Spéciale PSI - Cours "Physique des ondes" 1 Ondes électromagnétiques dans le vide Chapitre VI : Rayonnement dipolaire électrique Objectifs : • Rayonnement électromagnétique d’un dipôle • Notions élementaires sur la di usion 1. Position du problème 1.1. La source de rayonnement Dans le chapitre précédent nous avons étudié la propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide sans nous préoccuper de leur production à partir de charges en mouvement. L’étude du rayonnement électromagnétique créé par des charges en mouvement est di cile, notamment en raison des conditions aux limites imposées aux équations de Maxwell. Nous étudions ici le dipôle de Hertz ; il est important pour plusieurs raisons : • Il permet de donner une interprétation du rayonnement électromagnétique à partir du mouvement d’oscillations des charges électriques autour de leur position moyenne ; la matière étant globalement neutre, on conçoit alors que le moment dipolaire de ces charges ait un rôle déterminant dans l’interaction entre la matière et le rayonnement. • Le champ rayonné par les antennes peut se ramener à la superposition des champs produits par un ensemble de dipôles oscillants. • La dépendance temporelle sinusoïdale du dipôle de Hertz ne limite en rien l’intérêt de l’étude, puisque l’on sait que toute évolution temporelle peut se ramener, par une analyse de Fourier, à une somme de fonctions sinusoïdales. 1.2. Description du système Considérons un doublet constitué de deux charges électriques opposées, q > 0 au point P et a > 0, et supposons que q varie au cours du temps selon une loi sinusoïdale : q au point N , distantes de q (t) = q0 cos ( t) Le moment dipolaire instantané p (t) de cette distribution est : p (t) = q (t) N P Nous choisissons l’origine O du système d’axe au milieu du segment [N P ] et l’axe (Oz) de telle sorte que NP = auz . Nous avons alors p (t) = aq0 cos ( t) uz En raison de la symétrie de révolution du système autour de (Oz) nous adoptons les coordonnées sphériques (r, , ) avec (r, ) coordonnées polaires dans le plan méridien Oz, OM (même système de coordonnées que pour l’étude du dipôle électrostatique en 1ère année). Remarque fondamentale : On réalise un dispositif ayant un comportement analogue au dipôle de Hertz (moment dipolaire p (t) variable dans le temps) soit : • en considérant deux charges constantes +q0 et q0 séparées par une distance variable : D (t) = a cos ( t) • en considérant un élément de courant iauz avec i = i= q0 sin ( t) p (t) = q0 D (t) uz = q0 a cos ( t) uz dq dt soit : p (t) = qauz = idt auz = q0 a cos ( t) uz Physique des ondes. Chapitre VI : Rayonnement dipolaire électrique 2 1.3. Mise en équation Nous voulons déterminer le champ électromagnétique rayonné par ce dipôle, donc résoudre les équations de Maxwell. Nous savons qu’il existe un couple de potentiels A, V tel que : • Avec le choix de jauge de Lorentz div A + courants par les équations : 1 c2 V t V = 0, les potentiels scalaire V et vecteur A sont liés aux charges et aux = 1 c2 1 c2 V A = A 2 V = t2 2 A = t2 0 µ0 j • le champ électromagnétique est alors donné par : B = rot A et E = A t grad V 1.4. Potentiels retardés (dits de Liénard-Wiechert) Nous admettons que A et V sont donnés par les formules de Liénard et Wiechert : V (M, t) = (P,t 1 4 0 rP M c )d et A(M, t) = rP M D rP M c j (P,t µ0 4 D )d rP M avec c = 1 Potentiels retardés 0 µ0 Ces expressions font intervenir un décalage temporel t = rPcM : les potentiels au point