produit-scalaire.pdf -1 - Produit scalaire Définition Soit ABC un triangle quelconque dont les côtés mesurent respectivement a, b, c. Par le théorème de Pythagore généralisé, on a b a2 = b2 + c2 − 2bc cos A (1) −→ −→ Supposons que le vecteur AB a pour coordonnées (xAB , yAB , zAB ) et que le vecteur AC a pour coordonnées (xAC , yAC , zAC ). Par la décomposition vectorielle, on peut écrire : −−→ −→ −→ BC = BA + AC −→ −→ = −AB + AC −→ −→ = AC − AB −−→ D’où le vecteur BC a pour coordonnées (xAC − xAB , yAC − yAB , zAC − zAB ). Par (1), on a −−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ \ ||BC||2 = ||AB||2 + ||AC||2 − 2 · ||AB|| · ||AC|| · cos(AB, AC) En utilisant la formule de calcul du carré de la norme d’un vecteur en fonction de ses composantes (voir document norme-vecteur.pdf ), on peut écrire (xAC − xAB )2 + (yAC − yAB )2 + (zAC − zAB )2 = −→ −→ −→ −→ \ 2 2 2 2 + zAC − 2 · ||AB|| · ||AC|| · cos(AB, AC) + zAB + x2AC + yAC x2AB + yAB En développant les carrés du membre de gauche, on a 2 2 2 2 − 2 · yAC · yAB + yAB ) + (zAC − 2 · zAC · zAB + zAB )= (x2AC − 2 · xAC · xAB + x2AB ) + (yAC −→ −→ −→ −→ \ 2 2 2 2 x2AB + yAB + zAB + x2AC + yAC + zAC − 2 · ||AB|| · ||AC|| · cos(AB, AC) c JM Desbonnez produit-scalaire.pdf -2 - Après une première simplification, il reste −→ −→ −→ −→ \ −2 · xAC · xAB − 2 · yAC · yAB − 2 · zAC · zAB = −2 · ||AB|| · ||AC|| · cos(AB, AC) −→ −→ −→ −→ \ −2 · (xAC · xAB + yAC · yAB + zAC · zAB ) = −2 · ||AB|| · ||AC|| · cos(AB, AC) Puis enfin −→ −→ −→ −→ \ xAC · xAB + yAC · yAB + zAC · zAB = ||AB|| · ||AC|| · cos(AB, AC) −→ −→ On appelle produit scalaire des 2 vecteurs AB et AC chacune des 2 expressions ci-dessus. −→ −→ Le produit scalaire est noté AB • AC En écriture simplifiée, si on a 2 vecteurs ~v (xv , yv , zv ) et w(x ~ w , yw , zw ), alors ~v • w ~ = xv · xw + yv · yw + zv · zw (somme des produits des composantes) (2) ~v • w ~ = ||~v || · ||w|| ~ · cos(~vd , w) ~ (produit des normes par le cosinus de l’angle qu’ils déterminent) Propriété immédiate Si on connaît les coordonnées de 2 vecteurs, leur produit scalaire permet de calculer l’angle qu’ils déterminent : de (2) on tire aisément cos(~vd , w) ~ = ~v • w ~ xv · xw + yv · yw + zv · zw = ||~v || · ||w|| ~ ||~v || · ||w|| ~ Exemple Soit ~v (1, 2, 3) et w(−2, ~ 3, −4) ||~v || = ||w|| ~ = √ 12 + 22 + 32 = √ 14 p √ (−2)2 + 32 + (−4)2 = 29 ~v • w ~ = (1)(−2) + (2)(3) + (3)(−4) = −8 −8 √ cos(~vd , w) ~ =√ 14 · 29 ⇒ ~vd ,w ~ = 113˚, 392 . . . c JM Desbonnez (3) produit-scalaire.pdf -3 - Propriétés Produit scalaire et norme Soit un vecteur ~v (x, y, z) ~v • ~v = x · x + y · y + z · z = x2 + y 2 + z 2 = ||~v ||2 ⇒ ||~v || = √ ~v • ~v ~v • ~v est appelé carré scalaire de ~v . Produit scalaire et orthogonalité π π ~v ⊥w ~ ⇔ ~vd ,w ~= ⇒ ~v • w ~ = ||~v || · ||w|| ~ · cos = 0 2 2 On définit donc ~v ⊥w ~ ⇔ ~v • w ~ =0 Produit scalaire et parallélisme – Soit ~v //w, ~ même sens ⇔ ~vd ,w ~ = 0 ⇒ ~v • w ~ = ||~v || · ||w|| ~ · 1 = ||~v || · ||w|| ~ Le produit scalaire de 2 vecteurs parallèles de même sens est égal au produit de leurs normes. – Soit ~v //w, ~ de sens contraires ⇔ ~vd ,w ~ = π ⇒ ~v • w ~ = ||~v || · ||w|| ~ · (−1) = −||~v || · ||w|| ~ Le produit scalaire de 2 vecteurs parallèles de sens contraires est égal à l’opposé du produit de leurs normes. Le calcul d’un produit scalaire est une opération simple lorsque les vecteurs sont parallèles ou orthogonaux ! Produit scalaire, commutativité et distributivité Le produit scalaire est commutatif : ~v • w ~ =w ~ • ~v Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition des vecteurs : (~u + ~v ) • w ~ = ~u • w ~ + ~v • w ~ c JM Desbonnez produit-scalaire.pdf -4 - Produit scalaire et projection orthogonale – Soit 2 vecteurs ~v et w ~ tels que ~vd ,w ~ = angle aigu. Soit p~ le projeté orthogonal de ~v sur w ~ w ~ • ~v = ||w|| ~ · ||~v || · cos(~vd , w) ~ | {z } où w//~ ~ p de même sens ||~ p|| =w ~ • p~ – Soit 2 vecteurs ~v et w ~ tels que ~vd ,w ~ = angle obtu. Soit p~ le projeté orthogonal de ~v sur w ~ w ~ • ~v = ||w|| ~ · ||~v || · cos(~vd , w) ~ | {z } où w//~ ~ p de sens contraires −||~ p|| =w ~ • p~ c JM Desbonnez