Exercices électro mag induction
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SOMMAIRE Champ magnétique ............................................................................................................................................................................. 1 Exercice 1: Analyse de spectres de champs magnétiques ............................................................................................ 1 Exercice 2: Bobines de Helmholtz ................................................................................................................................. 1 Exercice 3: Etude d’une bobine .................................................................................................................................... 2 Actions de Laplace .............................................................................................................................................................................. 2 Exercice 4: Freinage magnétique .................................................................................................................................. 2 Exercice 5: Rails de Laplace ........................................................................................................................................... 2 Exercice 6: Fil pesant en équilibre ................................................................................................................................ 3 Exercice 7: Trois conducteurs ....................................................................................................................................... 3 Induction de Lorentz ........................................................................................................................................................................... 4 Circuit Mobile dans un Champ Magnétique Stationnaire ................................................................................................................... 4 Exercice 8: Freinage par induction ................................................................................................................................ 4 Exercice 9: Pendule freiné par induction ...................................................................................................................... 4 Exercice 10: Rails de Laplace ......................................................................................................................................... 5 Exercice 11: Rails de Laplace non parallèles ................................................................................................................. 8 Exercice 12: Canon à induction ..................................................................................................................................... 9 Exercice 13: Microphone électrodynamique .............................................................................................................. 10 Exercice 14: Freinage d’un système en rotation ......................................................................................................... 12 Exercice 15: Principe d’un moteur continu à induction .............................................................................................. 13 Induction de Neumann ...................................................................................................................................................................... 15 Circuit Fixe dans un Champ Magnétique Variable ........................................................................................................................... 15 Exercice 16: Pince ampèremétrique ........................................................................................................................... 15 CHAMP MAGNETIQUE Exercice 1: Analyse de spectres de champs magnétiques La carte de champ magnétique suivante a été obtenue dans le plan xOz : 1. Préciser où se trouvent les sources du champ magnétique et commenter la forme des lignes en leur voisinage. 2. Le spectre magnétique s’avère invariant dans tous les plans contenant l’axe Oz, préciser la nature des circuits électriques produisant cette carte de champs. 3. Sur les axes Ox et Oz, où se trouvent les points où le champ est le plus intense ? En déduire les sens relatifs de parcours des intensités dans les différents circuits. 