M, à l’instant t, sont liés aux valeurs de et j aux instants t rPcM . Ce décalage correspond à la durée de propagation de l’information à la vitesse de la lumière c. 2. Potentiels A et V du dipôle 2.1. Potentiel vecteur A du dipôle D’après le paragraphe 1.3. le potentiel vecteur A est A(M, t) = rP M c j P, t µ0 4" d# rP M D Nous nous plaçons dans le cas où le dipôle est constitué d’une charge +q ;xe en O et d’une charge mobile animée d’une vitesse v. Dans une telle situation le potentiel vecteur est donné par : A(M, t) = • en remarquant que p = p t = qv P, t rP M µ0 4" rP M c qv le potentiel vecteur s’écrit : • µ p t rPcM A(M, t) = 0 4" rP M Nous e<ectuons alors deux approximations : • l’approximation dipolaire : la distance d’observation r = OM est très grande devant les dimensions de la distribution d : • r d µ p t rPcM A(M, t) = 0 4" rP M • µ0 p t 4" r rP M c • l’approximation non relativiste : nous supposons que la particule q e<ectue des oscillations sinusoïdales à la pulsation = 2 T . q placée en P et Physique des ondes. Chapitre VI : Rayonnement dipolaire électrique • Nous pourrons écrire p t d c • rP M c r c p t 3 si le décalage temporel entre t • rP M c et t r c qui est de l’ordre de est négligeable devant l’échelle de temps caractéristique de l’évolution de p donc du moment dipolaire p : d c T dans le modèle sinusoïdal, la vitesse v de la particule est de l’ordre de v d c d ou de manière équivalente c d c d c T T d v & c d/T d’où v ccas non relativiste d & Nous admettons la généralité du résultat précédent : Soit un dipôle électrique variable p (t), d’extension spatiale de l’ordre de d, situé au voisinage d’un point O et évoluant à une échelle de temps caractéristique T . Dans le cadre : • de l’approximation dipolaire : OM = r d • de l’approximation non relativiste : & = cT d le potentiel vecteur A en M à la date t est : • µ0 p (t 4 r A(M, t) ) r c 2.2. Potentiel scalaire V du dipôle Le potentiel scalaire V est donné par la condition de jauge de Lorentz : div A + 1 V =0 c2 t Après calcul nous obtenons : V (M, t) = Remarque : Le terme 4 1 0 un terme de rayonnement. p (t r c r2 ).ur p (t 1 4 0 r c r2 ).ur • + p (t r c ).ur rc = 1 4 0 cos p(t rc ) r2 + • p(t rc ) rc correspond au potentiel du dipôle électrostatique alors que le terme 3. Champs E et B du dipôle Nous sommes toujours en coordonnées sphériques de base (ur , u , u ). 3.1. Symétries du champ électromagnétique Tout plan contenant l’axe (Oz), donc le dipôle, est plan de symétrie de la distribution de charges. • Le champ électrique est un vecteur polaire et appartient donc à tous ces plans méridiens : E =0 • Le champ magnétique est un vecteur axial et est donc perpendiculaire à tous ces plans méridiens : B=B u 3.2. Champ magnétique B du dipôle Le champ magnétique B est donné par la relation : B = rot A soit après calcul : B(M, t) = µ0 4 sin • p(t rc ) r2 + •• p (t rc r c ) u • p (t 1 4 0 r c rc ).ur est Physique des ondes. Chapitre VI : Rayonnement dipolaire électrique 4 3.3. Champ électrique E du dipôle Pour le champ électrique E nous pouvons soit : • calculer E à partir des potentiels : E = A t grad V • intégrer l’équation de Maxwell-Ampère (M-A) : rot B = µ0 E t 0 Après calcul nous obtenons : E(M, t) = Er = 2 cos 4 0 E = sin 4 p(t rc ) r3 p(t rc ) r3 0 + + • p(t rc ) r2 c • p(t rc ) r2 c + •• p (t rc ) rc2 E =0 3.4. Les di-érentes zones Nous supposons toujours que le moment dipolaire p est une fonction sinusoïdale : p (t) = p0 cos ( t) Les termes • •• p p p r3 , r2 c , rc2 apparaissant dans les expressions de E et B ont alors des amplitudes di<érentes : p r3 p0 r3 terme amplitude • •• p r2 c p0 cr2 = 2" pr30 r 2 p0 rc2 = p rc2 4"2 pr30 r 2 Selon les valeurs de r par rapport à & le terme prépondérant change. • r & dé;nit la zone ”statique” • r & dé;nit la zone ”intermédiaire” • r & dé;nit la zone ”de rayonnement”. 