Transformation de Laplace
publicité
Transformation de Laplace Tout comme en régime permanent sinusoïdal, l'analyse temporelle des circuits linéaires en régime transitoire nécessite la résolution d'équations différentielles. Dans le cas du régime sinusoïdal l'écriture et la résolution de ces équations peuvent être évitées en travaillant dans le domaine des fréquences, en utilisant le concept des impédances. Dans ce chapitre nous allons introduire un outil mathématique puissant, la transformation de Laplace, pour l'étude des circuits linéaires en régime transitoire. Cette transformation permet d'associer à toute fonction du temps f(t) une fonction F(p) d'une variable complexe p = σ + j ω. Elle permet de remplacer les opérations analytiques de dérivation et d'intégration par des opérations algébriques. Cette propriété facilite la résolution des équations différentielles. L'application de la transformation de Laplace permet de plus d'avoir à écrire ces équations. III.1 Définition et propriétés III.1.a Définition Dans la pratique nous avons à étudier le comportement d'un circuit en réponse à une excitation débutant à un instant donné. Nous pouvons choisir cet instant comme origine temporelle. Compte tenu du principe de causalité nous pouvons nous limiter à l'étude de fonctions f(t) définies à partir de t = 0 et identiquement nulles avant : f (t ) = 0 ∀ t < 0 Une telle fonction est dite causale. Nous définissons la transformation de Laplace d'une telle fonction du temps f(t) par l'intégrale suivante : L [f ( t )] = F(p) = ∞ ³0 f (t) e − pt dt avec p = σ + j ω La transformation inverse est donnée par : L−1 [F(p)] = f ( t ) = c + jω 1 F(p) e pt dp 2 π j c− j ω ³ En pratique nous n'utiliserons jamais cette formule. Il existe en effet des formulaires fournissant les transformées d'un grand nombre de fonctions et donc leurs inverses. Nous avons rassemblé en appendice une table des transformées de Laplace les plus usitées. Une fonction simple définie à partir de t = 0 est la fonction échelon, ou Heaviside, notée H(t) et représentée sur la figure 1 : ­0 ∀ t < 0 H( t ) = ® ¯1 ∀ t > 0 Le produit de toute fonction par H(t) est ainsi définie uniquement pour t > 0. Il est facile de calculer la transformée de Laplace de la fonction échelon en utilisant la définition : L [H( t )] = ∞ ³0 H(t) e − pt dt = ∞ ³0 e − pt ∞ ª 1 º 1 dt = «− e − pt » = ¬ p ¼0 p H(t) 1 0 t Figure 1 III.1.b Linéarité Etudions quelques propriétés utiles de la transformation de Laplace. Tout d'abord remarquons que la transformation de Laplace est une application linéaire. Calculons la transformée de la fonction g(t) = λ1 f1(t) + λ2 f2(t) : L [g( t )] = ∞ ³0 [λ1 f1 ( t ) + λ 2 f 2 ( t )] e − pt dt = λ1 ∞ ³0 f1 ( t ) e − pt dt + λ 2 ∞ ³0 f 2 (t) e − pt dt Donc : L [λ1 f1 ( t ) + λ 2 f 2 ( t )] = λ1 L [f1 ( t )] + λ 2 L [f 2 ( t )] III.1.c Différentiation et intégration Une propriété essentielle pour la résolution des équations différentielles concerne la transformée de la dérivée d'une fonction : ∞ d f (t) ª d f (t) º L« = e − pt dt » dt ¬ dt ¼ 0 ³ Intégrons