4. En exploitant les symétries, comparer les intensités des différents courants ; interpréter alors la situation en O. 5. Quelle modification simple permettrait d’obtenir la carte de champ de la figure à droite, invariante par rotation autour de l’axe Oz ? Reconnaître ce dispositif. Exercice 2: Bobines de Helmholtz Le champ magnétique créé sur l’axe d’une spire circulaire de courant de centre O, de rayon R, d’axe (O, z) et parcourue par un courant d’intensité i, est une fonction de OM = z : 𝑅2 ⃗ = 𝜇0 𝑖 𝐵 𝑒𝑧 où µ0 = 4π.10-7 H.m-1 est la perméabilité magnétique du vide. 3 ⃗⃗⃗ 2(𝑅 2 +𝑧 2 )2 1. Calculer le champ magnétique au centre O d’une spire de rayon R = 1,0 m parcourue par un courant d’intensité i = 1,0 A. 2. On place deux spires coaxiales S1 et S2, identiques, dont les courants circulent dans le même sens et distantes 𝑅 𝑅 de O1O2 = r où O est le milieu de [O1O2], OO1 = z1=− 2 et OO2 = z2 = 2 . On donne le tracé des trois graphes B1(z) créé par S1, B2(z) créé par S2 et B(z) créé par S. Commenter la forme des trois courbes et expliquer pourquoi ce dispositif présente un grand intérêt expérimental dans la création de champs. 1 Exercice 3: Etude d’une bobine Une bobine « infinie » est fabriquée en utilisant un fil de diamètre δ qu’on enroule autour d’un cylindre de rayon a ≫ δ et de longueur d ≫ a. La bobine est alimentée par un générateur idéal de tension de force électromotrice E. Le fil utilisé possède une résistance linéique λ, exprimée en ohm par mètre : une longueur L de fil possède une résistance R = λ L. 1. Déterminer le nombre total de spires N, le nombre de spires par mètre n et la longueur totale de fil L. 2. Proposer un schéma électrique équivalent pour le circuit électrique. Pourquoi faut-il attendre quelques instants avant de pouvoir affirmer que le champ magnétique est stationnaire ? ⃗ créé par la bobine. 3. Donner l’expression du champ magnétique 𝐵 4. On assimile chaque boucle à une spire circulaire formant une boucle de courant plane. Donner l’expression de son moment magnétique. ACTIONS DE LAPLACE Exercice 4: Freinage magnétique On recommande aux véhicules lourds (camions, bus) d’utiliser un frein magnétique dans les descentes des cols en montagne. Quel en est le principe ? Quel est l’avantage par rapport à un freinage usuel à disque ? Exercice 5: Rails de Laplace Le schéma ci-dessous présente le dispositif des rails de Laplace : la partie du circuit constituée des deux rails parallèles et d’un générateur de courant est fixe dans le laboratoire. La barre CD, de masse m et de longueur l, referme le circuit mais peut se déplacer sans frottements. L’ensemble est plongé dans un champ magnétique ⃗ = 𝐵𝑢 uniforme 𝐵 ⃗ 𝑧 orthogonal au plan formé par les rails. On suppose que le seul mouvement possible de la barre CD est une translation parallèle à la direction x avec la vitesse ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣(𝑡) = 𝑣(𝑡)𝑢 ⃗ 𝑥. 1. Etablir l’équation du mouvement de la barre. La résoudre en supposant que le générateur délivre une intensité électrique i constante et que la vitesse initiale de la barre est nulle. Commenter le résultat. 2. Déterminer la puissance des actions de Laplace s’exerçant sur la barre. 3. Vérifier que l’on retrouve le résultat de la question 1 en appliquant le théorème de la puissance cinétique à la barre. 2 Exercice 6: Fil pesant en équilibre O I i A Le fil pesant OA de masse m et de longueur l est parcouru par un courant d’intensité i. Il est mobile autour d’un point fixe O grâce à une liaison pivot idéale. A la distance d de O est placé un fil rectiligne "infini" parcouru par un courant d’intensité I. Les deux fils sont toujours situés dans un même plan vertical. Les intensités I et i sont maintenues constantes. Quelle est l’équation vérifiée par , angle que fait OA avec la verticale à l’équilibre ? On rappelle que le champ magnétostatique créé en un point M à la distance r d'un fil rectiligne infini parcouru par un courant d'intensité I I s'écrit : B(M) 0 eM 2 r Exercice 7: Trois conducteurs On considère trois fils infinis rectilignes situés dans un même plan vertical et parallèles entre eux (voir figure). Les fils (1) et (3) sont distants de d et fixes. Le fil (2) peut se déplacer parallèlement à lui-même dans le plan contenant les fils (1) et (3). Soient I1, I2 et I3 l’intensité des courants parcourant respectivement les fils (1), (2) et (3). 1. Les courants sont dans le même sens. On rappelle que le champ magnétostatique créé en un point M à la distance r d’un fil parcouru par un courant I d’intensité I s’écrit : B(M) 0 eM 2 r 1.1 Déterminer le champ B créé par les courants (1) et (3) en tout point du plan contenant les fils (1) et (3). 