Approfondissement no 3et5: Partie entière et fractionnaire

ECE 2 - Mathématiques
Quentin Dunstetter - ENC-Bessières 2014\2015
Partie entière et fractionnaire
Approfondissement n 3 et 5 :
Partie entière et fractionnaire
o
Rappels : partie entière et partie fractionnaire.
Dénition 1
Soit x un nombre réel. On appelle partie entière de x et on note bxc l'unique nombre entier k ∈ Z
tel que :
bxc = k 6 x < k + 1 = bxc
On appelle de plus partie fractionnaire de x et on note {x} le nombre déni par :
{x} = x − bxc.
Egalités et inégalités avec la partie entière et la partie fractionnaire
Méthode
Pour montrer une égalité avec une partie entière, on isole cette partie entière pour se ramener à la forme
bAc = B .
Pour montrer que bAc = B , on montre toujours que :
B est un entier.
Il vérie l'encadrement caractéristique, c'est-à-dire :
B6A
puis
A < B + 1.
Pour montrer une égalité avec une partie fractionnaire, on remplace la partie fractionnaire par sa dénition
avec une partie entière, et on utilise la méthode ci-dessus.
Méthode
Pour montrer une inégalité avec une partie entière, on isole cette partie entière pour se ramener à la forme
bAc 6 B ou bien bAc > B (ou bien avec des inégalités strictes).
Pour majorer ou minorer une partie entière, on se sert de l'encadrement fondamental de la dénition :
bxc 6 x < bxc + 1
qu'on doit savoir renverser en
x − 1 < bxc 6 x.
Exercice 1
(fondamental).
Montrer que pour tout x ∈ R,
{x} ∈ [0; 1[.
Exercice 2.
Essec II 2014, partie I.
Soit x ∈ R. On note bxc sa partie entière, c'est-à-dire le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x, et
{x} sa partie fractionnaire : {x} = x−bxc. On note log z le logarithme en base 10 du réel z > 0. On a donc
z
log z = lnln10
. On rappelle en particulier les propriétés suivantes, qu'on pourra utiliser sans démonstration :
∀z > 0, 10log z = z
∀z > 0, ∀z 0 > 0, log(z.z 0 ) = log z + log z 0
∀a ∈ R, log(10a ) = a
√
On a par exemple log(100) = 2, log( 10) = 21 .
1
ECE 2 - Mathématiques
Quentin Dunstetter - ENC-Bessières 2014\2015
Partie entière et fractionnaire
1. (a) Montrer que pour tout réel x positif et non nul, on a :
x = 10{log x} .10blog xc
Cette décomposition est dite notation scientique de x.
(b) Montrer que pour tout x > 0, le couple (10{log x} , blog xc) est l'unique couple (α, n) dans
[1; 10[×Z tel que x = α.10n .
(c) Soit x > 0. On pose γ = b10{log x} c. Montrer que γ ∈ {1; 2; ...; 9}.
γ est appelé le premier chire signicatif de x.
9
P
2. Pour tout entier naturel k tel que 1 6 k 6 9, on pose pk = log 1 + k1 . Montrer que
pk = 1.
(pk ) dénit donc une loi de probabilité sur {1; 2; ...; 9} dite loi de Benford.
k=1
3. Soit X une variable aléatoire réelle strictement positive. On suppose que la variable aléatoire réelle
Y = {log X} suit une loi uniforme sur [0; 1[.
(a) Soit k ∈ {1; 2; ...; 9}. Montrer que b10Y c = k ⇐⇒ k 6 10Y < k + 1.
(b) On considère la variable aléatoire Γ = b10{log X} c égale au premier chire signicatif de X .
Déterminer la loi de la variable aléatoire Γ.
4. Soit Y une variable aléatoire réelle admettant une densité g continue sur R. On suppose que
(h1 ) g atteint son maximum M en un unique point a0 ∈ R.
(h2 ) g est croissante sur ] − ∞; a0 ] et décroissante sur [a0 ; +∞[.
(a)
i. Montrer que pour tout y ∈ R et tout n ∈ Z, {y} = {y − n}.
ii. Déduire que pour tout n ∈ Z, la loi de {Y } est identique à celle de {Y − n}.
iii. Déterminer une fonction de densité g̃ continue de la variable aléatoire Y − ba0 c.
iv. Montrer que g̃ admet un unique maximum en un point a˜0 ∈ [0, 1[.
v. Montrer que g̃ vérie les conditions (h1 ) et (h2 ) ci-dessus avec a˜0 remplaçant a0 .
Probabilités et parties entières et fractionnaires.
Exercice 3.
1. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 1.
Donner une densité f de X .
2. On dénit les variables aléatoires Y et Z par :
Y = bXc
et
Z = {X} = X − bXc
(a) Déterminer la loi de Y .
(b) Montrer que la variable aléatoire Y + 1 suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.
En déduire l'espérance et la variance de Y .
3. (a) Justier :
∀t ∈] − ∞; 0[, FZ (t) = 0
et
∀t ∈ [1; +∞[, FZ (t) = 1.
(b) Pour tout t ∈ [0; 1[, exprimer FZ (t) à l'aide de probabilités de la forme P (n 6 X 6 n + t).
(c) Pour tout nombre réel t ∈ [0; 1[ et pour tout nombre entier naturel n, calculer la probabilité
P (n 6 X 6 n + t).
(d) Montrer :
∀t ∈ [0; 1[, FZ (t) =
1 − e−t
.
1 − e−1
(e) Montrer que Z est une variable aléatoire à densité. Déterminer une densité de Z .
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