Livre : Chapitre 12 p. 319

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Produit scalaire dans l’espace
D. Péron

−→
u−→ v
−→
u−→ v−→ u·−→ v
−→
u·−→ v=1
2|| −→
u+−→ v||2− || −→ u||2− || −→ v||2
Définition
−→
u−→ u·−→ u=|| −→ u||2−→ u2
Remarques
α−→ u−→ v
−→
u·−→ v=|| −→ u|| × || −→ u|| × cos α=AB ×AC ×cos
\
BAC
Propriété
PA B H
C(AB)−−→
AB ·−→ AC =−−→ AB ·−−→ AH
Propriété
−→
u−→ v(x;y;z) (x0;y0;z0)
−→
u·−→ v=xx0+yy0+zz0
Théorème

|| −→ u||2=x2+y2+z2|| −→ v||2=x02+y02+z02
|| −→ u+−→ v||2= (x+x0)2+ (y+y0)2+ (z+z0)2
−→
u·−→ v=1
2|| −→
u+−→ v||2− || −→ u||2− || −→ v||2
=1
2(x+x0)2+ (y+y0)2+ (z+z0)2−(x2+y2)−(x02+y02)−(z2+z02)
=1
2(x2+x02+ 2xx0+y2+y02+ 2yy0+z2+z02+ 2zz0−x2−y2−z2−x02−y02−z02)
=xx0+yy0+zz0
Démonstration
−→
u−→ v−→ w k
−→
u·−→ v=−→ v·−→ u
(−→ u+−→ v)·−→ w=−→ u·−→ w+−→ v·−→ w
(k−→ u)·−→ v=k(−→ u·−→ v)
Propriétés
Démonstration
(−→ u+−→ v)2=−→ u2+ 2−→ u·−→ v+−→ v2
(−→ u−−→ v)2=−→ u2−2−→ u·−→ v+−→ v2
(−→ u+−→ v)·(−→ u−−→ v) = −→ u2−−→ v2
Remarques

−→
u=−−→ AB −→ v=−−→ CD
(AB) (CD)
Définition
Remarque
−→
u−→ v−→ u·−→ v= 0
−→
u(x;y;z)−→ v(x0;y0;z0)
xx0+yy0+zz0= 0
Théorèmes
Remarque
−→
n=−−→ AB P(AB)
P
Définition
−→
nP
Remarque

A−→ n
PA−→ n M
−−→
AM ·−→ n= 0
Propriété
M−−→ AM −→ n
−−→
AM ·−→ n= 0 
Démonstration
Théorème
⇒
⇐d0d0 0 PB∆
d0d0 0 dP
−→
u0−→ u00 d0d0 0
A∆P
PA−→ u0−→ u00
A−→ n
∆d0d0 0 −→ u0·−→ n= 0 −→ u00 ·−→ n= 0
dP−→ v−→ v−→ u0−→ u00
a b −→ v=a−→ u0+b−→ u00
−→
v·−→ n= (a−→ u0+b−→ u00 )·−→ n
=a−→ u0·−→ n+b−→ u00 ·−→ n
= 0
∆P P 
Démonstration