Cours et exercices - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne

S4 Maths 2010-2011 Probabilités 1 Dénombrement - Analyse combinatoire
Université de Picardie Jules Verne 2010-2011
UFR des Sciences
Licence mention Mathématiques -Semestre 4
Probabilités 1
Dénombrement - Analyse combinatoire
L’objectif de ce chapitre est de présenter les résultats de dénombrement utiles en calculs des probabilités
discrètes. Pour dénombrer un ensemble fini, c’est-à-dire trouver son cadinal, deux méthodes seront utilisées :
compter effectivement les éléments de l’ensemble ou mettre l’ensemble en bijection avec un autre ensemble
dont on connaît le cardinal.
Exemple fondamental.
Soient net pdeux entiers naturels non nuls. Soit Ee1,e2,…,enun ensemble constitué de néléments
distincts. On veut choisir péléments dans E. Ce choix peut se faire en répétant ou non un élément, en
ordonant ou non les éléments choisis. Pour n3etp2, les choix possibles sont :
avec répétition sans répétition
avec ordre
e1,e1
e1,e2 e1,e3
e2,e1
e2,e2 e2,e3
e3,e1
e3,e2 e3,e3
e1,e2
e1,e3
e2,e1
e2,e3
e3,e1
e3,e2
sans ordre e1,e1
e1,e2 e1,e3
e2,e2
e2,e3 e3,e3e1,e2
e1,e3 e2,e3
Principe de multiplication
Si pétapes doivent être effectuées lors d’une expérience, et que la k-ème étape peut entraîner nkchoix,
alors le nombre de résultats possibles de l’expérience est donné par n1n2np. C’est une conséquence
du principe du berger. Cela correspond à la présentation de l’expérience sous forme d’arbre de choix.
1-Arrangement avec répétition.
Définition 1.1.
Soit Ee1,e2,…,enun ensemble de néléments distincts. Soit p≥1.
On appelle arrangement avec répétition d’ordre pde E(on dit aussi p-liste de E) toute suite ordonnée
ei1,ei2,…,eipde péléments (distincts ou non) de E.
Proposition 1.1.
Le nombre d’arrangements avec répétition d’ordre pde Eest : np.
Preuve.
Soit Aarrangements avec répétition d’ordre pde E. Tout arrangement avec répétition d’ordre pde
Eest un élément du produit cartésien EpEE(pfois), et réciproquement. Donc AEpet le
nombre d’arrangements avec répétition d’ordre pde Eest cardAcardEpcardEpnp.
Plus simplement, on dit que pour construire un tel arrangement, on choisit un élément de E que l’on place
en première position, soit n choix possibles. Puis on choisit un élément de E que l’on place en deuxième
position, soit n choix possibles ; ce nombre se multipliant au nombre de choix précedents. Et ainsi de suite
jusqu’au choix du p-ième élément. Le principe de multiplication assure qu’il y a donc n nnpchoix
possibles.
Remarque 2.1.
Cette formule est valable pour p0:n01, correspondant à la ”suite vide”.
Stéphane Ducay 1

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Exemples 1.1.
a) Dans une urne contenant nboules distinctes numérotées de 1 à n, on tire successivement avec remise p
boules. Le nombre de tirages différents est np.
b) Le nombre de façons de placer pobjets distincts dans ncases, chaque case pouvant contenir plusieurs
objets, est np.
Proposition 1.2.
Soient Aet Bdeux ensembles de cardinal fini respectif pet n.
Le nombre d’applications de Adans Best np.
Preuve.
Il suffit de mettre en bijection l’ensemble AA,Bdes applications de Adans Bet l’ensemble Bpdes
arrangements avec répétition d’ordre pde Bqui est de cardinal np. Pour ce faire, on peut considérer
l’application :AA,B→Bpdéfinie par ffa1,...,fap, avec Aa1,...,ap. Cette application
est bien bijective car tout élément x1,...,xpde Bpadmet un unique antécédent, à savoir l’application qui à
chaque akde Aassocie xkdans B.
2-Arrangement (sans répétition). Permutation.
Définition 2.1.
Soit Ee1,e2,…,enun ensemble de néléments distincts. Soit ptel que 1 ≤p≤n.
On appelle arrangement sans répétition d’ordre pde Etoute suite ordonnée ei1,ei2,…,eipde péléments
distincts de E. En général, on dira arrangement, sans préciser ”sans répétition”.
Proposition 2.1.
Le nombre d’arrangements d’ordre pde Eest :
An
pnn−1…n−p1n!
n−p!.
Preuve.
Pour p1, il est clair que An
1n(nombre de choix d’un élément de E.
Soit p≥2. A un arrangement ei1,ei2,…,eipd’ordre pcorrespond l’unique couple constitué de
l’arrangement ei1,ei2,…,eip−1d’ordre p−1etdel’élémenteipde E, différent de ei1,ei2,…,eip−1.
Réciproquement, à un tel couple correspond un unique arrangement d’ordre p.Onendéduitque
An
pAn p−1n−p1.OnaalorsAn pAn p−2n−p2n−p1An
1n−1n−p2n−p1.
Plus simplement, on dit que pour construire un tel arrangement, on choisit un élément de E que l’on place
en première position, soit n choix possibles. Puis on choisit un élément de E, différent du premier, que l’on
place en deuxième position, soit n −1choix possibles ; ce nombre se multipliant au nombre de choix
précedents. Et ainsi de suite jusqu’au choix du p-ième élément, différent des précédents, soit n −p1choix
possibles. Le principe de multiplication assure donc qu’il y a nn−1…n−p1choix possibles.
Remarque 2.1.
Cette formule est valable pour p0:An
01, correspondant à la ”suite vide”.
Pour pn,onaAn
p0 car il y a au moins une répétition.
Exemples 2.1.
a) Dans une urne contenant nboules distinctes numérotées de 1 à n, on tire successivement sans remise p
boules. Le nombre de tirages différents est An
p.
b) Le nombre de façons de placer pobjets distincts dans ncases, chaque case pouvant contenir au plus un
objet, est An
p.
Proposition 2.2.
Soient Aet Bdeux ensembles de cardinal fini respectif pet n,avec1≤p≤n.
Le nombre d’injections de Adans Best An
p.
Stéphane Ducay 2

