Exercices 2 Trigonométrie et nombres complexes

Exercices 2 Trigonométrie et nombres complexes
Rappels de trigonométrie et de géométrie, nombres complexes et équa-
tions algébriques.
2 Trigonométrie et nombres complexes.................................................... 1
1 Trigonométrie ..................................................................... 2
2 Nombrescomplexes................................................................ 2
2.1 Calculs..................................................................... 2
2.2 Inégalités................................................................... 3
2.3 Équationsatypiques......................................................... 5
2.4 Équations du second degré ou s’y ramenant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Racines n-ièmes ............................................................ 6
2.6 Application à la géométrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Sujetsderéflexion.................................................................. 8
4 Indications ........................................................................ 9

PCSI2\2014-2015 Laurent Kaczmarek
Les difficultés sont échelonnées de la manière suivante : aucune, ♪,♪♪ ,♪♪♪ et ♪♪♪♪. Certains énoncés
sont tirés des annales des concours (oral et écrit) ; leur provenance est le plus souvent précisée. Les
exercices notés ♪♪♪ et ♪♪♪♪ sont particulièrement délicats.
1. Trigonométrie
1 . [ Un grand classique ] ( ind )
Simplifier le produit p=sin³π
14´sinµ3 14π¶sinµ5 14π¶en le multipliant par cos³π 14´.
2 . [ Une belle et inutile équation ♪] ( ind )
Résoudre dans Rl’équation 24cos2(x)+1+16×24sin2(x)−3=20.
3 . [ Lignes trigonométriques de π/5 ♪] ( ind )
On cherche à calculer cos(π/5) et sin(π/5).
a) Résoudre dans Rl’équation cos(3x)=sin(2x).
b) En déduire les valeurs de sin(x) et cos(x) pour x=π/5.
2. Nombres complexes
2.1. Calculs
4 . [ Forme polaire d’une somme géométrique ] ( ind )
Soient α∈Ret z=eiα. Écrire 1+z+z2sous forme polaire.
5 . [ Module ♪] ( ind )
Soient n∈Nstrictement supérieur à 1 et z1,..., zndes nombres complexes non nuls de même module.
Montrer que le nombre suivant est réel :
(z1+z2)(z2+z3)···(zn−1+zn)(zn+z1)
z1z2···zn
6 . [ Une équation trigonométrique ♪] ( ind )
Soit θ∈Ret zθ=−sin(2θ)+2icos2(θ).
a) Déterminer le module et un argument de zθ. On discutera en fonction des valeurs de θ.
b) Déterminer l’ensemble des nombres réels θtels que |zθ|=|zθ−1|.
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7 . [ Paramétrage de U♪] ( ind )
On note U, l’ensemble des nombres complexes de module 1.
a) Soit z∈U\{1}. Démontrer que z+1
z−1est un imaginaire pur.
b) Vérifier que, ∀λ∈R,1+λi
1−λi∈U. Étudier la réciproque.
c) Soit z∈C. Démontrer que, ∀u∈U\{1}, z−uz
1−u∈R. Étudier la réciproque.
8 . [ Des réels ♪] ( ind )
Soient aet bde module 1 tels que a6=±b.
a) Prouver que 1+ab
a+b∈R.
b) Montrer que pour tout z∈C,z+abz −(a+b)
a−b∈R·i.
9 . [ Fonctions symétriques ♪] ( ind )
Soient a,b,c∈Cde module 1. Montrer que |a+b+c|=|ab +bc +ac|.
10 . [ Modules ♪] ( ind )
Déterminer les nombres complexes ztels que z, 1/zet 1+zsoient de même module.
11 . [ Posé à l’X ♪] ( ind )
Soient a,bet cdans Utels que a6=c.
a) Montrer que a(c−b)2
b(c−a)2∈R+.
b) Donner une interprétation géométrique de ce résultat.
2.2. Inégalités
12 . [ Un peu de géométrie ] ( ind )
a) Soit z∈C. Montrer que Im(z)>0⇐⇒ |z−i|<|z+i|.
b) Soient a,bdeux nombres complexes distincts. Décrire géométriquement l’ensemble des z∈Ctels
que |z−a|<|z−b|.
c) Déterminer l’ensemble des nombres complexes ztels que ¯¯¯
z
z−1¯¯¯<1.