par partie : ∞ [ ] ³ ∞ ª d f (t) º − pt L« = f ( t ) e + f ( t ) p e − pt dt » ¬ dt ¼ 0 0 Donc, sous réserve que lorsque t tend vers l'infini la fonction f(t) diverge moins vite qu'une exponentielle, ce qui est le cas pour toutes les "bonnes" fonctions physiques, nous avons : ª d f (t ) º Lim f ( t ) e − pt = 0 L « » = p F(p) − f (0) t →∞ ¬ dt ¼ Nous pouvons généraliser ce résultat. Par exemple pour la dérivée seconde : ª d 2 f (t ) º ­ d ª d f (t) º½ ª d f ( t ) º d f (0) L« =L® « =pL« » ¾ » − dt » ¬ dt ¼ ¯ dt ¬ dt ¼ ¿ «¬ dt 2 »¼ ª d 2 f (t ) º d f (0) d f (0) L« = p [p F(p) − f (0)] − = p 2 F(p) − p f (0) − » 2 dt dt «¬ dt »¼ De manière générale : n −1 ª d n f (t ) º d k f ( 0) n n −1− k ( k ) (k ) L« p f (0) avec f (0) = » = p F(p) − n dt k ¬« dt ¼» k =0 ¦ Inversement, considérons la transformation de Laplace de la primitive d'une fonction f(t) : ª t º º ∞ª t « f (u ) du » e − pt dt L « f (u ) du » = « 0 » « » 0 ¬ 0 ¬ ¼ ¼ ³ ³ ³ Intégrons par partie : º º ª 1 ª t t − pt « » « L f (u ) du = − e f (u ) du » » » « p « 0 0 ¼ ¼ ¬ ¬ ³ ∞ ³ + ∞ ³0 f (t) p e 1 − pt dt 0 Avec la même réserve sur le comportement de la primitive de la fonction f(t) lorsque t tend vers l'infini, nous obtenons : ª t º 1 L « f (u ) du » = F(p) « 0 » p ¬ ¼ ³ Considérons la dérivée par rapport à p de la transformée de Laplace d'une fonction f(t) : d F(p) d ∞ = f ( t ) e − pt dt dp dp 0 ³ Comme la variable p n'apparaît que dans l'exponentielle nous avons : ∞ ∞ d F(p) d e − pt = f (t ) dt = − t f ( t ) e − pt dt dp dp 0 0 ³ ³ Soit encore : L [ t f ( t )] = − d F(p) dp III.1.d Translations Considérons la transformation suivante : L [e − at f ( t )] = ∞ ³0 e − at f ( t ) e − pt dt = ∞ ³0 f (t) e − (p + a )t dt Donc : L [e −at f ( t )] = F(p + a ) Considérons la transformée d'une fonction décalée dans le temps : L [f ( t − a ) H( t − a )] = ∞ ³0 f ( t − a ) H( t − a ) e − pt dt = ∞ ³a f (t − a) e − pt dt où H(t) est la fonction échelon. En effectuant le changement de variable x = t − a, il vient : L [f ( t − a ) H( t − a )] = ∞ ³0 f ( x ) e − p( x + a ) dx = e − pa ∞ ³0 f (x) e − px dx Donc : L [f ( t − a ) H( t − a )] = e − pa F(p) Nous allons utiliser cette propriété pour calculer la transformée d'une fonction périodique à partir de t = 0. III.1.e Transformée d'une fonction périodique Considérons une fonction périodique de période T pour t > 0 et identiquement nulle pour t < 0 : f(t) 0 T 2T 3T t Figure 2 La fonction f(t) peut être vue comme une somme de fonctions définies chacune sur une période : ∞ f ( t ) = f1 ( t ) + f 2 ( t ) + f 3 ( t ) + ... = ¦ f k (t) k =1 La fonction f1(t) se confond avec f(t) sur la première période [0, T] et est nulle à l'extérieur : f1 (t) 0 T 2T 3T t Figure 3 La fonction f2(t) est définie sur la seconde période [T, 2T]. f2 (t) 0 T 2T Figure 4 Elle se déduit de la fonction f1(t) par un décalage d'une période : f 2 ( t ) = f1 ( t − T ) = f1 ( t − T) H( t − T) 3T t De même : f3 (t) 0 T 2T 3T t Figure 5 f 3 ( t ) = f1 ( t − 2T) = f1 ( t − 2T) H( t − 2T) et f k +1 ( t ) = f1 ( t − kT) = f1 ( t − kT) H( t − kT) Nous