MOUVEMENT D`UNE PARTICULE CHARGÉE DANS UN CHAMP

Q Particule dans un champ E et B (33-301) Page 1 sur 4 JN Beury
O
M
x
y
z
0
v
G
E
G
MOUVEMENT D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS
UN CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE CONSTANT
I. FORCE DE LORENTZ
I.1 Force de Lorentz
La force de Lorentz est l’un des postulats de l’électromagnétisme.
Soit une particule de charge q, de vitesse v
Gdans un référentiel
ℜ
et placée dans un champ électromagnétique
(
)
,EB
G
G.
La particule est soumise à la force de Lorentz :
^
f
qE qv B=+
G
G
G
G
qE
G est appelé force électrique et ^qv B G
G est appelé force magnétique
I.2 La force de Lorentz est une force conservative – Energie potentielle de la force électrique
Le travail élémentaire vaut :
()
(
)
d^dd^dWflqEqvBlqEl qvBvt δ =⋅= + ⋅= ⋅+ ⋅
GJJGJJGJJG
G
GG G
G
GG
Le deuxième terme est nul car le produit vectoriel ^qv B
G
G
est orthogonal au vecteur vitesse v
G.
Dans le cas d’un champ indépendant du temps : ddVEl
=
−⋅
J
JG
G
. On a donc ddWqEl qV δ =⋅=−
J
JG
G
. La force électrique
dérive donc d’une énergie potentielle : ddd
p
WqEl qV E δ = ⋅ =− =−
J
JG
G
, d’où p EqV
=
La force magnétique est conservative et ne travaille pas.
La force électrique est conservative et dérive d’une énergie potentielle : p
EqV
=
Si on applique le théorème de l’énergie cinétique dans un référentiel galiléen, c
f
EW∆=
G
Comme la force magnétique ne travaille pas, elle ne modifie pas la norme de la vitesse.
La force électrique fait varier la norme de la vitesse.
Dans les accélérateurs de particules, le rôle accélérateur est toujours joué par la composante électrique du champ
électromagnétique.
I.3 Deux familles d’accélérateurs de particules
¾ Accélérateurs linéaires : Le champ est purement électrique et la trajectoire est rectiligne.
Exemple : accélérateur de Stanford en Californie 3,2 km de longueur.
¾ Accélérateur circulaire : dans lesquels l’intervention d’une composante magnétique remplie la trajectoire. Le
rôle accélérateur est joué par le champ électrique appliqué le long de certaines parties.
Exemple : synchrotron du CERN près de Genève – anneau de 27 km de circonférence.
http://public.web.cern.ch/public/fr/lhc/HowLHC-fr.html
II. MOUVEMENT D’UNE PARTICULE DANS LE VIDE PLACÉE DANS UN CHAMP
ÉLECTRIQUE
II.1 Cas de la déflexion électrique d’un faisceau d’électrons (oscilloscope)
On considère un électron de vitesse initiale 0
v
G
dans le champ qui règne entre
les armatures d’un condensateur plan.
On a vu que le champ électrique est dirigé dans le sens des potentiels
décroissants : U
Ed =
G en appelant U la différence de potentiel entre les deux
plaques et d la distance entre les deux plaques. En projection, on a : y
EEu=
G
G
avec 0
U
Ed
−
=<
en considérant que U > 0.
• Système : {électron de charge qe=− et de masse m négligeable}
• Référentiel :
()
,,,Oi jkℜ= G
GG référentiel terrestre galiléen.
• Bilan des forces : - le poids est toujours négligeable pour les particules élémentaires.

Q Particule dans un champ E et B (33-301) Page 2 sur 4 JN Beury
O
z
x
y
C
M
B
G
0
v
G
- force électrique : qE
G
• PFD : ma qE=G
G. Projection du PFD sur
(
)
,,ijk
G
G
G :
0
0
mx
my qE
mz
=
=
=
, soit
0
0
xv
qE
yt
m
z
=
=
=
et
0
2
2
0
x
vt
qE
yt
m
z
=
=
=
La trajectoire est une parabole. On vérifie que y > 0 puisque 0q
<
et 0E
<
.
II.2 Définition de l’électronvolt
L’électron volt est l’énergie cinétique acquise par un électron soumis à une différence de potentiel de 1 V.
Il suffit d’appliquer le théorème de l’énergie cinétique entre le point A et le point B avec 1 V
BA
VV−= .
Attention au signe de la différence de potentiel.
Le théorème de l’énergie cinétique s’écrit :
(
)
(
)
c AB p BA BA
EW E qVV eVV
→
∆= =−∆=− − = − .
Application numérique : 19
1 eV 1, 6 10 J
−
=× .
III. MOUVEMENT D’UNE PARTICULE DANS LE VIDE PLACÉE DANS UN CHAMP
MAGNÉTIQUE
III.1 Cas particulier où la vitesse initiale est orthogonale au champ magnétique : mouvement cyclotron
a) Mise en équation
On considère un électron de charge qe=− de vitesse initiale 00
vvj=
G
G
et
plongé dans un champ magnétique BBk=
G
G. On pose qB
m
ω
−
=.
• Système : {électron de charge qe=− et de masse m négligeable}
• Référentiel :
()
,,,Oi jkℜ= G
GG référentiel terrestre galiléen.
• Bilan des forces : - le poids est toujours négligeable
pour les particules élémentaires.
- force magnétique : ^qv B
G
G
• PFD : ^ma qv B=G
GG. Projection du PFD sur
(
)
,,ijk
G
G
G :
0
^0
0
mx x qyB
my q y qxB
mz z B
==−
, soit
0
x
y
yx
z
ω
ω
=−
=
=
Comme 0z=
 , alors zcte
=
. Comme la vitesse initiale est orthogonale
au champ magnétique, alors 0z=
 et 0zcte==.
Le mouvement est donc plan.
On a deux équations couplées :
x
y
yx
ω
ω
=−
=
 . La technique classique pour une particule placée dans un champ
magnétique est de faire le changement de variables : uxiy
=
+
¾ Si on fait (1) + i (2), on obtient :
(
)
x
iy y i x i x iy ωωω +=− + = +
      , soit 0uiu
ω
−
=
  . C’est une équation
différentielle du premier ordre en u. Attention : comme u est complexe, il faut faire intervenir des constantes
complexes.
¾ On a alors :
()
expuA it
ω
=
. À t = 0,
(
)
0
0uAiv
=
=
. On a donc :
(
)
0expuiv it
ω
=
.
¾ On intègre une autre fois pour obtenir u :
()
0exp
v
uitB
ω
ω
=
+. À t = 0,
()
0
00
v
uB
ω
=
+=, d’où 0
v
B
ω
=
−.
On a alors
()
00
exp
vv
uit
ω
ω
ω
=−. Il reste à prendre la partie réelle et la partie imaginaire pour remonter à x et y.
()
()
00
0
cos
sin
vv
xt
v
yt
ω
ω
ω
ω
ω
=−
=
. C’est l’équation cercle de rayon 0
v
R
ω
= et de centre
(
)
0,CR
−