4. Rayonnement dipolaire électrique 4.1. Champ de rayonnement 4.1.1. Expression du champ rayonné Dans la pratique nous aurons très souvent r & : la distance à laquelle on détecte le champ électromagnétique est très supérieur à la longueur d’onde & ( 1 µm dans le visible par exemple). Les expressions du paragraphe précédent se simpli;ent pour donner : •• sin p t Erayon (M, t) = 4" 0 rc2 r c u •• p t µ et Brayon (M, t) = 0 sin 4" rc r c u soit sous forme intrinsèque •• Erayon (M, t) = p (t 1 4 r c ) rc2 0 ur •• ur et Brayon (M, t) = r µ0 p (t c ) ur 4 rc 4.1.2. Structure du champ rayonné D’après le paragraphe précédent : •• Erayon (M, t) = = • Les champs E et B sont en phase. 4 p t rc ur ur µ0 rcBrayon (M, t) 1 1 = 4" 0 rc2 4" 0 rc2 1 1 Brayon (M, t) ur = c Brayon (M, t) ur 0 µ0 c ur Physique des ondes. Chapitre VI : Rayonnement dipolaire électrique 5 • Les champs E et B sont nuls sur l’axe du dipôle et maximals dans le plan équatorial (Oxy) (voir ;gures ci-dessous). Dans le voisinage d’un point M situé à grande distance du dipôle (champ rayonné), le champ E, B est pratiquement uniforme. Comme E, B et ur forment un trièdre orthogonal (direct) avec E = cB, la structure locale de l’onde émise par le dipôle est celle d’une onde plane transversale, le plan d’onde étant tangent à la sphère en M . Dans le cadre de l’approximation dipolaire (r d) et de l’approximation non relativiste (& d), le champ électromagnétique émis par une dipôle électrique dans sa zone de rayonnement (r &) : • décroît comme 1r ; •• • est proportionnel à p t rc donc à l’accélération de la particule ; • présente localement une structure d’onde électromagnétique plane progressive dans le vide se propageant radialement à partir du dipôle : Erayon (M, t) = c Brayon (M, t) ur Brayon (M, t) = ur c Erayon (M, t) Remarque : Contrairement au champ électrique produit par un dipôle électrostatique, qui varie comme 1/r3 , le champ électromagnétique E, B produit à grande distance par le dipôle électrique varie comme 1/r. 4.2. Energie électromagnétique rayonnée 4.2.1. Le vecteur de Poynting Le vecteur de Poynting associé au champ rayonné est : rayon = Erayon Brayon µ0 rayon rayon r c sin p t 4" 0 rc2 1 16" 2 0 c3 Erayon = µ0 •• 1 = µ0 c = ur c Erayon = ••2 p t r2 r c 2 ur sin2 ur 2 Erayon ur µ0 c Physique des ondes. Chapitre VI : Rayonnement dipolaire électrique 6 Le vecteur de Poynting est radial et toujours dirigé vers l’extérieur : le système de charge en mouvement rayonne de l’énergie. 4.2.2. Puissance rayonnée par unité d’angle solide La puissance rayonnée à travers un élément de surface dS = r2 d de la sphère de centre O et de rayon r, vu sous l’angle solide élémentaire d = sin d d vaut dP = rayon .dS = rayon .r2 d ur La puissance rayonnée par le dipôle par unité d’angle solide est indépendante de la distance d’observation et proportionnelle au carré de l’accélération : dP d = 1 16 2 3 0c ••2 p t r c sin2 4.2.3. Diagramme de rayonnement Pour représenter graphiquement la répartition spatiale du rayonnement émis par un dipôle électrique nous pouvons tracer, pour une direction ( , ) donnée, un segment OH dirigé dans cette direction et de longueur proportionnelle à la puissance rayonnée par unité d’angle solide. Nous obtenons alors une surface de révolution autour de l’axe (Oz). Le rayonnement du dipôle n’est pas isotrope :il est nul suivant l’axe du dipôle et maximal suivant toute direction contenue dans le plan (Oxy). 