Nombres en écriture fractionnaire : comparaison

Chapitre. Nombres relatifs en écriture fractionnaire. Comparaison.
I.Quotient de deux nombres
Définition: Le quotient de a par b ( b différent de 0) est le nombre x tel que : b x = a. On note x = a
b
remarque: c'est le résultat de la division de a par b.
3
5
−
est le nombre x tel que −5 x = 3 x = − 0,6
−3
5
est le nombre x tel que 5x = −3 x = − 0,6
II. Règle de simplification :
Définition: une fraction est dite irréductible lorsqu'elle s'écrit sous la forme d'un quotient de 2
entiers aux distances à zéro les plus petites possibles.
Propriété: Pour tous nombres relatifs a, b, k avec b et k différents de 0, on a: k a
k b = a b
Ce théorème est dans le socle de cinquième.
Démonstration:
on note x le quotient de a par b.
Donc b x = a
Donc k × (b x ) = k × a
Donc ( k × b ) × x = k × a
Donc x est le quotient de ka par kb.
Application: écrire A sous la forme d'une fraction irréductible.
A = − 220
275 A = (−1)
× 2 × 2 × 11 × 5
5 × 5 × 11 A = (−1)
× 2 × 2
5 A = (−1)
× 4
5 A = − 4 5
On simplifie par 11 puis par 5 ou directement par 55.
Corollaire : Pour tous nombres a, b, (b différent de 0), on a:
−
−−
− a
b = a
−
−−
− b =
−
−−
− a
b
Démonstration:
− a
b = − 1 × a b
− a
b = − 1 × (− 1 ) × a
( − 1 ) × b
− a
b = a
− b
Deuxième partie de la démonstration:
On note x le quotient de − a par b. On a donc x = − a
b
Donc x × b = − a
Donc − 1 × x × b = − 1 × ( − a)
Donc − x × b = a
Donc − x = a
b
Donc x = − a
b
Autre corollaire : Pour tous nombres a, b, (b différent de 0), on a:
−
−−
− a
−
−−
− b = a
b
illustration:
−
−3
5
est le nombre x tel que − 5 x = − 3 x = 0,6
Or 3
5 = 0,6 Donc on a bien
−
−3
5
= 3
5

III. Théorème d'égalité des produits en croix
Théorème (hors socle)
a, b, c, et d son 4 nombres différents de zéro
i) si a
b = c d alors a × d = b × c
ii) Réciproquement si a × d = b × c, alors a
b = c d.
Démonstration:
i) si a
b = c d , alors bd × a b = bd × c d soit bda b = bdc d soit ad = bc
ii) si ad = bc, alors ad
bd = bc bd donc a b = c d
Conséquence: si a
b = c d, alors
a = bc
d; b = ad c; c = ad b; d = bc a
Cette conséquence est le calcul d'une quatrième proportionnelle. C'est donc dans le socle (nécessaire pour le théorème de Thales et
sa restriction au programme de quatrième)
IV. Comparaison des nombres relatifs.
1) Rappels de notation
Rappel de notation:
<: est strictement inférieur à >: est strictement supérieur à
<: est inférieur ou égal à > : est supérieur ou égal à
x < 0 se lit "x est strictement inférieur à zéro."
x > 0 se lit "x est strictement supérieur à zéro."
x ; 0 se lit "x est strictement inférieur ou égal à zéro."
x ? 0 se lit "x est strictement supérieur ou égal à zéro."
2) Comparaison de deux nombres relatifs.
hors socle
Définitions:
• on dit que: a ?
??
? b lorsque a – b ?
??
? 0
• on dit que: a ;
;;
; b lorsque a – b ;
;;
; 0.
• on dit que: a > b lorsque a – b > 0.
• on dit que: a < b lorsque a – b < 0.
Théorème: Si a
;
;;
; b, alors a + c ;
;;
; b + c.
a −
−−
− c ;
;;
; b −
−−
− c
Autre formulation: a, b, et c étant trois nombre quelconques,
a + c et b + c sont rangés dans le même ordre que a et b
a – c et b – c sont rangés dans le même ordre que a et b
Dans le socle
Démonstration:
si a ; b alors a – b est un nombre positif
a – b = a – b + c – c
a – b = a + c – b – c
a – b = ( a + c ) – ( b + c )
a – b est un nombre positif, donc ( a + c ) – ( b + c )
aussi.
Donc a + c
? b + c
si a
; b alors a – b est un nombre positif
a – b = a – b + c – c
a – b = a – c – b + c
a – b = ( a – c ) – ( b – c )
a – b est un nombre positif, donc ( a – c ) – ( b – c )
aussi.
Donc a – c
? b – c

