Mémoire - ENS Rennes

Mémoire M2
Leçon 261
Fonction caractéristique et transformée de Laplace d’une variable
aléatoire. Exemples et applications.
Paul Alphonse
Ecole Normale Supérieure de Rennes
Professeur encadrant : Jean-Christophe Breton
Décembre 2015
Table des matières
1 Fonction caractéristique et transformée de Laplace. 3
1.1 Transformée de Fourier d’une mesure bornée - Fonction caractéristique. . . . . . . 3
1.2 Transformée de Laplace d’une variable aléatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Caractérisationdelaloi. .................................. 6
2 Liens avec l’indépendance. 6
2.1 Caractérisations d’indépendance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 InégalitédeHoeffding ................................... 7
2.3 ThéorèmedeBernstein................................... 9
2.4 Opérations sur les transformées de Laplace et les transformées de Fourier. . . . . . 11
3 Liens avec les moments. 11
4 Liens avec la convergence en loi. 13
4.1 Notion de convergence en loi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Le théorème central limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3 Exemples d’utilisation du théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1

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Introduction
Le rôle des transformées de Fourier et de Laplace est bien connu en analyse et plus particulière-
ment dans l’étude des équations aux dérivées partielles.
Les objets analogues en théorie des probabilités possèdent une importance tout aussi grande puis-
qu’en particulier elle permettent de caractériser les lois des variables aléatoires. Cependant ce
n’est pas leur plus grande force (la fonction de répartition possède elle aussi cette propriété), elles
possèdent de plus des propriétés analogues à celles de leurs collègues en analyse. Par exemple,
leur comportement vis a vis de la convolution est identique ce qui permet de démontrer des ré-
sultats utiles sur l’indépendance des variables aléatoires. La transformée de Fourier des mesures
bornées possède elle aussi son théorème d’inversion.
De plus, elles possèdent des liens intrinsèques entre leur régularité et l’existence de moments
pour les variables aléatoires dont elles caractérisent la loi.
Enfin toutes deux ont leur rôle à jouer dans l’étude de la convergence en loi des variables aléa-
toires, les fonctions caractéristiques intervenant de manière fondamentale dans le théorème de
Lévy, qui permet lui-même de démontrer le très célèbre théorème central limite.
Le spectre d’utilisations (explicites ou implicites) de ces deux transformées est donc vaste et bien
le connaitre est fondamental.
Notations
Dans toute la leçon, on fixe un entier naturel non nul d. Toutes les variables aléatoires manipulées
seront à valeurs dans Rd. Dans le cas où d=1, on parlera plutôt de variable aléatoire réelle.
Lorsqu’on en aura besoin, on désignera par FXla fonction de répartition de la variable aléatoire
réelle X.
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1.Fonction caractéristique et transformée de Laplace.
1.1 -Transformée de Fourier d’une mesure bornée - Fonction caractéristique.
Définition 1.1.1 (Transformée de Fourier d’une mesure bornée).
Soit µune mesure bornée sur Rdmuni de sa mesure borélienne. On appelle transformée de Fourier de µ
l’application b µde Rddans Cdéfinie par
∀t∈Rd:b µ(t) = ZRdeihx,tiµ(dx).
Remarques
La transformée de Fourier d’une mesure bornée est bien définie étant donné que
∀t∈Rd:ZRd|eihx,ti|µ(dx)≤µ(Rd)<+∞.
De plus, si la mesure bornée µadmet une densité fpar rapport à la mesure de Lebesgue sur Rd,
alors
∀t∈Rd:b
µ(t) = ZRdf(x)eihx,tidx
et donc b µest, à constante multiplicative près, la transformée de Fourier de la fonction f.
On définit alors la fonction caractéristique d’une variable aléatoire à partir de la transformée de
Fourier de sa loi.
Définition 1.1.2 (Fonction caractéristique).
La fonction caractéristique d’une variable aléatoire X est la transformée de Fourier de sa loi PX. On la note
ϕX.
Remarques
La transformée de Fourier d’une mesure bornée est bien définie étant donné que
∀t∈Rd:ZRd|eihx,ti|µ(dx)≤µ(Rd)<+∞.
La loi d’une variable aléatoire étant par construction une mesure de probabilité, ϕXexiste pour
toute variable aléatoire X. De plus, d’après le théorème de transfert :
∀t∈Rd:ϕX(t) = Eeiht,Xi.
Exemples
Soit Xsuivant une loi géométrique G(p)avec p∈]0, 1[. Calculons sa fonction caractéristique.
∀t∈R:ϕX(t) =
∞
∑
k=1
p(1−p)k−1eikt =p
1−p
∞
∑
k=1(1−p)eitk
=p
1−p.(1−p)eit
1−(1−p)eit =peit 1−(1−p)eit
Soit à présent Xune variable aléatoire suivant une loi exponentielle E(λ)avec λ∈R∗
+.