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Définition et proposition 2.3.
Soit Ee1,e2,…,enun ensemble de néléments distincts.
On appelle permutation de Etout arrangement d’ordre nde E, i.e. toute suite ordonnée ei1,ei2,…,ein
des néléments distincts de E. Le nombre de permutations de Eest alors : An
nn!
Proposition 2.4.
Soient Aet Bdeux ensembles de cardinal fini n. Le nombre de bijections de Adans Best n!.
3-Combinaison (sans répétition). Formule du binôme.
Définition 3.1.
Soit Ee1,e2,…,enun ensemble de néléments distincts. Soit ptel que 0 ≤p≤n.
On appelle combinaison sans répétition d’ordre pde Etoute partie (sous-ensemble) ei1,ei2,…,eipde p
éléments distincts de E.
En général, on dira combinaison, sans préciser ”sans répétition”.
Proposition 3.1.
Le nombre de combinaisons d’ordre pde Eest :
Cn
pn
pn!
p!n−p!.
Preuve.
Pour p0, la seule combinaison d’ordre 0 est ∅donc Cn
01.
Soit p≥1. A une combinaison d’ordre pde Edonnée on peut associer autant d’arrangements d’ordre pde
Eque de permutations des péléments de la combinaison, soit p! arrangements.
Deux arrangements obtenus à partir de deux combinaisons différentes sont différents. Ainsi, à partir des
Cn
pcombinaisons d’ordre p, on obtient Cn p.p! arrangements d’ordre pdifférents.
Comme à tout arrangement d’ordre pcorrespond une (unique) combinaison d’ordre p, on obtient bien tous
les arrangements possibles par permutation des combinaisons.
On a donc An
pCn p.p!, i.e. Cn pAn
p
p!. D’où le résultat.
Remarque 3.1.
Pour pn,onaCn
p0 car il n’y a pas assez d’éléments dans E.
Exemples 3.1.
a) Dans une urne contenant nboules distinctes numérotées de 1 à n, on tire simultanément pboules. Le
nombre de tirages différents est Cn
p.
b) Le nombre de façons de placer pobjets indiscernables dans ncases, chaque case pouvant contenir au
plus un objet, est Cn
p.
c) Le nombre de suites strictement croissantes de péléments de 1,...,nest Cn
p. On a donc
card i1,,ip∈ℕp/1≤i1ip≤nCn
p. Ce résultat est en particulier utile lors de l’utilisation
de la formule de Poincaré.
Propriétés 3.1.
iPour 0 ≤p≤n,Cn
pCn n−p. En particulier, Cn
0Cn n1.
iiPour 1 ≤p≤n−1, Cn−1
p−1Cn−1 pCn
p.
iiiPour 1 ≤p≤n,pCn
pnCn−1
p−1.
Preuve.
Ces résultats s’obtiennent immédiatement par un calcul direct. Donnons une démonstration de iibasée
sur le dénombrement.
Soit Ee1,e2,…,en. Le nombre de combinaison d’ordre pde Eest Cn
p. Parmi ces combinaisons, il y a
celles qui ne contiennent pas e1, soit Cn−1
pcombinaisons, et celles qui contiennent e1,soit1Cn−1 p−1
combinaisons. D’où le résultat ii.
Stéphane Ducay 3