Théorème admis:
Si a < b, alors si c > 0 alors ac < bc et a
c < b c
si c < 0 alors ac > bc et a
c > b c
Si a ;
;;
; b, alors si c > 0 alors ac ;
;;
; bc et a
c
;
;;
; b
c
si c < 0 alors ac ?
??
? bc et a
c
?
??
? b
c
Autre formulation: a, b, et c étant trois nombre quelconques,
si c est strictement positif, alors ac et bc sont rangés dans le même ordre que a et b.
si c est strictement négatif, alors ac et bc sont rangés dans l'ordre inverse de a et b .
Démonstration:
si a < b, alors, a – b < 0
si c > 0, alors c (a – b ) < 0 (produit de deux nombres de signes contraires).
Donc ca – cb < 0 donc ca < cb
si c < 0, alors c (a – b ) > 0 (produit de deux nombres de même signe).
Donc ca – cb > 0 donc ca > cb
Le cas du quotient vient du fait que c et 1
c sont de même signe et que a c = a × 1 c et b c = b × 1 c.
Les démonstrations sont donc analogues.
hors socle
exemple 1: 3 ≤ 4 3 + 1 ≤ 4 + 1 2 × 3 ≤ 2 × 4
3 < 4, mais 3 × ( − 2) = − 6 et 4 × ( − 2) = − 8
Comme − 6 > − 8 on a bien 3 < 4 mais 3 × ( − 2) > 4 × ( − 2)
V. Comparaison de deux nombres en écriture fractionnaire.
Dans le socle, seule est exigible la comparaison de 2 nombres positifs en écriture fractionnaire dans le cas où les dénominateurs
sont les mêmes ou dans le cas où l'un des dénominateurs est un multiple du dénominateur de l'autre.
1) Méthode 1:
Dans une écriture fractionnaire d'un nombre positif,
• si le numérateur est strictement supérieur au dénominateur, alors le nombre est strictement
supérieur à 1.
• si le numérateur est strictement inférieur au dénominateur, alors le nombre est strictement
inférieur à 1.
Démonstration :
Grâce au théorèmes étudiés dans le II., on peut se ramener à un numérateur et un dénominateur positif.
On considère deux nombres a et b positifs, tels que a < b.
On peut diviser chaque membre de l'inégalité par le même nombre strictement positif.
Donc a
b < b b donc a b < 1
On considère deux nombres c et d positifs, tels que c > d
c
d > d d donc c d > 1.
Application: Comparer 12
8 et 5 6.
12 > 8 donc 12
8 > 1
5 < 6 donc 5
6 < 1 Donc 5
6 < 1 < 12 8 donc 5 6 < 12 8

2) Méthode 2:
Pour comparer des nombres en écriture fractionnaire, on peut les écrire de telle sorte qu'ils aient le même
dénominateur positif.
De deux nombres, le plus grand est celui qui a le plus grand numérateur.
Démonstration:
On considère deux nombres a et b quelconques, et c un nombre strictement positif tel que a
c < b c .
Comme c est strictement positif, on peut multiplier chaque membre de cette inégalité par c.
On obtient: a
c × c < b c × c soit a < c
exemple 1: comparer 3
8 et 2 7 .
56 est un multiple commun à 7 et 8. On peut donc choisir d'écrire les deux écritures de telle sorte que le
dénominateur soit 56.
3
8 = 21 56 (on a multiplié par 7 numérateur et dénominateur)
2
7 = 16 56 (on a multiplié par 8 numérateur et dénominateur) 16 < 21 donc 2 7 < 3 8 .
3) Méthode 3:
Pour comparer des nombres en écriture fractionnaire de même signe, on peut les écrire de telle sorte
qu'ils aient le même numérateur positif.
De deux nombres, le plus grand est celui qui a le plus petit dénominateur.
Démonstration:
On considère deux nombres x et y de même signes et différents de 0,
On note c un nombre strictement positif, et on veut comparer c
x et c y.
Supposons que x < y
.c
x − c y = cy xy – cx xy
c
x − c y = cy – cx xy
c
x − c y = c (y – x) xy
c > 0
x < y, donc y – x > 0.
donc c ( y –x ) > 0
x et y sont de même signes, donc xy > 0
Donc c (y – x)
xy > 0
donc c
x − c y > 0
donc c
x > c y
Réciproquement
Supposons que
c
x > c y
donc c
x − c y > 0
Donc c (y – x)
xy > 0
On sait que:
c > 0
x et y sont de même signes, donc xy > 0
donc xy
c > 0
donc c (y – x)
xy × xy c > 0 × xy c
Donc y – x > 0
Donc y > x.
exemple 1: comparer 3
8 et 2 7 .
6 est un multiple commun à 3 et 2. On peut donc choisir d'écrire les deux écritures de telle sorte que le
numérateur soit 6.
3
8 = 6 16 (on a multiplié par 2 numérateur et dénominateur)
2
7 = 6 21 (on a multiplié par 2 numérateur et dénominateur)
16 < 21 donc 6
16 > 6
21 donc 3 8 > 2 7
Les inéquations ne sont plus au programme de quatrième.