Guide de survie : Mécanique II

Guide de survie : Mécanique II
Fiche réalisée par Tristan Pham-Mariotti en s'appuyant sur le cours de 1ère année de Centrale Paris de Guillaume Puel.
Le but de cette partie II du cours est d'étudier le mouvement
~xB (t) = ~xA (t) + R(t)(~
pB − p~A )
d'un mécanisme constitué d'un ensemble de pièces liées les
unes avec les autres. On considèrera que ces pièces sont des Il est donc important de savoir étudier les rotations.
solides indéformables.
Dénition 2 (Matrice de rotation)
De façon générale, une rotation se caractérise par une matrice
R orthogonale i.e.
1 Mouvement d'un solide
T
R R
indéformable
=I
Grâce à cette relation, trois paramètres scalaires susent à
On commence par étudier le mouvement d'une seule de ces caractériser une rotation.
Il y a deux paramétrages possibles importants :
pièces.
• On peut la paramétrer avec un axe ~e et un angle ϕ :
1.1 Equations de la dynamique
Un point particulièrement intéressant du solide est son centre
d'inertie.
Dénition 1 (Centre d'inertie)
Le centre d'inertie C est le barycentre de la répartition de
masse.
1
~xC =
mΩ
Z
ρ(~x)~xdV
Ω
On a les équations de la dynamique :
R
= Q(~e, ϕ) = cosϕI + (1 − cosϕ)~e ⊗ ~e + sinϕe∧
où kek = 1 et
~e ∧ ~c∀~c.
∧
e
tenseur antisymétrique tel que
R(φ, θ, ψ)
= Q(~e3 , ψ)Q(~c1 , θ)Q(~i3 , φ)
où ~e3 = Q(~c1 , θ)~i3 et ~c1 = Q(~i3 , φ)~i1 .
Remarque 1
A partir de
formules :
Equation de Newton
Equation d'Euler avec C centre d'inertie
d
~ ext (t)
(J~xC (t)~
ωR (t)) = M
~
xC
dt
L'équation d'Euler s'écrit plus généralement :
=
• On peut la paramétrer avec les angles (φ, θ, ψ) d'Euler :
R
on peut trouver le paramétrage (~e, φ) avec les
φ = arccos(
¨C (t) = R
~ ext (t)
mΩ ~x
∧
e ~
c
∧
e
=
trR − 1
)
2
1
(R − RT )
2sinφ
Dénition 3 (Vecteur vitesse de rotation)
En dérivant la relation
amené à poser
T
R R
= I par rapport au temps, on est
ΩR = ṘRT
avec ΩR matrice antisymétrique.
On lui associe le vecteur vitesse de rotation ωR .
ΩR~c = ωR ∧ ~c.
Avec les deux paramétrages précédents cela donne :
• Si ~e0 est xe dans le référentiel considéré
On a
ωQ(~e0 ,ϕ) = ϕ̇~e0
Equation d'Euler en un point quelconque A du
solide
d
¨A = M
~ ext
(J~xA ω
~ R ) + mΩ (~xC − ~xA ) ∧ ~x
~
xA
dt
Sinon
ωQ(~e,ϕ) = ϕ̇~e + (1 − cosϕ)~e ∧ ~e˙ + sinϕ~e˙
• Concernant le paramétrage d'Euler on a :
ωR(φ,θ,ψ) = φ̇~i3 + θ̇~c1 + ψ̇~e3
Puisque Ṙ = ΩR R et avec ce qui précède, on est désormais
capable de dériver la relation du début de cette section.
Il va maintenant s'agir de savoir exprimer plus explicitement On a :
les termes de ces équations.
1.2 Cinématique d'un solide indéformable et
rotations
~xB (t) = ~xA (t) + R(t)(~
pB − p~A )
~x˙ B = ~x˙ A + ω
~ R ∧ (~xB − ~xA )
¨B = ~x
¨A + ω
Par dénition, la distance entre deux points d'un solide indé~x
~˙ R ∧ (~xB − ~xA ) + ω
~ R ∧ (~
ωR ∧ (~xB − ~xA ))
formable reste constante. De cela il est possible de déduire
qu'on peut repérer la position d'un point B du solide à partir
de la position d'un point A du solide (par exemple le centre On est donc désormais capable d'exprimer les termes ~x¨C et
d'inertie) et d'une rotation :
ωR dans les équations de la dynamique.