1.2 Déterminer l’action par unité de longueur que subit le fil (2) de masse négligeable. 1.3 Déterminer la position d’équilibre du fil (2) et préciser la stabilité de cette position en justifiant votre réponse. A.N. : d = 15 cm ; I1 = 1A ; I2 = 2 A ; I3 = 3 A 2) On inverse le sens du courant du fil (1). On suppose toujours que les masses des fils sont négligeables. Déterminer la position d’équilibre du fil (2) et préciser la stabilité de cette position. 3) Les courants étant de même sens que dans le 2) on considère que la masse du fil (2) est m 10 7 kg pour une longueur l égale à 1 m. Déterminer les positions d’équilibre de ce fil et préciser leur stabilité. 4) Le fil (2) est cylindrique. Sachant que l’intensité maximale que peut supporter un fil de cuivre est de 2A pour une section de 0,8 mm2, une telle expérience est-elle possible avec un fil en cuivre ? On donne 8890 kg. m 3 pour le cuivre. (3) (2) d 𝑔 (1) 3 INDUCTION DE LORENTZ CIRCUIT MOBILE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE STATIONNAIRE Exercice 8: Freinage par induction On considère un référentiel 0 muni d’un repère (F; e x , e y , e z ) tel que le F C S L M champ de pesanteur est représenté par g g e z . Dans le plan vertical (F; e x , e z ) , on place deux rails FA et SP conducteurs distants de L. Une barre CD conductrice de masse m, de longueur supérieure à L, coulisse sans frottement le long de ces rails. On suppose que la barre CD reste toujours en contact en M avec le rail FA et en N avec le rail SP grâce à une liaison glissière idéale non représentée sur le schéma et reste horizontal au cours de son mouvement. Le tout a une résistance négligeable et est placé dans un champ magnétique B uniforme, stationnaire, perpendiculaire au plan de la e x D N P A figure B B e y . On lâche la barre CD sans vitesse initiale de la position M = O. A l’instant t, on note la vitesse de la barre v(t) e z à la position z(t). 1) Déterminer la fem induite qui apparaît entre les points M et N en fonction notamment de v(t). 2) On branche entre les rails aux points A et P une résistance R. 2-1 Déterminer l’équation électrique du circuit électrique ainsi formé. Quel est le sens réel du courant ? 2-2 Déterminer l’équation mécanique. 2-3 En déduire l’expression de la vitesse de la barre. 3) On remplace la résistance par un condensateur de capacité C initialement déchargé. 3-1 Déterminer la nouvelle équation électrique 3-2 En déduire l’expression de la vitesse de la barre Exercice 9: Pendule freiné par induction On considère un pendule homogène de longueur l, de masse m, de moment d’inertie J par rapport à son axe de rotation, en mouvement dans un plan vertical grâce à une liaison pivot idéale. L’extrémité mobile de ce pendule est en contact avec un support fixe ayant une forme circulaire. On réalise un circuit électrique fermant le pendule sur lui-même par l’intermédiaire du support. La résistance de ce circuit est R. On plonge le système dans un champ magnétique B uniforme, indépendant du temps, perpendiculaire au plan d’observation, dirigé vers l’avant de la figure. On écarte le pendule de sa position d’équilibre 0 et on le lâche sans vitesse initiale. Décrire l’évolution du système au voisinage de la position O i d’équilibre (on distinguera deux cas suivant que le champ B est fort ou faible). i On suppose que l’extrémité mobile glisse sans frotter sur le support fixe. Pour le sens du courant i circulant dans le pendule, voir le schéma. 4 Exercice 10: Rails de Laplace 1) Une barre, de masse m, peut glisser sans frottement sur deux rails parallèles. Les deux rails, distants de l, et la barre forment un plan horizontal. La barre reste perpendiculaire à la direction des rails, notée Ox. En x = 0, les rails sont reliés par un conducteur. L’ensemble des rails, de la barre et du conducteur forme donc un circuit fermé. La résistance électrique de ce circuit est représentée par une résistance constante R localisée sur le conducteur reliant les deux rails. L’ensemble est plongé dans un champ magnétique stationnaire et uniforme B B e z (B constante positive). On néglige entièrement les phénomènes d’auto induction. On oriente le circuit comme indiqué sur la figure. Soit g le champ de pesanteur tel que g g e z . y Barre i(t) D C l R z O i(t) x A La barre est lancée avec la vitesse initiale v0 dans le sens des x croissants. Soit v (t) x (t) la vitesse de la barre à l’instant t. 1.1.1) Expliquer la raison de l’existence d’un phénomène d’induction. 1.1.2) Citer trois exemples d’application de l’induction dans la vie courante. 