4.2.4. Puissance totale rayonnée La puissance totale rayonnée s’obtient par intégration sur toutes les directions de la puissance rayonnée par unité d’angle solide : 2 2 r d, 1 ••2 P= p t d d = sin2 2 3 c =0 =0 d =0 =0 16" 0 c P= 1 6 3 0c ••2 p t r c Remarque : sin =0 3 d = 1 =0 cos2 d ( cos ) = cos + cos3 3 = 0 4 3 Physique des ondes. Chapitre VI : Rayonnement dipolaire électrique 7 4.2.5. Cas d’un dipôle sinusoïdal Nous supposons que le dipôle est une fonction sinusoïdal du temps : ••2 p (t) = p0 cos ( t) avec p0 = cste 2 p (t) = p0 cos ( t) ••2 2 p (t) = 4 2 p0 cos2 ( t) La puissance totale rayonnée s’écrit alors : P= r c 1 ••2 p t 6" 0 c3 = 1 6" 0 c3 4 2 p0 cos2 t r c La puissance moyenne rayonnée est donc : P t = 1 6" 0 c3 4 2 p0 cos2 P En faisant aparaître la longueur d’onde & = 2 c r c t t = = t 1 1 6" 4 2 p0 6" 0 c3 0 c3 4 2 p0 cos2 t r c t 1 2 nous obtenons : P t = 3 4 3 cp20 1 0 4 Cette formule en 1/&4 joue un rôle très important dans le processus de di<usion de la lumière par de petites particules. La lumière incidente engendre des mouvements électroniques dans ces particules (molécules d’air par exemple) qui rayonne à leur tour de l’énergie. Cette di<usion de la lumière incidente suit la loi en 1/&4 et est donc plus importante vers les courtes longueurs d’onde : le ciel est bleu et le soleil couchant donne une lumière ”rouge”. 5. Di-usion du rayonnement électromagnétique Nous nous proposons de retrouver les résultats précédents à partir du modèle de l’électron élastiquement lié. 5.1. La di-usion De petites particules de soufre, obtenues par précipitation lente à partir de thiosulfate de sodium et d’acide sulfurique peuvent sous l’action d’un champ électromagnétique (ici de la lumière) jouer le rôle de dipôle électromagnétique. On éclaire avec un faisceau parallèle venant d’une lampe puissante une cuve à faces bien planes remplie d’une solution très limpide, c = 14 mol. l 1 par exemple, de thiosulfate de sodium ; une lentille L (distance focale de l’ordre de 30 cm) donne sur un écran E placé à quelques mètres une image d’un diaphragme circulaire D. Quelques gouttes d’acide sulfurique dilué déclenchent l’apparition de soufre : conformément à la loi en 1/&4 , la lumière di<usée est bleue tandis que l’image sur l’écran E devient rouge. À la ;n, la solution devient blanchâtre : les particules de soufre ont maintenant des dimensions notables vis-à-vis de &, la condition d & n’est plus respectée et la di<usion ne suit plus la loi en 1/&4 . image du diaphragme rougie diaphragme (D) lentille (L) écran (E) lumière diffusée bleue 5.2. Modèle de l’électron élastiquement lié 5.2.1. Hypothèses • Nous étudions l’action d’une onde électromagnétique sur un atome. D’après le paragraphe 2.5. du chapitre I : Ondes électromagnétiques dans le vide : ”Lorsqu’une onde progressive interagit avec des particules chargées, la force magnétique est négligeable devant la force électrique”. Nous ne considérons donc que l’action du champ électrique sur les électrons (le noyau dont la masse est beaucoup plus importante est supposé immobile). En;n nous supposerons le champ électrique incident