1.3 Tenseur d'inertie
• Si la résultante d'une force s'applique en un point A (par
Intéressons nous maintenant au terme
tenseur d'inertie au point A.
J~
xA (t)
qui est le
Dénition 4 (Tenseur d'inertie)
Le tenseur d'inertie du solide Ω au point A est :
2 Liaisons entre solides indéformables
Z
J~
xA (t)
exemple le poids s'applique au centre d'inertie) alors le
moment de la force en ce point est nul. Généralement
on va changer de point de telle sorte que ce soit le cas
~ A = 0.
et donc que M
(k~x − ~xA k
=
2
I
− (~x − ~xA ) ⊗ (~x − ~xA ))ρ(~x)dV
On s'intéresse maintenant à deux solides Ω1 et Ω2 liés entre
Il caractérise la répartition spatiale de la masse autour du eux. On se place dans un référentiel de référence Ω0 .
point A.
On peut lier ce tenseur à celui du placement initial par :
2.1 Cinématique d'un solide lié à un autre
Ω
Il est plus facile d'étudier la cinématique de Ω2 en se basant
sur celle de Ω1 .
Si le système possède des symétries, le tenseur d'inertie On suppose Ω1 complètement libre dans l'espace, son places'exprime plus simplement.
ment étant caractérisé par son centre d'inertie C1 et la rotation R1 par rapport au référentiel Ω0 .
• Si le solide est homogène et axisymétrique d'axe ~e0
Prenons 2 cas particuliers :
Alors Jp~C = (Ie − I⊥ )~e0 ⊗ ~e0 + I⊥ I
J~
xA (t)
= R(t)Jp~A (t)RT (t)
• Si le solide est homogène et de symétrie sphérique
Alors Jp~C = I I.
Translation
Si Ω2 est en translation de paramètre λ(t) et d'axe ~e(t)
Lorsqu'on veut changer le point du tenseur on a le théorème (l'axe peut être en mouvement) par rapport à Ω1
suivant.
Alors la vitesse d'un point M de Ω2 est
Théorème 1 (Théorème de Huygens)
˙
~ Ω1 \Ω0
+
λ̇(t)~e(t)
X
Le tenseur d'inertie en un point A quelconque peut s'obtenir ~x(M, t) =
| {z }
| {z }
vitesse d'entraînement deΩ1 \Ω0 vitesse relative deΩ2 \Ω1
à partir du tenseur d'inertie au centre d'inertie C.
Jp
~A
2
= Jp~C + mΩ (k~
pC − p~A k
C'est à dire
I
− (~
pC − p~A ) ⊗ (~
pC − p~A ))
On est donc désormais capable d'exprimer le terme
dans l'équation d'Euler.
J~
xA (t)
~x˙ (M, t) = ~x˙ C1 + ω
~ R1 ∧ (~x − ~xC1 ) + λ̇(t)~e(t)
Rotation
1.4 Résultante et moment
Si Ω2 est en rotation de paramètre ϕ(t) et d'axe ~e(t) par
Rappelons (voir che I) des résultats utiles pour exprimer rapport à Ω1 et que A est un point de Ω2 situé sur l'axe de
la résultante et le moment des actions extérieures dans ces rotation
Alors la vitesse d'un point M de Ω2 est
équations.
~x˙ (M, t) =
vitesse d'entraînement deΩ1 \Ω0
Résultante des actions extérieures :
~ ext =
R
Z
f~V dV +
Ω
Z
f~s dS
∂Ω
Moment des actions extérieures au point A :
~ ext =
M
~
xA
Z
Ω
(~x − x~A ) ∧ f~V dV +
Z
(~x − x~A ) ∧ f~s dS
∂Ω
On a la formule du changement de point pour les moments.
