2007-08 examen session 1

UFR Sciences Luminy Année 2007-2008
L3 P et PC - GBM1
Examen décembre 2007 : Ondes 1
Durée : 3h - Aucun document ni calculatrice autorisés.
I. Réflexion sur une interface vide-métal parfait (9 points)
Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.
A) Polarisation d’une onde
Soit une onde électromagnétique plane et homogène se propageant
dans le vide selon l’axe des z croissants. En notation complexe, son champ
électrique s’écrit :
ωt)-i(kz
e
0
E
1
E
r
r
=
avec )
y
eiα
x
e(
0
E
0
E
r
r
r
+=
E
0
, k et α sont des réels positifs.
)
z
e,
y
e ,
x
e(
r
r
r
désigne une base orthonormée directe.
Préciser l’état de polarisation de cette onde lorsque :
1) α = 0
2) α = 1
3) 0 < α < 1
B) Réflexion sur une interface vide-métal parfait
On se propose d’étudier la réflexion de l’onde précédente (avec α= 1),
sous incidence normale, sur un conducteur plan parfait. La surface de ce
conducteur correspond au plan xOy (voir figure ci-dessous).
On écrit le champ électrique de l’onde incidente, plane et homogène,
sous la forme :
ωt)-i(kz
0i
i
eE E
r
r
=
avec )
y
ei
x
e(
0
E
0i
E
r
r
r
+=
E
0
et k sont des réels positifs
On appellera
r
E
r
le champ électrique en notation complexe et
r
k
r
le
vecteur d’onde de l’onde réfléchie qui est également plane et homogène.
1) Justifier que le champ transmis
t
E
r
est nul.
2) Ecrire la relation de continuité pour le champ électrique à l’interface
z = 0.
3) Justifier que les ondes incidente et réfléchie sont de même pulsation.
4) Expliciter
ket k
ri
r
r
en fonction de la célérité c des ondes
électromagnétiques dans le vide et de la pulsation ω
5) Ecrire l’expression du champ
r
E
r
6) Comparer la polarisation des ondes incidente et réfléchie.
7) Ecrire l’expression du champ résultant
E
r
dans le vide. S’agit-il d’une
onde progressive ?
8) Ecrire les expressions des champs
i
B
r
,
r
B
r
et du champ résultant
B
r
dans
le vide.
9) Calculer la moyenne temporelle du vecteur de Poynting associé à
E
r
et
B
r
.

II. Source de rayonnement dipolaire électrique (11 points)
A) Question de cours
On considère le rayonnement dipolaire électrique en champ lointain
dans le vide émis par une source. Montrer que le potentiel vecteur
DE
A
r
de
l’onde électromagnétique émise s’écrit en fonction de la dérivée par
rapport au temps du moment dipolaire
(t)p
v
associé à la source.
On donne :
dτ
PM
PM/c)- t(P,j
4π
µ
t)(M,A
0
∫∫∫
=
r
v
B) Source de rayonnement
On considère une source constituée par une antenne. Celle-ci est située
en x = y = 0 et est limitée dans la direction z : –d/2< z < d/2.
L’antenne :
(a) est parcourue par la densité de courant :
t-iω
e)(j)tz,(j z
r
r
=
avec
z
u cos(kz/2)
0
I)z(j
r
r
=
où I
0
est une
constante réelle.
(b) est caractérisée par la densité linéique de charges
t-iω
ρ(z)et)ρ(z, =
1) A partir de la loi de la conservation de la charge à une dimension :
0
),(ρ
),(j
z
=
∂
∂
+
∂
∂
t
tz
z
tz
, calculer
ρ(z)
On utilisera kz<<2π pour simplifier l’expression trouvée.
2) La source est associée au moment dipolaire
z
u
t ω i-
e
0
p (t)p r
r=
Montrer que
3
d
ω 48
2
k
0
I
i
0
p ≅
C) Rayonnement dipolaire électrique
On s’intéresse au rayonnement en champ lointain (r>>λ) dans le vide
de la source étudiée dans la partie B, caractérisée par le moment
dipolaire :
z
u
t ω i-
e
0
p (t)p r
r=
1) Calculer le champ
)t,r(B
DE
r
r
correspondant au rayonnement dipolaire
électrique. On utilisera :
2
rr
u
-
3
rr
)r/1( ; g ff g fg)( ; C f C f )C (f
r
r
rrrr
r
r
r
r
r
r=−=∇∇+∇=∇×∇+×∇=×∇
2) Calculer le champ
)t,r(E
DE
r
r
correspondant au rayonnement dipolaire
électrique.
On utilisera :
)t,r(B k i )t,r(B
DEDE
r
r
r
r
r
r
×≅×∇
3) Calculer la moyenne temporelle du vecteur de Poynting
DE
S
r
4) Calculer la puissance correspondante <P> rayonnée à travers une sphère
de rayon r.
Rappel : Equations de Maxwell
Mµ Hµ Hµ B P E ε E ε D
t
D
jH t
B
E 0 B. ρ D.
00
0
L
L
rrrr
rrrr
r
r
rr
r
rr
rr
r
r
+== +==
∂
∂
+=×∇ ∂
∂
−=×∇ =∇ =∇
où ρ
ρρ
ρ
L
est la densité de charges libres et
L
j
r
la densité de courant libre