Produit scalaire

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Produit scalaire
Définition
Soit ABC un triangle quelconque dont les côtés mesurent respectivement a, b, c. Par le théorème
de Pythagore généralisé, on a
a2=b2+c2−2bc cos b A(1)
Supposons que le vecteur −→ AB a pour coordonnées (xAB, yAB, zAB)et que le vecteur −→ AC a pour
coordonnées (xAC , yAC , zAC ).
Par la décomposition vectorielle, on peut écrire :
−−→
BC =−→ BA +−→ AC
=−−→ AB +−→ AC
=−→ AC −−→ AB
D’où le vecteur −−→ BC a pour coordonnées (xAC −xAB, yAC −yAB , zAC −zAB ).
Par (1), on a
||−−→ BC||2=||−→ AB||2+||−→ AC||2−2· ||−→ AB|| · ||−→ AC|| · cos(
\
−→
AB, −→ AC)
En utilisant la formule de calcul du carré de la norme d’un vecteur en fonction de ses compo-
santes (voir document norme-vecteur.pdf ), on peut écrire
(xAC −xAB)2+ (yAC −yAB)2+ (zAC −zAB)2=
x2
AB +y2 AB +z2 AB +x2 AC +y2 AC +z2 AC −2· ||−→
AB|| · ||−→ AC|| · cos(
\
−→
AB, −→ AC)
En développant les carrés du membre de gauche, on a
(x2
AC −2·xAC ·xAB +x2 AB)+(y2 AC −2·yAC ·yAB +y2 AB)+(z2 AC −2·zAC ·zAB +z2 AB) =
x2
AB +y2 AB +z2 AB +x2 AC +y2 AC +z2 AC −2· ||−→
AB|| · ||−→ AC|| · cos(
\
−→
AB, −→ AC)
c
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Après une première simplification, il reste
−2·xAC ·xAB −2·yAC ·yAB −2·zAC ·zAB =−2· ||−→ AB|| · ||−→ AC|| · cos(
\
−→
AB, −→ AC)
−2·(xAC ·xAB +yAC ·yAB +zAC ·zAB) = −2· ||−→ AB|| · ||−→ AC|| · cos(
\
−→
AB, −→ AC)
Puis enfin
xAC ·xAB +yAC ·yAB +zAC ·zAB =||−→ AB|| · ||−→ AC|| · cos(
\
−→
AB, −→ AC)
On appelle produit scalaire des 2 vecteurs −→ AB et −→ AC chacune des 2 expressions ci-dessus.
Le produit scalaire est noté −→ AB •−→ AC
En écriture simplifiée, si on a 2 vecteurs ~v(xv, yv, zv)et ~w(xw, yw, zw), alors
~v •~w =xv·xw+yv·yw+zv·zw(somme des produits des composantes)
~v •~w =||~v|| · ||~w|| · cos( d ~v, ~w)(produit des normes par le cosinus de l’angle qu’ils déterminent) (2)
Propriété immédiate
Si on connaît les coordonnées de 2 vecteurs, leur produit scalaire permet de calculer l’angle
qu’ils déterminent : de (2) on tire aisément
cos(d ~v, ~w) = ~v •~w
||~v|| · ||~w|| =xv·xw+yv·yw+zv·zw ||~v|| · ||~w|| (3)
Exemple
Soit ~v(1,2,3) et ~w(−2,3,−4)
||~v|| =√12+ 22+ 32=√14
||~w|| =p(−2)2+ 32+ (−4)2=√29
~v •~w = (1)(−2) + (2)(3) + (3)(−4) = −8
cos(d ~v, ~w) = −8
√14 ·√29 ⇒d
~v, ~w = 113˚,392 . . .
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Propriétés
Produit scalaire et norme
Soit un vecteur ~v(x, y, z)
~v •~v =x·x+y·y+z·z
=x2+y2+z2
=||~v||2⇒ ||~v|| =√~v •~v
~v •~v est appelé carré scalaire de ~v.
Produit scalaire et orthogonalité
~v⊥~w ⇔d ~v, ~w =π
2⇒~v •~w =||~v|| · ||~w|| · cos π 2= 0
On définit donc
~v⊥~w ⇔~v •~w = 0
Produit scalaire et parallélisme
– Soit ~v// ~w, même sens ⇔d ~v, ~w = 0 ⇒~v •~w =||~v|| · ||~w|| · 1 = ||~v|| · ||~w||
Le produit scalaire de 2 vecteurs parallèles de même sens est égal au produit de leurs normes.
– Soit ~v// ~w, de sens contraires ⇔d ~v, ~w =π⇒~v •~w =||~v||·||~w||·(−1) = −||~v||·||~w||
Le produit scalaire de 2 vecteurs parallèles de sens contraires est égal à l’opposé du produit
de leurs normes.
Le calcul d’un produit scalaire est une opération simple
lorsque les vecteurs sont parallèles ou orthogonaux !
Produit scalaire, commutativité et distributivité
Le produit scalaire est commutatif :
~v •~w =~w •~v
Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition des vecteurs :
(~u +~v)•~w =~u •~w +~v •~w
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Produit scalaire et projection orthogonale
– Soit 2 vecteurs ~v et ~w tels que d ~v, ~w =angle aigu.
Soit ~p le projeté orthogonal de ~v sur ~w
~w •~v =||~w|| · ||~v|| · cos(d ~v, ~w)
| {z }
||~p||
où ~w//~p de même sens
=~w •~p
– Soit 2 vecteurs ~v et ~w tels que d ~v, ~w =angle obtu.
Soit ~p le projeté orthogonal de ~v sur ~w
~w •~v =||~w|| · ||~v|| · cos(d ~v, ~w)
| {z }
−||~p||
où ~w//~p de sens contraires
=~w •~p
c
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