Autour de l`algèbre des polynômes à valeurs entières

Cours du Master 2
Alg` ebre et th´ eorie des nombres
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Autour de l’alg` ebre des polynˆ omes
`
a valeurs enti` eres dans un corps de nombres
ou un corps de fonctions
Jean-Luc Chabert
Amiens, printemps 2006
Universit´ e de Picardie
LAMFA CNRS UMR 6140

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Autour de l’alg` ebre des polynˆ omes ` a valeurs enti` eres
dans un corps de nombres ou un corps de fonctions
Au carrefour de l’alg` ebre et de la th´ eorie des nombres, ce cours met en pratique
les outils classiques de la th´ eorie alg´ ebrique des nombres et de l’analyse p-adique.
Les deux grands th` emes trait´ es seront
1- Le module des polynˆ omes ` a valeurs enti` eres : construction de bases de
P´ olya dans le cas local ; obstruction la globalisation : groupe de P´ olya-Ostrowki ;
liens avec la ramification ; factorielles g´ en´ eralis´ ees.
2 - Bases normales d’espaces de fonctions p-adiques : th´ eor` emes de Stone-
Weierstrass p-adiques ; s´ eries de Mahler ; extensions par les q-digits de Conrad.
Bibliographie.
a- Ouvrages d´ ej` a anciens :
- W. Narkiewicz, Polynomial mappings, Lecture Notes 1600, Springer, 1995.
- P.-J. Cahen et J.-L. Chabert, Integer-Valued Polynomials, Math. Surveys and
Monographs, vol. 48, American Mathatical Society, 1997.
b- Articles plus r´ ecents (pr´ ecis´ es chapitre par chapitre)
Mise en garde : le texte qui suit est r´ edig´ e au fil des semaines et n’est pas
corrig´ e de ses coquilles (voire pire).

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Chapter 1
Polynˆ omes ` a valeurs enti` eres
et factorielles de Bhargava
1.1 Propri´ et´ es arithm´ etiques des factorielles
Rappelons quelques propri´ et´ es bien connues des factorielles classiques n!o` un
d´ esigne un entier naturel :
Propri´ et´ e 1.1.1. Quels que soient k, l ∈N,
(k+l)!
k!l!∈N.
Interpr´ etation combinatoire : Ck
k+l. Une cons´
equence imm´ ediate :
Propri´ et´ e 1.1.2. Le produit de nentiers cons´ ecutifs est divisible par n!.
L’´ enonc´ e est optimal : le quotient vaut 1 pour la suite 1, . . . , n.
Propri´ et´ e 1.1.3. Pour toute suite de n+ 1 entiers, a0, a1, . . . , an,le produit
Y
0≤i<j≤n
(aj−ai)est divisible par 1!2! ···n!
L’´ enonc´ e est optimal : le quotient vaut 1 pour la suite 0,1, . . . , n.
Interpr´ etation combinatoire : le quotient est la dimension d’un certaine repr´ esen-
tation irr´ eductible de SU (n). La propri´ et´ e 3 sera prouv´ ee dans le cadre g´ en´ eral
des factorielles de Bhargava dans un anneau de Dedekind.
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4CHAPTER 1. POLYN ˆ OMES ET FACTORIELLES
Propri´ et´ e 1.1.4. (Kempner, 1921 [1]) Le nombre de fonctions polynomiales de
Z/nZdans Z/nZest ´ egal ` a :
ψ(n) =
n−1
Y
k=0
n
pgcd(n, k!).
Pr´ ecisons qu’ici une fonction polynomiale d´ esigne ici une fonction qui peut ˆ etre
repr´ esent´ ee par un polynˆ ome ` a coefficients entiers (et non pas ` a valeurs enti` eres,
auquel cas le r´ esultat serait bien diff´ erent [le montrer]). Le th´ eor` eme des restes
chinois et le fait que la fonction arithm´ etique ψest multiplicative montre que, pour
la preuve, on peut se limiter ` a une v´ erification dans le cas o` unest une puissance
ped’un nombre premier [le faire] (cf. aussi [2]). Lorsque n=pest un nombre
premier, ψ(p) = ppredonne le fait que toute fonction de Fpdans lui-mˆ eme est
polynomiale.
Propri´ et´ e 1.1.5. Pour tout polynˆ ome unitaire f∈Z[X]de degr´ en,
d(f) = pgcd{f(k)|k∈Z}divise n!.
L’´ enonc´ e est optimal : d(f) = n!pour f(X) = X(X−1)(X−n+ 1).
Cette propri´ et´ e est une cons´ equence imm´ ediate de la suivante.
Propri´ et´ e 1.1.6. Pour tout polynˆ ome g∈Q[X]de degr´ en` a valeurs enti` eres,
c.-` a-d., tel que g(Z)⊂Z, on a :n!g∈Z[X].
L’´
enonc´ e est optimal : le polynˆ ome binomial
X
n=X(X−1) . . . (X−n+ 1)
n!
est un polynˆ ome ` a valeurs enti` eres de degr´ en.
La preuve de cette propri´ et´ e 6 est l’objet de la section suivante. Terminons ce
rappel avec la formule de Legendre :
Proposition 1.1.7. Pour tout n≥0,ona:
n! = Y
p∈P
pwp(n)avec wp(n) = X
k>0n
pk
o` uPd´ esigne l’ensemble des nombres premiers.
En effet, pour p∈P, notant vpla valuation p-adique de Q,ona:
wp(n) = vp(n!) = X
k∈N∗
kn
pk−n pk+1 =X
k>0n
pk.