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Le résultat iipermet d’obtenir les coefficients Cn
pdans un tableau triangulaire, appelé triangle de Pascal.
n\p01234
01
11 1
21
21
313
3 1
4146
41
FormuledubinômedeNewton.
Soient Aun anneau commutatif, xet ydeux éléments de A,etnun entier naturel.
Alors xyn∑
k0
nCn
kxkyn−k∑
k0
nCn
kykxn−k.
Preuve.
Pour n0, ∑
k0
nCn
kxkyn−kC0
0x0y01xy0
Pour n1, ∑
k0
nCn
kxkyn−kC1
0x0y1−0C1
1x1y1−1yxxy1.
Supposons la formule vraie à un rang n≥1 donné. Alors
xyn1xyxynxy∑
k0
nCn
kxkyn−k
∑
k0
nCn
kxk1yn−k∑
k0
nCn
kxkyn1−k∑
k1
n1Cn
k−1xkyn1−k∑
k0
nCn
kxkyn1−k
Cn
nxn1y0∑
k1
nCn
k−1xkyn1−k∑
k1
nCn
kxkyn1−kCn 0x0yn1yn1∑
k1
nCn
k−1Cn kxkyn1−kxn1
Cn1
0x0yn1∑
k1
nCn1
kxkyn1−kCn1 n1xn1y0∑
k0
n1Cn1
kxkyn1−k.
La formule est donc vraie au rang n1. On a donc démontré le résultat par récurrence.
Nombre de parties d’un ensemble.
Soit Ee1,e2,…,enun ensemble de néléments distincts. On note PEl’ensemble des parties de E.
Par exemple, pour n2, Ee1,e2et PE∅,e1e2e1,e2.
Proposition 3.2.
Le nombre de parties d’un ensemble Ede néléments distincts est 2n.
Preuve.
Preuve 1. PEest constituée des parties de Eàkéléments, 0 ≤k≤n, dont le nombre est Cn
k.Ainsi,le
nombre de parties de Eest ∑
k0
nCn
k. En appliquant le formule du binôme avec xy1, on a
∑
k0
nCn
k∑
k0
nCn
k1k1n−k11n2n.
Preuve 2. Il suffit de mettre en bijection l’ensemble PEet l’ensemble 0,1ndes arrangements avec
répétition d’ordre nde 0,1qui est de cardinal 2n; cette bijection étant par exemple l’application
:PE→0,1ndéfinie par A1,...,n, avec Ee1,...,enet k1siek∈A
0siek∉A.
On pouvait aussi considérer la bijection :PE→AE,0,1 définie par A1AA, fonction
indicatrice de A, l’ensemble AE,0,1 étant aussi de cardinal 2n.
Stéphane Ducay 4

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4-Combinaison avec répétition.
Définition 4.1.
Soit Ee1,e2,…,enun ensemble de néléments distincts. Soit pun entier naturel.
On appelle combinaison avec répétition d’ordre pde Etoute collection ei1,ei2,…,eipde péléments
(distincts ou non) de E.
Proposition 4.1.
Le nombre de combinaisons avec répétition d’ordre pde Eest :
Kn
pCnp−1
n−1Cnp−1
p.
Preuve.
Comme pour une combinaison, on peut supposer que les éléments sont rangés par ordre d’indice
croissant. Une combinaison avec répétition d’ordre pest alors caractérisée par le nombre pkde fois où
l’élément ekest répété, avec ∑
k1
npkp:e1,…,e1,e2,…,e2,…,en,…,en.
Le choix d’une combinaison avec répétition d’ordre previent à l’expérience suivante :
parmi np−1 cases alignées, on choisit n−1 cases que l’on considère comme des cloisons, soit Cnp−1
n−1
choix possibles ; on construit ainsi nboites, la k-ième contenant pkfois ek.
Le résultat découle de l’égalité Cnp−1
n−1Cnp−1
np−1−n−1Cnp−1
p.
Exemples 4.1.
a) Le nombre de façons de placer pobjets indiscernables dans ncases, chaque case pouvant contenir
éventuellement plusieurs objets, est Kn
p.
b) On a alors card x1,,xn∈ℕn/x1xnpKn
p, en prenant comme objets des 1 et comme
cases les xi.
c) Le nombre de suites croissantes de péléments de 1,...,nest Kn
p. On a donc
card i1,,ip∈ℕp/1≤i1≤≤ip≤nKn
p.
5-Permutation avec répétition.
Définition 5.1.
Soit un entier naturel n≥1.
Soit Ee1,…,e1,e2,…,e2,…,en,…,enune collection de péléments, dont pkfois l’élément ek,
1≤k≤n.
On appelle permutation avec répétition de Etoute suite ordonnée des péléments de E.
Proposition 5.1.
Le nombre de permutations avec répétition de Eest : p!
p1!p2!…pn!
Preuve.
Pour construire une permutation de E, on choisit successivement :
-p1positions pour e1parmi les ppositions possibles, soit Cp
p1choix possibles ;
-p2positions pour e2parmi les p−p1positions restantes, soit Cp−p1
p2choix possibles ;
-p3positions pour e3parmi les p−p1−p2positions restantes, soit Cp−p1−p2
p3choix possibles ;
…
-pnpositions pour enparmi les p−p1−−pn−1pnpositions restantes, soit Cpn
pnchoix possibles.
Le principe de multiplication assure donc que le nombre de permutations avec répétition de Eest :
Cp
p1Cp−p1
p2Cp−p1−p2 p3…Cpn pnp!
p1!p−p1!p−p1!
p2!p−p1−p!p−p1−p2! p3!p−p1−p2−p3!pn!
pn!0!
d’où le résultat.
Stéphane Ducay 5