1.2.1) Déterminer l’expression de la f.e.m. induite eOACDO dans le circuit en fonction de B, l et v(t). 1.2.2) Faire le schéma électrique équivalent et en déduire l’équation électrique. 1.3.1) Déterminer l’expression de la force de Laplace FL subie par la barre. 1.3.2) Déterminer l’équation mécanique par application du principe fondamental de la dynamique à la barre. v(t) 1.4) En déduire l’équation différentielle v(t) 0 vérifiée par la vitesse v(t) de la barre. 1 Exprimer τ 1 en fonction des données. 1.5) Résoudre cette équation et représenter l’allure du graphe de v (t) en fonction de t. 1.6) En multipliant chaque membre de l’équation électrique par i (t) et chaque membre de l’équation mécanique par v (t), déduire un bilan de puissance. Que devient l’énergie cinétique initiale de la barre ? 2) On complète le dispositif précédent en ajoutant sur le conducteur reliant les deux rails un générateur idéal de tension de f.e.m. constante E. 5 La barre est maintenant initialement immobile. y Barre i(t) C D E L R A O x i(t) 2.1) En s’inspirant des résultats obtenus aux questions 1.2.2 et 1.3.2, réécrire dans le cas présent les équations électrique et mécanique. v(t) 2.2) En déduire l’équation différentielle v(t) K vérifiée par la vitesse v(t) de la barre. Exprimer τ 2 et 2 K en fonction des données. 2.3) Résoudre cette équation et représenter l’allure du graphe de v (t) en fonction de t. 2.4) Déterminer l’intensité i (t) dans le circuit en fonction de t. 2.5) En faisant un nouveau bilan de puissance, expliquer à quoi est utilisée la puissance fournie par le générateur. 3) Oscillations d’une barre plongée dans un champ magnétique. On reprend le dispositif de la partie 1 mais maintenant la barre est reliée à un ressort de constante de raideur k. L’origine des abscisses est prise lorsque le ressort est au repos. A l’instant initial, l’abscisse de la barre est égale à a ( a 0 ) et la barre est lâchée sans vitesse initiale. La barre peut glisser sans frottement sur les rails. y Barre i(t) D R C L k L O i(t) A x 3.1) Réécrire dans le cas présent les équations électrique et mécanique. x(t) 02 x(t) 0 vérifiée par l’abscisse x(t) de la barre. 3.2) En déduire l’équation différentielle x(t) 3 Exprimer τ 3 et 02 en fonction des données. 3.3) Résoudre cette équation différentielle en considérant 0 3 1 6 3.4) Représenter l’allure du graphe de x(t) en fonction de t en considérant 0 3 1 . 3.5) Faire un bilan de puissance. En déduire l’égalité Ri 2 (t) dt t 0 1 k a2 2 4) Oscillations de deux barres plongées dans un champ magnétique Deux barres parallèles et identiques, de même masse m, peuvent glisser sans frottement sur deux rails, parallèles, distants de L. L’ensemble des rails et des barres est dans un même plan horizontal. Les seuls mouvements possibles des barres sont des translations rectilignes suivant la direction Ox des rails. Les deux barres et les tronçons de rails situés entre les barres forment un circuit fermé. Ce circuit fermé possède une résistance électrique R qui sera supposée constante quelle que soit la position des barres. On oriente le circuit comme indiqué sur la figure. L’ensemble est plongé dans un champ magnétique stationnaire et uniforme B Be z (B constante positive). Soit g le champ de pesanteur tel que g g e z . Chacune des barres est liée à un ressort de constante de raideur k. La position de la barre 1 est repérée par son abscisse x 1 (t) , comptée à partir de la position pour laquelle le ressort auquel elle est liée est au repos. De même, la position de la barre 2 est repérée par son abscisse x 2 (t) , comptée à partir de la position pour laquelle le ressort auquel elle est liée est au repos. On se reportera à la figure ci-dessous. A l’instant initial, les deux barres sont lâchées sans vitesse initiale aux positions x 1 (0) a avec a 0 et x 2 (0) 0 . Barre 2 Barre 1 D C R i(t) k k L L F A i(t) x 4.1) Faire le schéma électrique équivalent et en déduire l’équation électrique. 4.2) Appliquer le principe fondamental de la dynamique à chacune des deux barres et en déduire deux équations mécaniques. 4.3) En déduire les équations différentielles vérifiées par les abscisses x 1 (t) et x 2 (t) des deux barres : x 1 (t) x 1 (t) x 2 (t) τ4 ω 02 x 1 (t) 0 et x 2 (t) Exprimer τ 4 et ω 02 en fonction des données. 7 x 2 (t) x 1 (t) ω 02 x 2 (t) 0 τ4 4.4) On pose X (t) x 1 (t) x 2 (t) et Y (t) x 1 (t) x 2 (t) . Déterminer l’équation différentielle vérifiée par X(t) et celle vérifiée par Y(t). 