pouvons donc encore écrire : ∞ f (t) = ¦ f1 (t − kT) H(t − kT) k =0 Calculons la transformation de Laplace de cette expression : ∞ ª ∞ º L [f ( t )] = L « f1 ( t − kT) H( t − kT)» = L [f1 ( t − kT) H( t − kT)] « » ¬k = 0 ¼ k =0 ¦ ¦ ∞ L [f ( t )] = ¦ e − pkT F1 (p) k =0 où F1(p) = L [f1(t)], est la transformée de Laplace de la fonction définie sur la première période. Nous pouvons encore écrire : ∞ L [f ( t )] = F1 (p) ¦ e − pkT = 1 −1e − pT F ( p) k =0 car 1 = 1 + x + x 2 + ... = 1− x ∞ ¦xk k =0 A partir des propriétés que nous venons de passer en revue nous pouvons calculer les transformations de Laplace d'un certain nombre de fonctions. Ces transformations sont rassemblées dans des tables. Nous donnons en appendice les transformées de quelques fonctions de base continues par morceaux. III.2 Application aux circuits linéaires Une application principale de la transformation de Laplace est la résolution des équations différentielles. C'est pourquoi elle constitue un outil intéressant pour l'étude des circuits linéaires en régime transitoire. A titre d'exemple étudions la charge d'un condensateur dans un circuit RLC. Considérons le montage suivant, supposé initialement au repos : L C R q v(t) i(t) + V - t=0 Figure 6 A l'instant t = 0, nous basculons l'inverseur. Exprimons la tension v(t) aux bornes des trois dipôles en série : v( t ) = L d i( t ) q( t ) + R i( t ) + dt C Nous supposons le circuit initialement au repos, donc i(t = 0) = 0 et q(t = 0) = 0. La charge q(t) du condensateur est liée à l'intensité du courant i(t) : i( t ) = t t d q(t ) q( t ) = i(u ) du + q(0) = i(u ) du dt 0 0 ³ ³ L'équation différentielle peut donc se mettre sous la forme suivante : v( t ) = L d i( t ) 1 t + R i( t ) + i(u ) du dt C 0 ³ Notons V(p) et I(p) les transformées de Laplace des tension et intensité respectivement. Calculons la transformation de l'équation différentielle : V(p) = L [p I(p) − i(0)] + R I(p) + Compte tenu des conditions initiales il vient : 1 I( p ) C p § 1 · ¸ I ( p) V(p) = ¨¨ R + L p + C p ¸¹ © Ce que nous pouvons encore noter : 1 Cp Par analogie avec le régime sinusoïdal, la quantité Z(p) est appelée impédance opérationnelle. Le principe de la méthode de résolution consiste à calculer la transformée du courant : V(p) = Z(p) I(p) avec Z(p) = R + L p + I( p ) = V ( p) Z(p) puis à déduire par transformation inverse i(t). Le basculement de l'inverseur à t = 0, est équivalent à appliquer aux bornes du circuit une différence de potentiel de la forme : v( t ) = V H ( t ) Sa transformée de Laplace est : V ( p) = V 1 p Ce qui nous donne : I(p) = 1 V V V 1 = = 1 p 1 L 2 R 1 R + Lp + L p2 + R p + p + p+ Cp C L LC Pour avancer nous devons chercher les pôles de cette fraction : p2 + R 1 p+ =0 L LC Calculons le discriminant : ∆= 2 R 2 L − 4 = LC R2 − 4 L C L2 Celui-ci s'annule pour : R = Rc = 2 L C Nous retrouvons une discussion classique en fonction de la valeur de la résistance par rapport à cette résistance caractéristique. 