Asservissement: Modélisation et Identification de Systèmes

ASSERVISSEMENT - Identif 1 –
II.4. Modélisation, Identification
II.4.a. Mise en équation
Exemple :
MCC commandée en tension :
eIRU
+
⋅
=
Equation électrique au stator (R : résistance inducteur)
ω
φ
⋅
=
)
(
K
e
Force contre électromotrice
IKCm⋅=)( φ Couple électromagnétique
)
(
J
f
=
φ
Flux de la machine (fonction du courant d’excitation)
ω ⋅=fCc Couple de charge
ω
&
⋅=− JCC cm Equation de la mécanique
⇒ ωω
+−= f
R
K
U
R
K
J2
&
dans Laplace : ωω
+−= f
R
K
sU
R
K
Js 2 )(
++
== f
R
K
Js
R
K
sUs
sH2
)( )(
)(
ω
, ⇒ s
A
sH
τ +
=1 )(
à système (modèle) du premier ordre.
R
U
e
ω
J, f
H(s)
U
ω

ASSERVISSEMENT - Identif 2 –
modèle imprécis :
U varie ⇒ influence de L (inductance stator)
⇒ eIR
dt
dI
LU+⋅+⋅=
⇒
++
++
== f
R
K
s
R
fL
Js
R
JL R
K
sUs
sH2
2
)( )(
)(
ω
(second ordre)
Le modèle reste approximatif :
à ignore :
- non linéarités
- saturations
- comportement en fréquences élevées
- effets de la température, humidité
- usure
- etc …
Pourtant, ensemble du système parfaitement connu :
→ Mis en équations sous forme analytique
→ Rarement le cas, ou bien trop complexes
En pratique → modèle approché
→ obtenu expérimentalement
→ valable uniquement dans la zone de fonctionnement du procédé étudié
à modélisation, méthodes d’identification.

ASSERVISSEMENT - Identif 3 –
II.4.b. Schéma fonctionnel
Représentation d’un modèle sous forme de schémas blocs.
Utilisation de blocs élémentaires :
- gains
- additionneurs
- premiers ordres
- intégrateurs
- etc …
Exemple : machine à courant continu
avec la charge :
Représentation utilisée par les logiciels de simulation d’asservissement tel que SIMULINK (©Math Corp.).
+
-
LsR+
1
K
K
C
m
ω
I
U
+
-
Js
1
Machine à
courant
continu
C
m
ω
U
C
c

ASSERVISSEMENT - Identif 4 –
II.4.c. Essai de lâcher
à Lorsque l’ordre du système est connu (1 ou 2)
à On abandonne le système à lui-même à partir d’une valeur de sortie donnée.
à On observe l’évolution du signal de sortie en fonction du temps.
- Circuits du premier ordre
s
sH
τ +
=11 )( ⇒ τ
t
eyty− ⋅=0 )(
⇒ ( ) ( )
τ
T
etyTty− ⋅=+
On trace y(t+T) en fonction de y(t) (échantillonnage de période T)
→ droite de pente τ
T
ea− = ⇒ )(aLog
T
e
−= τ
- Circuits du second ordre
Pour des systèmes équivalents à deux systèmes du premier ordre cascadés → )1)(1(1
21 ss
ττ ++ .
On procède comme précédemment, le système étant initialement en régime établi ( 0
0=y
&).
En notant 1
1τ
T
eD− = et 2
2τ
T
eD− =, on trouve : 0)()()()2(2121 =+++−+ tyDDTtyDDTty
Soit : 0
)( )(
)(
)( )2(2121 =+
+
+−
+
DD
tyTty
DD
tyTty
à l’équation d’une droite de la forme : 0)( 2121 =++− DDXDDY
à permet de déterminer D1 et D2, donc τ1 et τ2.
y(t)
y(t+T)
pente a

ASSERVISSEMENT - Identif 5 –
II.4.d. Méthode de Strejc
à Recherche d’un modèle sous la forme :
( )
n
sT
s
ek
sHR
τ +
⋅
=−
1
)( .
à A partir de la réponse indicielle.
à On relève Ta et Tu ⇒ n’ et τ sur l’abaque
u
y
k∆
∆
= →
( )
n
s
k
sH′
+
=
τ 1
)( , avec n’ réel.
n’=n+δ avec δ<1. On obtient alors
( )
n
sT
s
ek
sHR
τ +
⋅
=−
1
)( avec τδ ⋅=
R
T.
2
7085 110140 = −
−
=k
Tu = 10 et Ta = 50.
⇒ 2,0=
a
u
T
T
⇒ n’=2,84.
⇒ τ = 13.
⇒
84
,
0
2
84
,
2
=
=
⇒
=
′
δ
et
n
n
9,10=⇒=RR TT δτ
⇒
( )
2
9.10
131
2
)( s
e
sHs
+
⋅
≈−
Remarque :
si retard pur assez grand
→ réponse du système sans retard.
→ retard ajouté à la fin.
T
u
T
a