~B = M
~ A + BA
~ ∧R
~
M
~ est la résultante de la force en question.
où R
Remarque 2
~ Ω1 \Ω0
X
| {z }
+ ϕ̇(t)~e ∧ (~x − ~xA )
|
{z
}
vitesse relative deΩ2 \Ω1
C'est à dire
~x˙ (M, t) = ~x˙ C1 + ω
~ R1 ∧ (~x − ~xC1 ) + ϕ̇(t)~e ∧ (~x − ~xA )
Autres cas
Les deux cas précédents constituent en fait la base de toutes
les liaisons : voir formules page 256.
2.2 Actions mécaniques transmissibles et
tableaux des liaisons
La résultante ou le moment exercés par Ω1 sur Ω2 ont des
composantes non nulles seulement là où le déplacement de
Ω1 n'est pas possible (en eet il exerce justement une force
pour empêcher ce déplacement).
• Un moyen pour ne pas se tromper dans
l'ordre des termes de cette formule est de penser à
"BABAR"
Le récapitulatif des liaisons est à la page suivante.
Remarque 3
Le nombre d'inconnues de liaison (voir section suivante) est le nombre de composantes non nulles dans le torseur d'action
mécanique.
Par exemple il est de 5 pour une liaison pivot et de 1 pour une liaison sphère-plan.
3 Chaînes de solides indéformables
Hyperstatisme
On passe maintenant à l'étude générale d'une chaîne de On parle d'hyperstatisme quand les équations de Newton
plusieurs solides liés les uns aux autres.
et d'Euler pour les solides composant la chaîne sont insuisantes pour déterminer l'évolution temporelle du système.
Dénition 5 (Types de chaîne)
On distingue deux types de chaînes :
Le degré d'hyperstatisme h est le nombre d'inconnues qu'il
n'est pas possible de déterminer, c'est à dire :
• Chaîne ouverte : On ne rencontre pas deux fois le
même solide en parcourant la chaîne depuis une extrémité à l'autre.
h = nbre inconnues de liaisons+nbre degrés de liberté−6N
où N est le nombre de solides de la chaîne (sans compter Ω0 ).
En eet, on peut isoler chaque solide (sauf Ω0 ) et écrire
l'équation de Newton et d'Euler ce qui fournit 6 équations
scalaires.
•
Si h = 0 alors on dit que le système est isostatique.
On peut passer deux fois par le même Si h > 0 alors il va falloir exprimer les paramètres du mouvesolide en parcourant la chaîne.
ment en fonction de h inconnues de liaisons dites inconnues
hyperstatiques.
Chaîne fermée :
On se place désormais dans le cas isostatique.
De même que pour l'étude cinématique, on distingue les deux
types de chaîne dans l'étude dynamique.
Chaîne ouverte Solide après solide, en commençant par le
solide lié à Ω0 , on écrit les équations de Newton et d'Euler.
Chaîne fermée Deux méthodes ici :
La manière d'étudier une chaîne sera un peu diérente selon
son type.
3.1 Etude cinématique de chaînes
Chaîne ouverte
On écrit solide après solide les champs des vitesses, en commençant par l'extrémité liée au référentiel de référence Ω0 .
Le nombre de degrés de liberté est alors le nombre de
paramètres de mouvement (λ, ϕ, etc.) introduits lors du parcours.
Chaîne fermée
Le nombre de degrés de liberté va être réduit car certains
paramètres vont vérier des relations non indépendantes.
On peut écrire des relations de deux natures :
•
Fermeture géométrique : Ecriture du placement
d'un point donné de deux manières diérentes.
• La méthode systématique consiste à procéder comme
pour la chaîne ouverte. Certaines relations ne seront pas
indépendantes et il faudra savoir manipuler les équations de telle sorte d'éliminer toutes les inconnues de
liaisons (ce qui est possible si h = 0).
• Une autre méthode plus astucieuse consiste à ne pas
forcément isoler chaque solide séparément mais à isoler
parfois un ensemble de solides de façon à faire directement intervenir moins d'inconnues de liaisons. Mais il
faut de la pratique pour savoir quoi isoler...