4.5) Déterminer la solution Y(t) en supposant 0 4 1 . Quelle est la limite de Y(t) quand t ? 4.6) Déterminer la solution X(t). En déduire les formes des expressions de x 1 (t) et x 2 (t) quand t . Quelle est la nature du mouvement des deux barres ? 4.7) En déduire la valeur de l’intensité i(t) quand t . Exercice 11: Rails de Laplace non parallèles Deux rails OA et OB, fixes, de longueur commune L = OA = OB, sont placés dans le plan horizontal (xOy) de la figure 1 selon un angle de 60°. Une tige conductrice MN, notée (T), de masse m, se déplace sans frottement sur les rails d’un mouvement de translation selon e x . La position de son centre d’inertie G est notée (x, 0, 0). Les points de contact de la tige avec les rails OA et OB sont notés respectivement M’ et N’. Le triangle OM’N’ est équilatéral. L’ensemble du dispositif est plongé dans un champ magnétostatique extérieur uniforme et stationnaire B0 B0 ez avec B0 > 0. On négligera l’influence du champ magnétique créé par le circuit lui-même. N B N’ Figure 1 (T) O G i M’ M A Les deux rails et la tige sont considérés comme des conducteurs cylindriques de résistance par unité de longueur. 1. On considère le déplacement de la tige MN entre O et AB à la vitesse V0 V0 ex imposée par un opérateur (V0 = constante > 0). 1.1. En prenant en compte la nature du triangle OM’N’, déterminer la longueur d’un côté de ce triangle. En déduire le périmètre de ce triangle en fonction de x. 1.2. En déduire l’expression de la résistance R du circuit électrique sous la forme R = k x, k constante à exprimer en fonction de . 1.3. Justifier l’existence d’un phénomène d’induction. Citer deux exemples d'application du phénomène d’induction. 1.4. Déterminer le flux de B0 à travers le circuit en fonction de B0 et x. 1.5. En déduire la force électromotrice induite dans le circuit en fonction de B0, V0 et x. 1.6. En écrivant l’équation électrique du circuit fermé ainsi formé, en déduire le courant i induit dans le circuit en fonction de B0, V0 et . Commentaire. 1.7. Déterminer la résultante de la force de Laplace FL s’exerçant sur la tige (T). 8 1.8. En déduire la force F que doit exercer l’opérateur pour maintenir la vitesse de la tige constante. 1.9. Exprimer la puissance de cette force, puis la puissance dissipée par effet Joule. Que peut-on en conclure ? 2. A l'instant t0, la tige arrivée à la position x0 est lâchée pa r l’opérateur à la vitesse V0 V0 ex . 2.1. Réécrire l’équation électrique pour t > t0. 2.2. Déterminer l’équation mécanique. 2.3. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par x. La mettre sous la forme : x C x x 0 ; Exprimer C en fonction de m, B0 et et en donner l’unité dans le système MKSA. 2.4.Utiliser Python pour résoudre numériquement l’équation différentielle précédente. Représenter x(t) pour t variant de 0 s à 60 s, courbe dont l’allure doit être reportée sur la copie. A.N. : C = 8.10-2 S.I. ; x0 = 1 m ; t0 = 0 s ; V0 = 0,5 m.s-1. 2.5. Donner une valeur approchée de la valeur limite de x(t). Exercice 12: Canon à induction Des ingénieurs franco-allemands de l’institut de recherches de Saint-Louis ont mis au point un canon à induction. Ce prototype de six mètres de long propulse des objets de 1 à 2 kg à la vitesse de 2,6 km.s-1, bien au-delà du mur du son. Le canon à induction permet d'augmenter la vitesse initiale des projectiles comparé au lanceur à poudre classique. Le canon électromagnétique dans sa forme la plus simple consiste en un couple de rails conducteurs séparés d’une distance L. On relie pendant le lancement du projectile les deux rails à un générateur idéal de tension de f.e.m. constante E. Un projectile conducteur CD de masse m et de longueur L - 2ℓ, modélisé par une portion de conducteur rectiligne, opère la jonction entre les deux rails refermant ainsi le circuit électrique. Le contact électrique est assuré par un petit balai AC à l’extrémité C et par un petit balai DF à l’extrémité D, petits balais assimilés à des conducteurs rectilignes de longueur ℓ. Dans un repère O, e x , e y , e z en coordonnées cartésiennes, les rails sont en position y = 0 et y = L et le projectile CD de position X(t) reste parallèle à l’axe Oy. Soit g le champ de pesanteur tel que g g e z . Barre y i(t) F ey G D B g E L ez ex C z O i(t) A x L’ensemble du circuit est plongé dans un champ magnétique B non stationnaire et non uniforme créé par le courant i(t) traversant le circuit. L’expression de B est donnée par : i(t) 1 1 B(y,t) 0 ( ) ez . 