uniforme à l’échelle de l’atome (& µm d 0, 1 nm) : E = E0 cos t Physique des ondes. Chapitre VI : Rayonnement dipolaire électrique 8 • Nous étudions le cas particulier d’un atome à un électron. Soit P le barycentre des positions successives de l’électron. Nous a<ectons à ce point P la masse m et la charge q = e de l’électron. • Au repos, le point P est confondu avec le noyau repéré par le point O. Hors équilibre, nous notons r le vecteur OP . • Nous pouvons interpréter les phénomènes expérimentaux en postulant que le mouvement de P obéit à l’équation di<érentielle d’un oscillateur harmonique amorti : — l’électron est soumis à une force de rappel (de type ressort) de la part du noyau : k OP = Frappel = 2 0 OP m = 2 0r m — l’électron est soumis à une force de type frottement visqueux (lors de son déplacement, l’électron rayonne une énergie électromagnétique prélevée sur son énergie mécanique) : Fvisq = h dOP = dt m dOP = Q dt 0 0 m Q • r avec Q facteur de qualité 5.2.2. Mise en équation Appliquons la deuxième loi de Newton : ma = F •• •• m r = Frappel + Fvisq + q E mr + m 0 Q • 2 0r r+m = qE Nous nous intéressons uniquement au régime forcé. L’excitation étant sinusoïdale nous utilisons la notation complexe E = E0 cos t E = E0 e j t j t et r = r0 e L’équation di<érentielle s’écrit alors 2 m r0 j m 0 Q q r0 = m 2 0 m 2 0 r0 r0 + m = q E0 q m 2 E0 = 0 2 j mQ 1 2 0 E0 1 jQ 0 0 L’expérience montre que l’absorption d’une onde électromagnétique par un atome est particulièrement e cace lorsque la fréquence de l’onde incidente est proche de l’une des fréquences du spectre électromagnétique de l’atome. Pour rendre compte de cette observation nous choisissons pour 0 une pulsation du spectre atomique et nous donnons au facteur de qualité Q une valeur très élevée. q m 2 r0 = 1 0 2 0 1 jQ e m r0 = E0 2 1 0 2 0 2 + 0 1 Q 2 0 5.3. Les di-érents types de di-usion 5.3.1. Expression générale de la puissance moyenne di-usée Nous choisissons l’axe (Oz) tel que E0 = E0 uz q m 2 r0 = 1 2 0 0 E0 uz 1 jQ 0 Le moment dipolaire s’écrit alors (en notation complexe) : j t p = qr0 e q m 2 =q 1 D’après le paragraphe 4.2.4. P t = 1 12 3 0c 4 2 p0 0 2 0 E0 e 1 jQ j t uz = p0 e 0 avec p0 = p0 4 P t q 4 /m2 = 12" 0 c3 0 2 1 0 2 + 1 Q 2 0 E02 j t uz Physique des ondes. Chapitre VI : Rayonnement dipolaire électrique 9 Nous pouvons alors tracer les variations de cette puissance moyenne en fonction de la pulsation de l’onde incidente : diffusion résonnante <P> diffusion Thomson diffusion Rayleigh x 0 5.3.2. Di-usion résonnante Réalisons l’expérience suivante : Hg Na vapeur de sodium vapeur de sodium Nous vaporisons du sodium à l’état atomique par chau<age, avec un bec Bunsen, d’une ampoule à vide contenant un peu de sodium. Eclairons cette vapeur atomique avec une lampe spectrale : • Avec une lampe à vapeur de mercure (contenant un doublet jaune & = 577 nm et & = 579 nm) nous observons une très légère émission jaune de la vapeur contenue dans l’ampoule. • Avec une lampe à vapeur de sodium (contenant un doublet jaune & = 589, 0 nm et & = 589, 6 nm) nous observons une très forte émission jaune de la vapeur contenue dans l’ampoule. Dans la deuxième expérience nous observons un phénomène de di-usion résonnante : le rayonnement incident a exactement la pulsation propre des atomes de sodium. Cette di<usion correspond au maximum de la courbe précédente (§ 5.3.1.). 