En isolant plusieurs solides on introduit souvent le centre d'inertie C de l'ensemble :
PN
~xC (t) =
xCk (t)
k=1 mk ~
PN
k=1 mk
(voir page 278 pour plus de précision)
4 Etude mécanique d'une poutre
On sort de la généralité et on s'intéresse plus particulièrement
• Fermeture cinématique : Ecriture de la vitesse d'un à un type de solide : la poutre.
point donné de deux manières diérentes.
4.1 Etude cinématique d'une poutre
3.2 Etude dynamique de chaînes
Une poutre est un solide déformable dont l'une des dimensions est très grande devant les deux autres.
On a vu que pour chaque liaison, il y avait un certain nombre On peut voir la poutre comme une ligne (appelée ligne
de composantes (résultante ou moment) non nulles. Il s'agit moyenne) autour de laquelle se positionne diérentes secdes inconnues de liaisons.
tions.
Il va s'agir de les éliminer dans la suite, mais cela n'est pas On s'intéresse ici uniquement à des poutres droites, i.e. la
ligne moyenne est rectiligne.
toujours possible d'où l'introduction de la notion suivante.
On peut alors repérer un point de la poutre ainsi :
θΣ = ~e ∧ ~u0GΣ
p~(s, χ1 , χ2 ) = p~G (s) + p~Σ (χ1 , χ2 )
~u0GΣ = θΣ ∧ ~e
~u(s, χ1 , χ2 ) = ~uG (s) + (θe (s)~e + ~e ∧ ~u0GΣ (s)) ∧ ~xΣ (χ1 , χ2 )
= (u0Ge − h~u00GΣ , ~xΣ i)~e ⊗ ~e + (θe0 ~e ∧ ~xΣ ) ⊗S ~e
4.2 Eorts intérieurs dans une poutre
De façon générale le tenseur des contraintes s'écrit :
Poutre de Timoshenko
σ=
Dénition 6 (Modèle de Timoshenko)
On va faire deux hypothèses :
• Hypothèse de section rigide : On suppose que les
sections ne subissent aucune déformation.
• Hypothèse des petites perturbations (voir che méca
I)
σee
~τΣ
~τΣT
σΣ
On peut montre que l'hypothèse des sections rigides du modèle de Timoshenko implique que σ Σ = 0.
La connaissance des eorts intérieurs dans une poutre se limite donc à connaître :
σ~e = σee~e + ~τΣ = σee~e + σχ1 ~eχ1 + σχ2 ~eχ2
4.2.1 Résultante des eorts intérieurs
On dénit la résultante des eorts intérieurs au niveau d'un
section d'abscisse s par :
Le mouvement de chaque section est alors caractérisé par six
fonctions scalaires.
~ t) =
R(s,
Z
σ~edS
Σ(s)
• 3 fonctions associées à la translation du centre G de la
section Σ(s) :
Cette expression revient à exprimer l'action qu'eectue la par~uG =
uGe
|{z}
déplacement
longitudinal
~e +
~uGΣ
|{z}
déplacement
transverse
tie "aval" de la poutre (celle d'abscisse supérieure à s) sur la
partie "amont" (celle d'abcisse inférieure à s).
• 3 fonctions associées à la petite rotation de la section
Σ(s) :
θ~ =
θe
~e +
θ~Σ
|{z}
|{z}
rotation de
torsion
rotation de
exion
On a alors :
Attention ! Dans l'écriture des équations d'équilibre, il fau~u = ~uG + θ~ ∧ ~xΣ
0
= (u0Ge + hθ~Σ
∧ ~xΣ , ~ei)~e ⊗~e + (~u0GΣ − θ~Σ ∧~e) ⊗S ~e + (θe0 ~e ∧
~xΣ ) ⊗S ~e
~ . Un + s'il est dans le
dra bien faire attention au signe de R
sens du vecteur de la ligne moyenne ~e et un - sinon !
Il y a deux méthodes pour écrire les équations d'équilibre en
résultante. (à choisir selon votre préférence, personnellement
je prends la manière globale)
Poutre de Timoshenko avec l'hypothèse d'Euler-Bernoulli Equilibre global
Suivant ce qui nous arrange, on isole (par la pensée) la partie
de 0 à s ou bien la partie de s à L.