1er cas : R = Rc Le dénominateur admet une racine double : r=− R 2L ce qui nous donne : I( p ) = V 1 2 L § R · ¨¨ p + ¸ 2 L ¸¹ © La consultation de la table donnée en annexe permet de trouver : i( t ) = ème 2 V − λt R = te H( t ) avec λ = L 2L 1 LC cas : R > Rc Le dénominateur admet deux racines réelles : − R ± R 2 − R c2 r± = 2L Comme ces deux racines sont négatives, nous notons : r± = −λ ± ce qui nous permet d'écrire : I(p) = V 1 V 1 = L (p − r+ ) (p − r− ) L (p + λ + ) (p + λ − ) Cette fraction peut se décomposer en une somme de deux fractions simples : 1 A B = + ( p + λ + ) ( p + λ − ) ( p + λ + ) (p + λ − ) La détermination des constantes A et B est simple. Par exemple pour A, nous multiplions les deux membres de l'équation précédente par (p + λ+), puis faisons p = -λ+. Il vient : A= 1 λ− − λ+ et B = 1 λ+ − λ− Nous avons donc : I(p) = V L (λ + − λ − ) § 1 1 ¨¨ − © p + λ− p + λ+ · V§ 1 1 ¸¸ = ¨¨ − ¹ R © p + λ− p + λ+ · ¸¸ ¹ De la table des transformées de Laplace nous tirons : i( t ) = 3ème cas : R < Rc ( ) V −λ − t e − e − λ + t H( t ) R Le dénominateur admet deux racines complexes conjuguées : r± = − R ± j R c2 − R 2 2L Nous posons : r± = −λ ± j ω avec R ­ λ = ° 2L ° ® 2 2 °ω = R c − R °¯ 2L Nous pouvons alors écrire pour la transformée du courant : I(p) = V 1 V 1 = L (p + λ + j ω) (p + λ − j ω) L (p + λ) 2 + ω 2 La table des transformées nous permet de trouver l'expression de l'intensité : i( t ) = V 1 − λt e sin ω t H( t ) L ω De cet exemple d'application du calcul symbolique à l'étude d'un circuit il faut surtout retenir la méthode de calcul de la fonction i(t). Par contre nous pouvons nous dispenser d'écrire l'équation différentielle, en utilisant le formalisme des impédances opérationnelles. III.3 Impédances opérationnelles La linéarité de la transformation de Laplace permet de généraliser la démarche suivie lors de l'étude du régime sinusoïdal permanent. Chaque dipôle peut être représenté par une impédance et nous pouvons généraliser toutes les lois valables en régime continu pour des circuits ne contenant que des résistances. Commençons par une résistance, caractérisée par la loi d'Ohm (en convention récepteur) : v( t ) = R i( t ) La transformation de cette équation nous donne : V ( p ) = R I( p ) La modélisation d'une résistance pour le calcul symbolique est donc immédiate : Z R ( p) = R Considérons une auto-inductance caractérisée par l'équation suivante en convention récepteur : d i( t ) v( t ) = L dt Appliquons la transformation de Laplace : V(p) = L [p I(p) − i(0)] Si le courant initial est nul une self se modélise par un dipôle d'impédance opérationnelle : Z L ( p) = L p Par contre si un courant circule initialement dans la bobine, il faut en tenir compte dans la modélisation de celle-ci. Deux représentations sont possibles (dipôle en série avec un générateur de tension ou dipôle en parallèle avec une source de courant) selon que nous écrivons que la tension ou le courant comme une somme de deux termes : I(p) Li(0) - + Lp V ( p ) = L p I ( p ) − L i ( 0) V(p) i(0)/p I(p) I(p) = Lp V(p) Figure 7 V ( p ) i ( 0) + Lp p Considérons un condensateur caractérisé par l'équation suivante