2 y L y 9 Ce champ magnétique agit par la force de Laplace FL sur la portion de circuit formée par le projectile CD. On néglige l’action des forces de frottement et la résistance totale du circuit. 1. Citer deux applications dans la vie courante de l’induction. 2.1. Exprimer dF(y,t) la force de Laplace élémentaire exercée par le champ magnétique B sur une portion élémentaire d du projectile CD. 2.2 Calculer F(t) la résultante des forces de Laplace exercée par le champ magnétique B(y,t) sur le projectile CD défini sur le domaine y [ , L ] . 3. Calculer le flux magnétique (t) à travers le circuit défini sur le domaine x [0, X(t)] , y [ , L ] puis le mettre sous la forme (t) X(t) i(t) avec λ à exprimer. En déduire l’expression de F(t) en fonction de λ. d X(t) i(t) 4. Etablir l’équation électrique : E . dt 5. En déduire i(t) en fonction de E, λ, X(t) et t sachant qu’à l’instant initial : X(0) i(0) 0 . 6. En appliquant le principe fondamental de la dynamique au projectile, montrer que l’équation différentielle du mouvement est : d2X dt 2 (t) E2 t 2 m X(t)2 7. Vérifier que X(t) C t k est solution de cette équation. Donner les expressions des constantes k et C. 8. En déduire v(t) la vitesse du projectile acquise au bout d’une durée t, puis v(X) la vitesse du projectile au bout d’une distance X. 9. Calculer la f.e.m. E donnée par l’expression : E 3 0 m L 2 ln 1 v 8 X Application numérique : v 5km.s1 ; m = 20 g ; X = 5 m ; L = 10 cm ; ℓ= 1 mm ; 0 4 .107 H.m1 Exercice 13: Microphone électrodynamique 1) Un fil conducteur de longueur l est enroulé sur un cylindre isolant de rayon a et constitue une bobine circulaire de N spires. Les spires sont suffisamment serrées pour être assimilables à des spires circulaires. L'axe commun des spires est pris comme axe z'Oz, l'origine O étant au centre de la bobine lorsqu'elle est bâti au repos. B(M) L1 i M ez z’ z D B bobine 10 L2 Le sens positif de l'axe z'z et le sens du courant dans chaque spire sont ceux indiqués sur le premier schéma. L'axe z'z a pour vecteur unitaire e z . La bobine est plongée dans un champ magnétostatique radial : en chaque point du fil, le vecteur champ B est tel que B(M) B(r) er Nord 1.1) Déterminer l'expression de l’élément de force de Laplace appliquée à un élément de longueur dl de la spire. 1.2) Déterminer l'expression de la force de Laplace appliquée à une spire lorsqu'elle est parcourue par un courant d'intensité i(t). 1.3) En déduire la force de Laplace appliquée à la bobine en fonction de l, B et i(t). Sud 2.1) La bobine est animée d'un mouvement de translation de vitesse v vez z ez parallèle à l'axe z'Oz. Déterminer l'expression de la f.e.m d'induction qui prend naissance dans une spire du fait de son mouvement. Le sens de la circulation du champ électromoteur sera celui du courant. 2.2) En déduire la force électromotrice d'induction dans la bobine du fait de son mouvement. 3) Le montage mécanique du microphone est celui de la seconde figure. Le diaphragme D, solidaire de la bobine, est réuni à un bâti fixe par une liaison élastique schématisée par les lames L1 et L2. La bobine est caractérisée par sa résistance r et son inductance propre L. On considère dans les questions 3.1, 3.2, 3.3 qu'elle est court-circuitée. L'ensemble de la bobine et du diaphragme a une masse m et est soumis aux forces extérieures suivantes, selon Oz : F1 F0 cos t ez ; - une force imposée - une force de rappel élastique F2 – k z e z ; - une force de freinage F3 – f v e z ; - une force de Laplace due à l'action du champ B sur le courant qui circule dans la bobine de la forme FL C i ez (C constante positive déterminée en 1.3). 3.1) Deux types de phénomènes d’induction coexistent ici. Décrire les phénomènes d'induction mis en jeu dans ce problème. 3.2) Ecrire l'équation différentielle, vérifiée par z(t), obtenue par application de la loi de la quantité de mouvement appliquée à l’ensemble (bobine, diaphragme). 3.3.1) Représenter le schéma électrique équivalent du système étudié. 3.3.2) Ecrire l'équation différentielle, vérifiée par i(t) (équation électrique). 4) On ne s'intéresse qu'au régime sinusoïdal forcé. Les variables retenues sont l'intensité i(t) du courant qui circule dans la bobine et la vitesse v(t) z (t) de la bobine. En régime sinusoïdal forcé on les note : i(t) i 0 cos(t ) v(t) v0 cos(t ) 11 4.1) Réécrire les équations mécanique et électrique lorsqu'on utilise la notation complexe associée à ces fonctions sinusoïdales, soient i(t) i0 e j ( t ) et v(t) v0 e j ( t ) 4.2) A partir de l’équation mécanique complexe de la question 4.1, donner l'expression de i0. 