Dénition 7 (Hypothèse d'Euler-Bernoulli)
On fait une hypothèse supplémentaire :
On suppose que les sections restent perpendiculaires à la
ligne moyenne (qui se déforme).
Grâce à cette hypothèse on a de nouvelles relations ainsi que
des simplications.
Par exemple en isolant de 0 à s on obtient l'équation :
sZ
Z
où
0
¨dSdξ =
ρ~x
s
Z
~ t) − R(0,
~ t)
f~L (ξ, t)dξ + R(s,
0
Σ
f~L (s, t) =
Z
f~V dS +
Z
Σ(s)
f~S dl
∂Σ(s)
4.3 Relations de comportement
Comme on a vu dans la partie I du cours de mécanique (voir
che I), pour un solide déformable on a des relations liant les
contraintes et les déformations.
Si on reprend exactement les relations trouvées dans la partie
I, on se rend compte qu'il y a une contradiction. Cela vient
du fait qu'on a fait des hypothèses qui ne sont pas exactement
vraies. Mais on peut montrer qu'il est possible d'adapter ces
relations pour obtenir celles suivantes :
f~L est la densité linéique d'eort.
ee =
Si on avait fait l'équilibre de la partie de s à L on aurait eu
un résultat similaire mais en faisant bien attention aux signes
~ qui aurait été en l'occurence : R(L,
~
~ t)
de R
t) − R(s,
Equilibre local
En isolant une tranche d'abscisse s et s + ds on obtient
l'équation (diérentielle) d'équilibre local :
~γΣ =
σee
E
1
2(1 + ν)
~τΣ = ~τΣ
E
µ
où
1
1
= ee~e ⊗ ~e + ~γΣ ⊗ ~e + ~e ⊗ ~γΣ
2
2
σ~e = σee~e + ~τΣ
¨G (s, t) = f~L (s, t) + R
~ 0 (s, t)
ρΣ~u
Relations de comportement pour la résultante
Remarque 4
~ grâce aux relations
En remplaçant σ~e dans l'expression de R
Le ' signie qu'il s'agit de la dérivée par rapport à s.
¨
¨
¨
L'apparition de Σ~uG (s, t) provient du fait que ~x = ~u = de comportement précédente, on trouve :
R
¨G + θ~¨ ∧ ~xΣ et
~u
~x dS = 0.
Σ Σ
On aurait pu aussi remplacer le terme ~x¨ dans l'équation globRe = EΣu0Ge
ale.
~ Σ = µΣ(~u0GΣ − θΣ ∧ ~e)
R
4.2.2 Moment des eorts intérieurs
De façon similaire à la résultante, on dénit le moment des
eorts intérieurs au niveau d'une section d'abscisse s par le Attention ! Sous l'hypothèse d'Euler-Bernoulli, on a ~u0GΣ −
moment, exprimé au centre G de la section, du vecteur con- θΣ ∧ ~e = ~0 mais comme il s'agit d'une approximation sur
trainte :
laquelle une certaine erreur est commise, on ne peut pas dire
~ Σ = ~0 ! Pour déterminer R
~ Σ il faut se
pour autant que R
Z
servir des relations d'équilibre en résultante et en moment.
~ (s, t) =
M
~xΣ ∧ σ~edS
Σ(s)
Relations de comportement pour le moment
Comme pour la résultante il faudra faire attention au signe.
En procédant de même on a
Equilibre global
L'équation est un plus moche (voir page 326) mais l'idée est
la même.
Il faut faire attention au terme de changement de point du
moment.