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13 . [ L’inégalité triangulaire généralisée♪] ( ind )
Soient nÊ2 et z1,z2,...,znappartenant à C∗.
a) Prouver que |z1+···+zn|É|z1|+|z2|+···+|zn|.
b) Montrer que l’inégalité du (a) est une égalité si et seulement si arg(z1)=arg(z2)=···= arg(zn).
14 . [ Inégalités ♪] ( ind )
Prouver que pour tous nombres complexes zet z0,ona:
a) 1 É|z+z0|+|1+z|+|z0|; b) |z+z0|2É¡1+|z|2¢¡1+|z0|2¢.
15 . [ Modules de 1+zet 1+z2♪] ( ind )
On note Ul’ensemble des nombres complexes de module 1.
a) Soit z∈Utel que |1+z|<1. Montrer que |1+z2|>1.
b) Soient uet vdeux complexes tels que |u|=|v|Ê1. Établir que |u+v|Ê 1 ou ¯¯u2+v2¯¯>1.
16 . [ Valeur absolue d’une somme géométrique♪] ( ind )
Soient n∈N∗et z∈C\U. Montrer que
¯¯¯¯
1−zn+1
1−z¯¯¯¯É1−|z|n+1 1−|z|
17 . [ Deux inégalités sur les modules ♪♪ ] ( ind )
a) Prouver que ∀(a,b)∈C2,|a|+|b|É|a+b|+|a−b|.
b) En déduire que pour tous z1,z2,z3et z4dans C, on a
4
X
k=1|zk|É X
1Éi<jÉ4|zi+zj|.
18 . [ Épreuve écrite X-PC 2008 ♪♪ ] ( ind )
Soit λ∈R\Z. Montrer que, pour tout entier naturel nÊ1, on a
¯¯¯¯¯
n−1
X
k=0
e2ikλπ¯¯¯¯¯É1
|sin(λπ)|
19 . [ Racines n-ièmes ♪♪ ] ( ind )
Soient n∈N\{0,1}, ω=exp¡2iπ
n¢et (a,b)∈C2. Montrer que :
|a|+|b|É 2
n
n−1
X
k=0¯¯¯a+ωkb¯¯¯
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2.3. Équations atypiques
20 . [ Une équation atypique ♪] ( ind )
Soit aun réel, on considère l’équation (E) : z+z2=ad’inconnue z∈C.
a) Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur apour que (E) possède au moins
une solution réelle.
b) Résoudre (E). Discuter en fonction de a, et donner dans chaque cas le nombre de solutions, dire si
elles sont réelles, conjuguées, etc... On présentera le résultat final dans un tableau.
21 . [ Autour de l’exponentielle ♪] ( ind )
Résoudre dans Cles équations suivantes :
a) ez=−7 ;
b) ez=−2i;
c) ez=1+i;
d) ez+e−z=1 ;
e) ez+e−z=2i.
22 . [ Lieux géométriques ♪] ( ind )
Résoudre dans Cles équations suivantes
a) Reµz−1
z−i¶=0 ; b) Imµz−1 z−i¶=0 ; c) Re¡z3¢=Im¡z3¢.
23 . [ Divertissements ♪] ( ind )
Résoudre dans Cles équations suivantes :
a) z2=z;
b) z3=z;
c) z2=27 z;
d) z2+8|z|−3=0 ;
e) z+z=|z|;
f) z5=16z;
g) 2z−3z=2+3i;
24 . [ Une équation atypique ♪] ( ind )
Soit α∈R. Résoudre dans Cl’équation z+|z|=α+i.
2.4. Équations du second degré ou s’y ramenant
25 . [ Classique ♪] ( ind )
Résoudre sur Cl’équation (E) : ¡z2+1¢2+¡z2−z−1¢2=0.
26 . [ Une équation à paramètres ♪] ( ind )
Soit λet θdeux paramètres réels, λ6=0. Calculer le module et l’argument des racines de l’équation :
z∈C,z2−2(λcos(θ)+isin(θ))z+λ2−1=0
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