5) Pour mesurer l'inductance propre L de la bobine, on la monte en série avec une résistance R = 10 et un générateur de tension sinusoïdale de pulsation . On la maintient immobile pour procéder aux mesures électriques suivantes : à l'aide d'un voltmètre d'impédance très grande, on mesure, à la fréquence 1000 Hz , une différence de potentiel U R 0,1 V aux bornes de la résistance R et une différence de potentiel U B 0,3 V aux bornes de la bobine. Sachant que la bobine a une résistance r = 5 , calculer l'inductance propre L. Exercice 14: Freinage d’un système en rotation Une roue, assimilée à un disque plein, est en mouvement dans un référentiel supposé galiléen R 0 muni d’un repère O;e x , e y , e z lié à un bâti non représenté. Nous supposons qu'il règne en tout point de l'espace un 0 0 0 champ de pesanteur uniforme: g g e y indépendant du temps. La roue notée (S) de masse m a un rayon 0 de longueur l. Elle est en rotation grâce à une liaison pivot idéale d’axe O, e z 0 . Le moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe de rotation est noté J. La roue est plongée dans un champ magnétostatique stationnaire et uniforme : B B e z Au point A, le contact sans frottement entre un rayon OA et le conducteur AK est ponctuel. En un point M du rayon est défini rotation le repère cylindrique M;e r , e , e z O R M 0 0 . On admet que lorsqu’un courant est établi, il parcourt la roue en ligne droite entre O et A. Lorsque la roue a une vitesse angulaire initiale ω 0 ( ω 0 positif), on ferme le circuit. La résistance totale du circuit est R. Les données du problème sont : g, l, J, B et R. K 1) Etude électrique Quand le circuit est fermé, la roue a une vitesse angulaire ω t à l’instant t. 1.1) Que vaut la vitesse 𝑣 (𝐴/𝑅0 ) du point A de la roue, distant de l de O, dans son mouvement par rapport à R0 ? 1.2) En déduire la f.é.m. induite e OA aux bornes de la roue. 1.3) Représenter le schéma électrique équivalent. 1.4) Exprimer l’intensité du courant induit i t . Quel est le sens du courant ? 2) Etude mécanique 2.1) Déterminer en O le moment des forces de Laplace appliquées à un rayon OA de la roue en fonction de l, B et i t . 2.2) Déterminer en O le moment des actions extérieures appliquées à la roue. 12 2.3) Grâce au théorème du moment cinétique, établir l’équation mécanique du mouvement de la tige et en déduire l’équation différentielle vérifiée par ω t . La présenter sous la forme t d 0 . Donner l’expression de τ et justifier son unité. t dt 2.4) Déterminer l’expression de ω t . Que peut-on dire du mouvement de la roue ? Exercice 15: Principe d’un moteur continu à induction z 1) Etude d’une barre : On considère une barre homogène OA, de masse m dont la section à des dimensions négligeables par rapport a a O sa longueur l. Cette barre peut tourner librement autour d’un axe M b N matériel vertical ascendant Oz grâce à une liaison pivot parfaite non représentée. A La barre est faite dans un matériau parfaitement conducteur et repose en M et en N sur deux conducteurs parfaits circulaires, concentriques et horizontaux de centre O et de rayons respectifs a et b. Le conducteur passant par M est appelé C1 et celui passant par N est appelé C2. Le référentiel R0 lié à ( O, ex , ey , ez ) est supposé galiléen. Les contacts en M et N sont ponctuels et s'effectuent sans frottement. ml2 Le moment d’inertie de la barre par rapport à l’axe Gz est égal à , où G est le centre d’inertie de la barre. 12 Son vecteur-rotation instantanée par rapport à R0 est noté (t)ez . On considère que tout le système baigne dans le champ de pesanteur g g ez et dans un champ magnétique stationnaire et uniforme B B0 ez . On utilisera en tout point de l’espace non situé sur l’axe Oz une base cylindrique 1.1) Déterminez le moment cinétique en O de la barre dans son mouvement par rapport à R0 . 1.2) Déterminez l’expression de la force électromotrice eMN apparue au niveau de la barre MN en fonction de B0 , a, b et (t ) . On considère un courant i(t) circulant dans la barre entre M et N seulement, et de M vers N. 1.4) Déterminez la force de Laplace dFL appliquée à un élément infinitésimal de la barre situé au niveau d’un point P de la barre, entre M et N. 1.5) Déduisez-en le moment en O des forces de Laplace appliquées à la barre en fonction de B0 , a, b et i (t ) . 2) Etude du rotor : On remplace la barre OA par un rotor constitué de n barres OAi régulièrement espacées formant un solide unique en rotation à la vitesse angulaire (t ) autour de l’axe Oz. O Un courant électrique d’intensité totale i(t) circule de C1 C1 C2 vers C2 en se répartissant entre les n barres du rotor et le champ B est le même que précédemment. Pour toute cette partie, on s’inspirera intelligemment des Ai résultats de la partie 1). 