∀t∈R:ϕX(t) = Z∞
0eitxλe−λxdx =λZ∞ 0e(it−λ)xdx
=λ"e(it−λ)x
it −λ#x=∞
x=0
=λ
λ−it
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Les deux tableaux suivants rassemblent les fonctions caractéristiques des lois usuelles (la lettre q
désignera toujours 1 −p) :
Lois Paramètres Fonctions caractéristiques
b(p)p∈]0, 1[q+peit
B(n,p)n∈N∗:p∈]0, 1[ (q+peit)n
P(λ)λ∈R∗
+eλ(eit −1)
G(p)p∈]0, 1[peit
1−qeit
U{1, . . . , n}n∈N∗ein
n
1−eint
1−eit
E(λ)λ∈R∗
+
λ
λ−it
Γ(n,λ)n∈N∗:λ∈R∗
+λ
λ−it n
N(m,Σ)m∈Rd:Σ∈ S(d,R)exp ihm,ti− 1
2t∗Σt
C(a)a∈R∗
+e−a|t|
U[a,b] [a,b]⊂Reitb −eita
it(b−a)
Proposition 1.1.1.
La fonction caractéristique d’une variable aléatoire X vérifie :
1. ∀t∈Rd:|ϕX(t)| ≤ϕX(0) = 1.
2. ∀t∈Rd:ϕX(−t) = ϕX(t).
3. Si la loi de X est symétrique, alors ϕXest à valeurs réelles.
4. ∀A∈ L(Rd,Rk),∀b∈Rk:ϕAX+b:t7→ eihb,tiϕX(A∗t).
5. ϕXest uniformément continue sur Rd.
Tout comme pour les fonctions intégrables, on a un théorème d’inversion de Fourier pour les
mesures bornées.
Proposition 1.1.2.
Soit µune mesure bornée sur Rdtelle que sa transformée de Fourier soit Lebesgue-intégrable. Alors µest
absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue et sa densité est donnée λ-presque partout par la
fonction continue h définie par
∀x∈Rd:h(x) = 1
(2π)dZRdb
µ(t)e−hx,tidt.
Remarques
Il résulte de la proposition précédente qu’une variable aléatoire dont la fonction caractéristique
est intégrable est une variable aléatoire à densité.
Il est possible de distinguer les fonctions caractéristiques parmi toutes les fonctions de Rà valeurs
complexes. Toute fonction caractéristique est continue, vaut 1 en 0 et est de type positif. Vérifions
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le dernier point : si µest une mesure de probabilité sur R, alors pour tous nentier naturel, t1,...,tn
nombres réels et a1,...,annombres complexes :
n
∑
j=1
n
∑
k=1b
µ(tj−tk)ajak=
n
∑
j=1
n
∑
k=1ZRei(tj−tk)xµ(dx)ajak=ZR n
∑
j=1
n
∑
k=1
ei(tj−tk)xajak!µ(dx)
=ZR n
∑
j=1
eit jx! n
∑
j=1
eit jx!µ(dx) = ZR n
∑
j=1
eit jx!
2
µ(dx)
≥0.
Il est remarquable que les trois propriétés précédentes caractérisent les fonctions caractéristiques.
Théorème 1.1.1 (Bochner-Herglotz).
Une fonction ϕ:R→Cest une fonction caractéristique si et seulement si elle est continue, est de type
positif et vérifie ϕ(0) = 1.
1.2 -Transformée de Laplace d’une variable aléatoire.
Définition 1.2.1 (Transformée de Laplace).
Soit X une variable aléatoire. On définit
DX={t∈Rd:E(eht,Xi)<+∞}
et
GX:DX→R
t7→ E(eht,Xi).
GXest appelée la transformée de Laplace associée à X.
Remarque
GXest toujours définie en 0 mais GXne peut être définie que sur ce seul singleton comme on va
le voir dans les exemples qui suivent.
Exemples
Le calcul des transformées de Laplace de variables aléatoires est de même nature que le calcul de
leur fonction caractéristique. Les lois présentes dans le tableau suivant montrent que l’intervalle
de définition d’une transformée de Laplace n’est dans le cas général ni ouvert, ni fermé.
Loi Transformée de Laplace Intervalle de définition
b(p)q+petR
E(λ)λ
λ−t]−∞,λ[
f:x7→ 1
(1+x)21[0,+∞[(x)Z∞
0
etx
(1+x)2dx ]−∞, 0]
C(1)0{0}
Proposition 1.2.1.
Soit X une variable aléatoire réelle. Alors :
1. GX(0) = 1.
2. DXest un intervalle de R.
3. Si X est bornée, alors GXest définie et continue sur R.
4. Si X est positive, alors GXest continue sur R−.
5. Pour a et b deux réels, GaX+b:t7→ ebtGX(at).
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