5.3.3. Di-usion de Rayleigh Pour de nombreux atomes ou molécules le spectre électromagnétique se situe essentiellement dans l’ultraviolet. Une onde incidente dans le domainde du visible correspond donc à des valeurs de la pulsation très inférieures aux pulsations propres 0 . Cette di<usion, appelée di-usion de Rayleigh, correspond à la partie croissante du tracé du paragraphe 5.3.1.. Dans une telle situation 0 ; donc 4 P t q 4 /m2 = 12" 0 c3 En introduisant la longueur d’onde & = P t 2 c = 0 2 1 0 2 + 1 Q 2 E02 4 q 4 /m2 12" 0 c3 0 E02 0 : 4 q 4 /m2 12" 0 c3 0 4 P t = E02 = 2 q /m 12" 0 c3 q 4 /m2 12" 0 c3 2"c 0 4 E02 × 2 c 0 4 E02 1 &4 Nous retrouvons bien la dépendance en 14 : dans le spectre du visible, l’atmosphère di<use nettement plus les radiations bleues (& = 400 nm) que les radiations rouges (& = 800 nm). Physique des ondes. Chapitre VI : Rayonnement dipolaire électrique 10 Remarque : il est possible d’obtenir l’expression de la puissance rayonnée dans la limite de la di<usion Rayleigh par un calcul ”direct” : •• • 0 m r + m r + m 20 r = q E di<usion Rayleigh 0 Q •• mr + m 0 Q • r+m 2 0r = q E s’écrit alors m 2 0r qE q E m 20 r q2 E m 20 2 2 q E car E est sinusoïdal m 20 p = qr = •• p = Comme la puissance rayonnée par le dipôle par unité d’angle solide est proportionnelle au carré de l’accélération (ou du moment dipolaire de manière équivalente) nous avons bien une puissance variant comme 4 soit 14 . 5.4. Polarisation du rayonnement par di-usion 5.4.1. Cas d’une onde incidente polarisée rectilignement Soit une onde incidente dirigée suivant l’axe (Ox) telle que le champ électrique E soit polarisé rectilignement suivant (Oz). D’après le paragraphe 5.2. nous savons qu’il apparaît un moment dipolaire p = qr colinéaire à uz (car colinéaire à E). Ce dipôle induit est, à son tour, source d’un rayonnement électromagnétique dont les champs E et B sont nuls sur l’axe du dipôle (Oz) et maximals dans le plan équatorial (Oxy). De plus, dans la zone de rayonnement, le champ électrique est porté par le vecteur u ; dans le plan équatorial E est donc dirigé suivant (Oz) : Lorsque le champ électrique incident est polarisé rectilignement l’onde di-usée est essentiellement polarisée rectilignement dans la même direction. 5.4.2. Cas d’une onde incidente non polarisée Si l’onde incidente n’est pas polarisée, les dipôles induits ont des directions aléatoires (perpendiculaires à la direction de propagation (Ox)) : • le champ rayonné dans la direction (Ox) n’est pas polarisé. • le champ rayonné perpendiculairement à (Ox) en un point M est polarisé rectilignement le long de la perpendiculaire au plan (M Ox). 6. Exercices Exercice n 01 (Centrale) Le mouvement d’un électron dans un atome de centre O est modélisé par celui d’un oscillateur harmonique spatial de centre O, de pulsation propre 0 , associé à un point matériel de masse m et de charge q = e. On envoie sur cet atome (de centre O &xe) une OPPM dont le champ électrique est donné par E = E0 ex cos ( t kz) où k = /c. Déterminer la section e*cace totale de di+usion de l’électron 5 T dé&nie comme le rapport de la puissance totale moyenne rayonnée à l’intensité I0 de l’onde incidente. Donner sa valeur 50 dans le cas de l’électron libre. On rappelle que l’expression du champ magnétique rayonné, à grande distance, par un système dipolaire électrique situé en O : Bray = µ0 4 cr ·· p (t ) u ; où t = t r c et r = OM = r u. Physique des ondes. Chapitre VI : Rayonnement dipolaire électrique 11 Exercice n 02 : Durée de vie d’un état excité d’un atome On adopte ici un modèle