Q Particule dans un champ E et B (33-301) Page 3 sur 4 JN Beury
La vitesse angulaire vaut qB
m
ω =. On l’appelle pulsation cyclotron.
Le rayon du cercle vaut 0
mv
RqB =
b) Application au cyclotron
Dans un cyclotron le champ magnétique est appliqué perpendiculairement dans une chambre vide en forme de
disque, laquelle contient deux électrodes semi-circulaires en forme de D. Les portions rectilignes de ces électrodes
se font face. Le flux d’électrons ou d’ions traversant un champ magnétique perpendiculaire est soumis à une force
perpendiculaire à la direction du mouvement. Ici, dans le vide, ces particules chargées suivent un parcours
circulaire. Si l'appareil est capable d'augmenter leur énergie elles suivront une spirale en expansion. Une tension
alternative de haute fréquence est appliquée aux électrodes en D, ce qui accélère les particules à chacun de leurs
passages de l'une à l'autre.
GANIL à Caen : 2 cyclotrons placés en série.
http://www.ganil-spiral2.eu/science/accelerateurs
c) LHC à Genève - ITER
1 : Source de
protons
2
: Protons accélérés

Q Particule dans un champ E et B (33-301) Page 4 sur 4 JN Beury
O
z
x
y
M
B
G
III.2 Cas général – Mouvement hélicoïdal
On considère un électron de charge qe=− de vitesse initiale quelconque et plongé dans un
champ magnétique B
G. On choisit l’axe Oz pour que BBk=
G
G
. On choisit les axes x et y
pour que 01 2
vvjvk=+
G
G
G. On pose qB
m
ω
−
=.
• Système : {électron de charge qe=− et de masse m négligeable}
• Référentiel :
()
,,,Oi jkℜ= G
GG référentiel terrestre galiléen.
• Bilan des forces : - le poids est toujours négligeable
pour les particules élémentaires.
- force magnétique : ^qv B
G
G
• PFD : ^ma qv B=G
GG. Projection du PFD sur
(
)
,,ijk
G
G
G :
0
^0
0
mx x qyB
my q y qxB
mz z B
==−
, soit
0
x
y
yx
z
ω
ω
=−
=
=
Comme 0z=
 , alors 2
zv=
 et 2
zvt=
On a deux équations couplées :
x
y
yx
ω
ω
=−
=
 . La technique classique pour une particule placée dans un champ
magnétique est de faire le changement de variables : uxiy
=
+
¾ Si on fait (1) + i (2), on obtient :
(
)
x
iy y i x i x iy ωωω +=− + = +
      , soit 0uiu
ω
−
=
  . C’est une équation
différentielle du premier ordre en u. Attention : comme u est complexe, il faut faire intervenir des constantes
complexes.
¾ On a alors :
()
expuA it
ω
=
. À t = 0,
()
1
0uAiv
=
=
. On a donc :
(
)
1expuiv it
ω
=
.
¾ On intègre une autre fois pour obtenir u :
()
1exp
v
uitB ω
ω
=
+.
À t = 0,
()
1
00
v
uB
ω
=+=
, d’où 1
v
B
ω
=− .
On a alors
()
11
exp
vv
uit ω
ω
ω
=−. Il reste à prendre la partie réelle et
la partie imaginaire pour remonter à x et y.
()
()
11
1
2
cos
sin
vv
xt
v
yt
zvt
ω
ω
ω
ω
ω
=−
=
=
.
On a la combinaison d’un mouvement rectiligne et uniforme le long de Oz et d’un mouvement circulaire uniforme et
uniforme dans le plan Oxy.
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Charges/q_dans_B.html
C’est l’équation cercle de rayon 0
v
R
ω
= et de centre
(
)
0,CR
−
Le mouvement le plus général d’une particule lancée dans un champ magnétique constant est hélicoïdal et
uniforme.