TD 2 Dynamique fondamentale

PH1ME2-C
Université Paris 7 - Denis Diderot
2012-2013
TD 2
Dynamique fondamentale
1. Forces de tension (*)
Un enfant tire, avec une force F~ , un petit train constitué de trois wagons de masse m,
raccordés par des cordelettes de même taille l.
(a) Les cordelettes sont considérées sans masse. Calculez, aux diérents points d'attache,
les tensions exercées sur les cordelettes reliant les wagons entre eux (les cordelettes
sont initialement tendues).
(b) Les cordelettes ont maintenant une masse linéique µ. Calculez une nouvelle fois les
forces de tension sur les cordelettes.
(c) Si l'enfant, emporté par sa fougue, tire comme une brute sur son petit train, à votre
avis, à quel endroit le petit train se cassera-t-il ?
2. Expérience de Millikan (**)
Cette expérience (1910) a permis à R.A. Millikan de déterminer la charge de l'électron à
quelques pour cent près.
1. Dans une première partie de l'expérience, on étudie la chute d'une goutte sphérique d'huile
dans le champ de pesanteur terrestre ~g . La goutte, de rayon R et de masse volumique ρ,
est soumise de la part de l'air à une force de frottement F~f dont on admettra l'expression
F~f = −α~v avec ~v la vitesse de la goutte, α = 6πηR où η est le coecient de viscosité. La
mesure de la vitesse limite v`,1 de la goutte permet de déterminer son rayonR.
(a) Écrire l'équation diérentielle d'évolution de v(t).
(b) Déterminer l'expression de v(t) avec la condition initiale v(t = 0) = 0 et tracer le
graphe de v en fonction de t.
(c) Dénir et donner l'expression de la vitesse limite v`,1 de la gouttelette. Pouvait-on
exprimer cette vitesse sans résoudre l'équation ?
(d) Déterminer le temps caractéristique τ nécessaire pour atteindre cette vitesse limite.
Vérier que ce résultat est homogène à un temps.
(e) Exprimer R en fonction de v`,1 et des autres paramètres de l'expérience. Calculer R.
A.N. : ρ = 0.92 103 kg m−3
;
η = 1.84 10−5 S.I. ;
v`,1 = 5.45 10−4 m s−1
2. Une fois la mesure de v`,1 eectuée, la deuxième étape de l'expérience de Millikan consiste à
~ dirigé vers le bas. La goutte portant une charge q
appliquer un champ électrique vertical E
~ et ~g . La mesure de v`,2
acquiert alors une nouvelle vitesse limite sous les eets conjugués de E
permet alors de déterminer q .
(a) Écrire l'équation diérentielle du mouvement pour v(t).
(b) Donner l'expression de la vitesse limite v`,2 .
(c) Calculer la charge q et commenter le résultat.
A.N. : v`,2 = −5.75 10−4 m s−1
( la goutte monte !) ;
E = 3.2 105 V m−1
3. Ralentissement d'une voiture (*)
Une voiture de masse m roule sur une route horizontale rectiligne. On coupe le moteur lorsqu'elle
a atteint la vitesse v0 .
(a) En supposant que les forces de frottements auxquelles la voiture est soumise sont
essentiellement dues à l'air et de la forme F~ = −k~v (~v étant la vitesse de la voiture
et k une constante), calculer le temps nécessaire pour que, en roue libre, la vitesse
de la voiture diminue de moitié.
(b) Quelle est la distance D parcourue pendant ce temps ?
4. Frottements solides (**)
Une brique de masse m est posée sur une planche horizontale. Petit à petit, on soulève une
extrémité de la planche, augmentant ainsi l'angle α que fait celle-ci avec l'horizontale. Dans cet
exercice on négligera la possibilité pour la brique de basculer plutôt que de glisser.
(a) Tant que l'angle est inférieur à une certaine valeur αC , la brique reste immobile.
Faites un dessin représentant les forces rendant compte de l'équilibre. Déterminez
alors l'expression de la force de frottement qui permet cet équilibre. On introduira
un coecient de frottement statique µS déni comme le rapport maximal entre la
norme de la force de frottement et la réaction normale de la surface.
(b) Au delà d'une inclinaison αC , la brique se met à glisser et son accélération est
constante. Faites un dessin représentant les forces. Déterminez l'expression de la force
de frottement lorsque la brique est en mouvement. On introduira un coecient de
frottement dynamique µD qui est le rapport entre la norme de la force de frottement
et la réaction normale de la surface.
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(c) Concluez sur les forces de frottements solides. Dans le cas où la brique est posée
horizontalement, précisez la force de traction qu'il faudrait exercer sur une corde
horizontale reliée à la brique pour mettre celle-ci en mouvement.
5. Trajectoire d'une particule chargée dans un champ magnétique (*)
Considérons une particule de masse m, de charge q pénétrant dans un champ magnétique
~ . La vitesse initiale v~0 est othogonale à B
~ . Nous négligerons le poids de la particule
uniforme B
elle peut donc être considérée comme soumise à une seule force d'origine électromagnétique.
(a) En considérant le référentiel comme galiléen, appliquez le principe fondamental de
la dynamique. En déduire une condition sur la trajectoire de la particule.
(b) En utilisant le repère de Frenet, déduire le rayon de la trajectoire.
6. Fronde (***)
Pour atteindre une cible carrée de 2 m de côté, posée sur le sol, située à D = 50 m, le lanceur
utilise une fronde de longueur l = 0.6 m qu'il fait tourner dans le plan vertical à une fréquence
de N tours par seconde. La haute technicité du lanceur lui permet de lâcher le projectile de
masse m quand la fronde fait un angle α avec la verticale.
On négligera la résistance de l'air et on considérera que la hauteur de départ du projectile est
négligeable (ouf !).
(a) Retrouver la trajectoire de la masse m.
(b) Si α = 30o , quelle doit être la fréquence N nécessaire pour atteindre le centre de la
cible ?
(c) Toujours avec cette valeur de α, en utilisant le calcul diérentiel (c'est-à-dire en
remarquant qu'au premier ordre dN = dN
dD = N 0 (D)dD), calculez la tolérance
dD
dN/N que l'on peut accepter sur la fréquence N .
(d) Dans le cas où la fréquence est xée à la valeur obtenue au b), calculez, toujours en
utilisant le calcul diérentiel, les deux angles de lancement limites qui permettent
d'atteindre les bords de la cible.
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