c Brayon(M,t)ur Brayon(M,t)=ur
c
Erayon(M,t)
Remarque : Contrairement au champ électrique produit par un dipôle électrostatique, qui varie comme 1/r3,lechamp
électromagnétique  E,  Bproduit à grande distance par le dipôle électrique varie comme 1/r.
4.2. Energie électromagnétique rayonnée
4.2.1. Le vecteur de Poynting
Le vecteur de Poynting associé au champ rayonné est :
rayon =
Erayon 
Brayon
µ0
=
Erayon ur
c
Erayon
µ0
=E2
rayon
µ0cur
rayon =1
µ0csin  4"0
••
ptr
c
rc22
ur
rayon =1
16"20c3
••
p
2tr
c
r2sin2ur