On introduit la densité linéique de moment :
Z
~cL (s, t) =
Σ(s)
~xΣ ∧ f~V dS +
Z
Me = µIe θe0
0
~ Σ = E Jθ~Σ
M
Avec l'hypothèse d'Euler-Bernoulli et le fait que la poutre soit
droite, on a :
~xΣ ∧ f~S dl
~ Σ = E J(~e ∧ ~u00GΣ )
M
∂Σ(s)
Equilibre local
Le tenseur J intervenant dans ces relations est le tenseur
d'inertie de section dénie par :
L'équation est
Z
J
2
(k~xΣ k
=
I
− ~xΣ ⊗ ~xΣ )dS
Σ
~¨ t) = ~cL (s, t) + M
~ 0 (s, t) + ~e ∧ R(s,
~ t)
ρJθ(s,
En se plaçant dans la base (~e, ~eχ1 , ~eχ2 ) ce tenseur peut s'écrire
:
5.2.1 Stratégie de base
J
= Ie~e ⊗ ~e + Iχ1 ~eχ1 ⊗ ~eχ1 + Iχ2 ~eχ2 ⊗ ~eχ2
avec
Z
Iχ1 =
χ22 dS
Σ
Z
Iχ2 =
χ21 dS
Σ
Ie = Iχ1 + Iχ2
On peut ainsi projeter la relation de comportement :
Modèle de Timoshenko
Me = µIe θe0
Mχ1 = EIχ1 θχ0 1
Mχ2 = EIχ2 θχ0 2
Avec en plus l'hypothèse d'Euler-Bernoulli
Me = µIe θe0
Mχ1 =
−EIχ1 u00Gχ2
M χ2 =
EIχ2 u00Gχ1
4.4 Estimation des contraintes dans la section
On peut faire l'inverse : exprimer les contraintes en fonction
de la résultante et du moment. On a :
Re
~Σ >
+ < ~xΣ , ~e ∧ J−1 M
Σ
1~
Me
~τΣ = R
~e ∧ ~xΣ
Σ+
Σ
Ie
σee =
5 Assemblage de poutres
On s'intéresse maintenant aux poutres liées à d'autres poutres
ou à un bâti xe.
On commence par déterminer le degré d'hyperstatisme h.
On distingue ensuite deux cas.
Problème isostatique
1. On détermine l'ensemble des résultantes et moments des
eorts intérieurs.
2. On intègre ensuite les relations de comportement à
l'aide des conditions cinématiques aux extrémités des
diérentes poutres.
Problème hyperstatique
1. On choisit h inconnues hyperstatiques.
2. On détermine les résultantes et moments des eorts intérieurs (en fonction des inconnues hyperstatiques).
3. On écrit les équations diérentielles vériées par ~uG et
θ~ à l'aide des relations de comportement. On constate
alors que les conditions limites cinématiques sont en
nombre susant pour résoudre l'ensemble des équations
et déterminer les inconnues hyperstatiques du problème.
5.2.2 Stratégie systématique
On ne se soucie pas ici du degré d'hyperstatisme.
On injecte directement les relations de comportement dans
les équations d'équilibre local en résultante et en moment.
Equation vériée par
uGe
EΣu00Ge (s)+ < f~L (s), ~e >= 0 ∀s ∈]0, L[
On a alors besoin de deux conditions aux limites qui vont
s'exprimer :
• Soit directement sur uGe si on connait le déplacement
longitudinal imposé en 0 ou en L
• Soit sur sa dérivée si on connaît l'eort normal imposé
Re
en 0 ou en L (car u0Ge = EΣ
).
Equation vériée par
θe
µIe θe00 (s)+ < ~cL (s), ~e >= 0 ∀s ∈]0, L[
5.1 Liaisons entre poutres
Ce qui nous importe est de pouvoir écrire des conditions de On a alors besoin de deux conditions aux limites qui vont
raccord au niveau des liaisons aussi bien pour les paramètres s'exprimer :
cinématiques que pour la résultante et le moment.
Elles sont récapitulées page suivante.
• Soit directement sur θe si on connait l'angle de torsion
imposé en 0 ou en L
5.2 Résolution d'un problème de poutres
• Soit sur sa dérivée si on connaît le moment de torsion
Me
Il y a deux types de statégies : la première demande un peu
imposé en 0 ou en L (car θe0 = µI
).
e
de réexion mais ensuite les équations sont assez simples à
résoudre tandis que la deuxième marche tout le temps mais De même on peut écrire une équation vériée par uGχ1 et une
peut être très lourde à résoudre.
vériée par uGχ2 (voir page 354 du poly).
Remarque 5
Il manque dans cette che la dernière partie du cours (après la page 356), mais étant trop horrible à écrire et ayant peu de
chance de tomber, je m'arrête ici.