en convention récepteur : i( t ) = C d v( t ) dt Appliquons la transformation de Laplace : I(p) = C [p V(p) − v(0)] Si sa charge initiale est nulle un condensateur se modélise par un dipôle d'impédance opérationnelle : Z C ( p) = 1 Cp Dans le cas contraire, il faut en tenir compte de cette charge initiale dans la modélisation du condensateur : I(p) v(0)/p + - 1/Cp V ( p) = I ( p ) v ( 0) + Cp p V(p) Cv(0) I(p) I ( p ) = C p V ( p ) − C v ( 0) 1/Cp V(p) Figure 8 III.4 Fonction de transfert et réponse impulsionnelle III.4.a Fonction de transfert Nous considérons un système linéaire initialement au repos. Nous notons E(p) et S(p) les transformées de Laplace des signaux en entrée e(t) et en sortie s(t) respectivement. La fonction de transfert du système est définie par le rapport : H ( p) = S(p) E ( p) Si cette fonction de transfert est connue, alors la réponse à tout signal en entrée est facile à déterminer. Il suffit de calculer la transformée de Laplace du signal en entrée. La transformée de Laplace du signal de sortie est donnée par le produit : S(p) = H(p) E(p) On obtient ensuite s(t) en cherchant la transformée inverse de S(p). III.4.b Réponses impulsionnelle et indicielle On appelle réponse impulsionnelle d'un circuit linéaire initialement au repos le signal en sortie lorsque le signal d'entrée est une distribution de Dirac : δ(t). Il est facile de calculer la transformée de celui-ci : E ( p) = ce qui nous donne : ∞ ³0 δ( t ) e − pt dt = 1 S(p) = H(p) La réponse impulsionnelle h(t) d'un circuit est donc égale à la transformée de Laplace inverse de sa fonction de transfert : h ( t ) = L−1 [H(p)] Comme le circuit est supposé initialement au repos, le principe de causalité nous assure que la réponse impulsionnelle est nulle pour t < 0 : h (t ) = 0 ∀ t < 0 On appelle réponse indicielle d'un circuit linéaire initialement au repos le signal en sortie lorsque le signal en entrée est une fonction échelon : H(t). Nous avons alors : S(p) = H(p) E(p) = H ( p) p C'est-à-dire pour s(t) : ª H ( p) º s( t ) = L−1 « » ¬ p ¼ La réponse impulsionnelle est donc la dérivée de la réponse indicielle. III.4.c Produit de convolution La connaissance de sa fonction de transfert H(p) permet de déterminer la réponse d'un circuit à tout signal. Il en est de même si sa réponse impulsionnelle est connue. Déterminons comment exprimer le signal s(t) en sortie d'un système linéaire initialement au repos à l'aide du signal d'entrée e(t) et de la réponse impulsionnelle h(t) du circuit. Pour cela nous exprimons les transformées de ces deux quantités : ­ °H ( p ) = ° ® °E ( p ) = ° ¯ ∞ ³0 h(u) e ∞ ³0 e(v) e − pu − pv du dv A partir de ces expressions nous pouvons écrire S(p) : S(p) = H(p) E (p) = ∞ ³0 h (u ) e − pu du ∞ ³0 e(v) e − pv dv soit encore : ª ∞ º − p(u + v) « S(p) = e( v) h (u ) e du » dv « » 0 ¬ 0 ¼ ³ ∞ ³ En effectuant un changement de variable, t = u + v, il vient : S(p) = ª ∞ º e( v) « h ( t − v) e − pt dt » dv « v » 0 ¬ ¼ ³ ∞ ³ D'autre part nous savons que la réponse impulsionnelle est nulle pour t < 0, donc : h ( t ) = 0 ∀ t < 0 h ( t − v) = 0 ∀ t < v Ce qui nous permet de modifier la borne inférieure de l'intégration par rapport à t : ª ∞ º − pt « S(p) = e( v ) h ( t − v) e dt » dv « » 0 ¬ 0 ¼ ³ ∞ ³ Soit encore, en permutant l'ordre des intégrations : S(p) = ∞ ∞ ³0 ³0 e( v) h ( t − v) e − pt dt dv = ∞ª ∞ º « e( v) h ( t − v) dv» e − pt dv « » 0 ¬ 0 ¼ ³ ³ Nous reconnaissons l'expression d'une transformation de Laplace : ª ∞ º S(p) = L « e( v) h ( t − v) dv» « 0 » ¬ ¼ ³ En prenant la transformation inverse nous obtenons pour le signal en sortie s(t) : s( t ) = ∞ ³0 e( v) h ( t − v) dv = ∞ ³0 e(t − v) h(v) dv La seconde égalité peut être obtenue en permutant les rôles de e(t) et h(t) dans le calcul précédent avec e(t) = 0 pour t < 0. D'autre part, comme nous avons h(t-v) = 0 et e(t-v) = 0 pour t < v, nous pouvons encore écrire le signal de sortie sous la forme suivante : s( t ) = t ³0 e( v) h ( t − v) dv = t ³0 e(t − v) h(v) dv = h(t) * e(t) Le signal en sortie est donc égal au produit de convolution du signal en entrée avec la réponse impulsionnelle. Nous avons également démontré en passant que la transformée de Laplace du produit de convolution de deux fonctions est le produit des deux transformées de Laplace : L [f ( t ) * g ( t )] = L [f ( t )] L [g ( t )] III.4.d Représentation fonctionnelle Considérons un système linéaire, initialement au repos, caractérisé par l'équation différentielle suivante : an d n s( t ) dt n + ... + a1 d s( t ) d e( t ) d m e( t ) + a 0 s( t ) = b m + ... + b1 + b 0 e( t ) dt dt dt m La transformée de Laplace de cette équation nous donne : (a n p n + ... + a1 p + a 0 ) S(p) = (b m p m + ... + b1 p + b 0 ) E (p) Nous avons pour la fonction de transfert de ce système : H ( p) = S(p) b m p m + ... + b1 p + b 0 = E(p) a n p n + ... + a 1 p + a 0 Il est possible de simuler toute fonction de transfert en utilisant des composants de base tels que intégrateur (fig. 9), amplificateur (fig. 10) et additionneur (fig. 11). E(p) 1 p Figure 9 S(p) = E(p)/p E(p) A S(p) = A E(p) Figure 10 E (p) 1 S(p) = E1(p) + E2(p) + E (p) 2 Figure 11 Considérons une fonction de transfert, par exemple : H ( p) = 4 p2 + 5 p + 6 p2 + 2 p + 3 Elle représente l'équation suivante : (p 2 + 2 p + 3) S(p) = (4 p 2 + 5 p + 6) E(p) Divisons par p2 (le degré le plus élevé) pour faire apparaître les intégrateurs : (1 + 2 3 5 6 + ) S(p) = (4 + + ) E ( p) p p2 p p2 Nous pouvons encore écrire : S(p) = (4 + 5 6 2 3 + ) E ( p) − ( + ) S(p) 2 p p p p2 Cette expression peut se représenter comme indiquée sur la figure 12. E(p) 1 p 1 p 6 S(p) -2 5 4 -3 Figure 12 1 p 1 p Il existe une autre représentation de l'équation différentielle plus économique en nombre d'intégrateurs. Elle correspond à une autre façon de manipuler la fonction de transfert : S(p) = 4 p2 + 5p + 6 p2 p2 p2 + 2 p + 3 E ( p) C'est-à-dire : 5 6 p2 S(p) = (4 + + ) W (p) avec W (p) = E ( p) p p2 p2 + 2 p + 3 Soit encore : E(p) = (1 + 2 3 2 3 + ) W ( p) W ( p) = E ( p ) − ( + ) W ( p) p p2 p p2 Ce qui peut se représenter de la manière suivante : 4 5 E(p) 1 p 1 p -2 -3 Figure 13 6 S(p)