planétaire de l’atome pour lequel l’électron d’un atome d’hydrogène est assimilé à une particule de masse m et de charge e qui gravite sur une trajectoire circulaire de rayon R autour d’un proton, considéré comme in&niment massif, &xe à l’origine O. 1) Exprimer en fonction de R, m et e, la vitesse v, l’accération a de l’électron, la période T et l’énergie mécanique E du système. Les évaluer pour R = 53 pm, et discuter le caractère relativiste ou non de l’électron. Données : m = 9, 1.10 31 kg, e = 1, 6.10 19 C et 4 1 0 = 9.109 F 1 . m. À une distance r très grande devant l’extension spatiale R de son mouvement, une particule non relativiste, de charge q et d’accélération a, émet un champ électromagnétique de rayonnement, dont le champ magnétique est : B= µ0 qa t rc 4" rc er 2) Discuter la polarisation de l’onde émise dans le plan de l’orbite de l’électron ou sur son axe de révolution. 3) Établir la formule de Larmor donnant la puissance rayonnée par l’électron décrivant sa trajectoire circulaire. 4) Quelle est la conséquence de cette émission de rayonnement sur le mouvement de l’électron ? Discuter la rapidité de cette évolution en évaluant le rapport entre l’énergie rayonnée pendant une révolution et l’énergie mécanique obtenue à la question 1). 5) En utilisant les conclusions précédentes, proposer une loi d’évolution du rayon R de la trajectoire électronique en fonction du temps. En déduire une évaluation de la durée de vie # du niveau excité 2p de l’atome d’hydrogène, sachant que l’atome retombe, par émission de rayonnement, dans l’état 1s. On rappelle que les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène sont donnés par la loi de eV, où n désigne le nombre quantique principal. Comparer la valeur obtenue à la valeur expérimentale quanti&cation En = n13,6 2 de ce temps de vie qui est T = 1, 6 ns. Exercice n 03 : Rayonnement d’une antenne demi-onde L’expression du champ de rayonnement (r &) d’un dipôle placé à l’origine du système de coordonnées est : •• E (r, t) = cB (r, t) µ p t rc er avec B = 0 4" rc er Une antenne est constituée d’un &l d’épaisseur négligeable, de centre O et de longueur L, coïncidant avec l’axe (Oz), auquel un système électronique impose un courant oscillant i(z, t) = I0 cos Lz cos( t) soit en notation complexe : i(z, t) = I0 cos Lz ej t . On observe le rayonnement de cette antenne en un point M, repéré par ses coordonnées sphériques (r, ). 1) Expliquer l’expression du courant i(z, t) dans l’antenne. Indiquer la relation liant la longueur L de l’antenne et la longueur d’onde &, associée au courant i(z, t). 2) Dans la zone de rayonnement r & peut-on supposer aussi que la longueur d’onde est très grande devant les dimensions de la source, comme dans le cas du rayonnement dipolaire ? Déterminer le champ dE créé en M par un élément de longueur dz situé en un point P d’abscisse z de l’antenne, puis son amplitude complexe dE. 3) Calculer le champ électrique E rayonné au point M. 4) Montrer que le vecteur de Poynting moyen peut se mettre sous la forme Kf( ) rr3 , où f( ) (fonction dont la valeur maximale est 1) est appelée indicatrice de rayonnement de l’émetteur. Physique des ondes. Chapitre VI : Rayonnement dipolaire électrique 5) Donner l’allure du diagramme de rayonnement de l’antenne. 6) Calculer la puissance moyenne totale rayonnée ainsi que la résistance de rayonnement R de l’antenne, dé&nie par P = Calculer I0 pour une antenne qui rayonne une puissance moyenne de 1 kW. 12 RI02 2 .