2.1) Déterminez le moment cinétique en O du rotor dans son mouvement par rapport à R0 . z 13 2.2) Déterminez l’expression de la force électromotrice eC1C2 . 2.3) Déterminez le moment en O des forces de Laplace appliquées au rotor. 3) Etude du moteur : Le rotor précédent représente la partie mobile d’un moteur électrique (la partie fixe, ou stator, étant rigidement liée à R0 ) z O C1 tournant à la vitesse angulaire (t ) autour de l’axe Oz. On a toujours un champ magnétique stationnaire et uniforme B B0 ez . La dérivée temporelle du moment cinétique en O du rotor dans son mouvement par rapport à R0 est égal à : C2 i i R d (t ) ez . dt On branche les conducteurs circulaires C1 et C2 aux bornes d’un générateur continu de force électromotrice E. On assimile la résistance totale du circuit à une résistance R. Le circuit est parcouru par le courant d’intensité i(t). La force électromotrice d’induction du rotor est : eC1C 2 K 2 (t ) . K1 E Les contacts entre le rotor et les conducteurs C1 et C2 se font toujours sans frottement. Le moment en O des forces de Laplace appliquées au rotor est égal à : K 2 i (t )ez . De plus, le système extérieur (arbre du moteur) exerce sur le rotor un couple de moment 0 ez . K1 , K 2 et 0 sont des constantes positives. On négligera l’auto-induction. A l’instant initial le rotor est au repos. 3.1) En vous servant des résultats de la partie 2), exprimez les constantes K1 et K2 en fonction de n, m, l, B0, a et b. A .N : n 10, m 15 g , l 5 cm, B0 0,5T , a 1cm, b 5 cm. Pour la suite et jusqu’à nouvel ordre, on gardera la notation : K1 , K 2 et 0 . 3.2) Ecrivez l’équation mécanique du rotor. 3.3) Ecrivez l’équation électrique du circuit. 3.4) Déduisez des deux équations précédentes l’équation différentielle vérifiée par (t ) . t 3.5) Montrer que l’on obtient une évolution de la vitesse angulaire du rotor du type : (t ) (1 e ) où et sont des constantes que l’on déterminera. 3.6) Déterminez t1, instant auquel atteint 95% de . 3.7) Montrez que le moment 0 doit rester inférieur à une certaine valeur 0 Max que l’on déterminera. 3.8) En reprenant les applications numériques donnée au 3.1) ainsi que : 0 2.104 N .m, E 4V , R 1 , calculez , t1 et 0 Max . Commentez ces valeurs. 14 INDUCTION DE NEUMANN CIRCUIT FIXE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE VARIABLE Exercice 16: Pince ampèremétrique On considère un tore de section carrée obtenu par rotation autour de l’axe des z z d’un carré. On réalise une bobine torique en enroulant régulièrement sur ce tore N spires i1 serrées de fil conducteur. Un fil conducteur rectiligne illimité de section négligeable est placé sur l’axe de la bobine I2 torique. Le fil est parcouru par un courant I2 variable i1(t) dans le sens des z > 0. Soient R et L respectivement la résistance et l’auto-inductance de la bobine torique et M le coefficient d’induction mutuelle du système L fil-bobine. La relation liant M et L est : M . N Le fil vertical est parcouru par un courant variable de la forme i1(t) = i0 cos ( t) . y Initialement, la bobine n’est parcourue par aucun courant. L’établissement du courant variable i1(t) dans le fil vertical crée dans la bobine un courant induit I2(t). La bobine est fermée sur elle-même. I2 z x 1) Exprimer le flux total de B à travers la bobine torique en fonction des courants et des coefficients L et M. En déduire le fem induite e. 2) Représenter le schéma électrique équivalent de la bobine. Etablir l’équation différentielle reliant I2(t) et i1(t). 3) En régime sinusoïdal forcé, on souhaite établir l’expression du courant induit I2(t) que l’on mettra sous la forme I2(t) = A cos ωt + B sin ωt. Préciser les expressions de A et B. On rappelle que : cos sin 0 , 0 et 0 . 4) On considère que la résistance R de la bobine est si faible devant son impédance qu’elle sera considérée nulle. 4-1) Que devient l’expression I2(t) ? 4-2) Ce dispositif permet de mesurer des intensités de courants alternatifs très élevées, sans nécessité de dérivation du courant dans le circuit à étudier. La pince est constituée d’un tore magnétique qui peut s’ouvrir pour laisser passer le conducteur et d’un bobinage de N spires enroulées sur le tore. Ce bobinage est relié à un ampèremètre. Quel doit être le nombre de spires N du tore si l’ampèremètre doit indiquer une valeur de 10 A alors que l’intensité mesurée est de 10 kA ? 15
