Cours et exercices - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne

S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Dénombrement - Analyse combinatoire
Université de Picardie Jules Verne 2011-2012
UFR des Sciences
Licence mention Mathématiques -Semestre 4
Probabilités 1
Dénombrement - Analyse combinatoire
L’objectif de ce chapitre est de présenter les résultats de dénombrement utiles en calculs des probabilités
discrètes. Pour dénombrer un ensemble fini, c’est-à-dire trouver son cadinal, deux méthodes seront utilisées :
compter effectivement les éléments de l’ensemble ou mettre l’ensemble en bijection avec un autre ensemble
dont on connaît le cardinal.
Exemple fondamental.
Soient net pdeux entiers naturels non nuls. Soit Ee
1
,e
2
,,e
n
un ensemble constitué de néléments
distincts. On veut choisir péléments dans E. Ce choix peut se faire en répétant ou non un élément, en
ordonant ou non les éléments choisis. Pour n3 et p2, les choix possibles sont :
avec répétition sans répétition
avec ordre
e
1
,e
1
 e
1
,e
2
 e
1
,e
3
e
2
,e
1
 e
2
,e
2
 e
2
,e
3
e
3
,e
1
 e
3
,e
2
 e
3
,e
3
e
1
,e
2
 e
1
,e
3
e
2
,e
1
 e
2
,e
3
e
3
,e
1
 e
3
,e
2
sans ordre e
1
,e
1
 e
1
,e
2
 e
1
,e
3
e
2
,e
2
 e
2
,e
3
 e
3
,e
3
e
1
,e
2
 e
1
,e
3
 e
2
,e
3
Principe de multiplication
Si pétapes doivent être effectuées lors d’une expérience, et que la k-ème étape peut entraîner n
k
choix,
alors le nombre de résultats possibles de l’expérience est donné par n
1
n
2
n
p
. C’est une conséquence
du principe du berger. Cela correspond à la présentation de l’expérience sous forme d’arbre de choix.
1-Arrangement avec répétition.
Définition 1.1.
Soit Ee
1
,e
2
,,e
n
un ensemble de néléments distincts. Soit p1.
On appelle arrangement avec répétition d’ordre pde E(on dit aussi p-liste de E) toute suite ordonnée
e
i
1
,e
i
2
,,e
i
p
de péléments (distincts ou non) de E.
Proposition 1.1.
Le nombre d’arrangements avec répétition d’ordre pde Eest : n
p
.
Preuve.
Soit Aarrangements avec répétition d’ordre pde E. Tout arrangement avec répétition d’ordre pde
Eest un élément du produit cartésien E
p
EE(pfois), et réciproquement. Donc AE
p
et le
nombre d’arrangements avec répétition d’ordre pde Eest cardAcardE
p
cardE
p
n
p
.
Plus simplement, on dit que pour construire un tel arrangement, on choisit un élément de E que l’on
place en première position, soit n choix possibles. Puis on choisit un élément de E que l’on place en deuxième
position, soit n choix possibles ; ce nombre se multipliant au nombre de choix précedents. Et ainsi de suite
jusqu’au choix du p-ième élément. Le principe de multiplication assure qu’il y a donc n nn
p
choix
possibles.
Remarque 2.1.
Cette formule est valable pour p0 : n
0
1, correspondant à la ”suite vide”.
Stéphane Ducay 1

S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Dénombrement - Analyse combinatoire
Exemples 1.1.
a) Dans une urne contenant nboules distinctes numérotées de 1 à n, on tire successivement avec remise p
boules. Le nombre de tirages différents est n
p
.
b) Le nombre de façons de placer pobjets distincts dans ncases, chaque case pouvant contenir plusieurs
objets, est n
p
.
Proposition 1.2.
Soient Aet Bdeux ensembles de cardinal fini respectif pet n.
Le nombre d’applications de Adans Best n
p
.
Preuve.
Il suffit de mettre en bijection l’ensemble AA,Bdes applications de Adans Bet l’ensemble B
p
des
arrangements avec répétition d’ordre pde Bqui est de cardinal n
p
. Pour ce faire, on peut considérer
l’application :AA,BB
p
définie par ffa
1
,...,fa
p
, avec Aa
1
,...,a
p
. Cette application
est bien bijective car tout élément x
1
,...,x
p
de B
p
admet un unique antécédent, à savoir l’application qui à
chaque a
k
de Aassocie x
k
dans B.
2-Arrangement (sans répétition). Permutation.
Définition 2.1.
Soit Ee
1
,e
2
,,e
n
un ensemble de néléments distincts. Soit ptel que 1 pn.
On appelle arrangement sans répétition d’ordre pde Etoute suite ordonnée e
i
1
,e
i
2
,,e
i
p
de péléments
distincts de E. En général, on dira arrangement, sans préciser ”sans répétition”.
Proposition 2.1.
Le nombre d’arrangements d’ordre pde Eest :
A
n
p
nn1np1n!
np!.
Preuve.
Pour p1, il est clair que A
n
1
n(nombre de choix d’un élément de E.
Soit p2. A un arrangement e
i
1
,e
i
2
,,e
i
p
d’ordre pcorrespond l’unique couple constitué de
l’arrangement e
i
1
,e
i
2
,,e
i
p1
d’ordre p1 et de l’élément e
i
p
de E, différent de e
i
1
,e
i
2
,,e
i
p1
.
Réciproquement, à un tel couple correspond un unique arrangement d’ordre p. On en déduit que
A
n
p
A
n
p1
np1. On a alors A
n
p
A
n
p2
np2np1A
n
1
n1np2np1.
Plus simplement, on dit que pour construire un tel arrangement, on choisit un élément de E que l’on
place en première position, soit n choix possibles. Puis on choisit un élément de E, différent du premier, que
l’on place en deuxième position, soit n 1choix possibles ; ce nombre se multipliant au nombre de choix
précedents. Et ainsi de suite jusqu’au choix du p-ième élément, différent des précédents, soit n p1choix
possibles. Le principe de multiplication assure donc qu’il y a nn1np1choix possibles.
Remarque 2.1.
Cette formule est valable pour p0 : A
n
0
1, correspondant à la ”suite vide”.
Pour pn, on a A
n
p
0 car il y a au moins une répétition.
Exemples 2.1.
a) Dans une urne contenant nboules distinctes numérotées de 1 à n, on tire successivement sans remise p
boules. Le nombre de tirages différents est A
n
p
.
b) Le nombre de façons de placer pobjets distincts dans ncases, chaque case pouvant contenir au plus un
objet, est A
n
p
.
Proposition 2.2.
Soient Aet Bdeux ensembles de cardinal fini respectif pet n, avec 1 pn.
Le nombre d’injections de Adans Best A
n
p
.
Stéphane Ducay 2

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Définition et proposition 2.3.
Soit Ee
1
,e
2
,,e
n
un ensemble de néléments distincts.
On appelle permutation de Etout arrangement d’ordre nde E, i.e. toute suite ordonnée e
i
1
,e
i
2
,,e
i
n
des néléments distincts de E. Le nombre de permutations de Eest alors : A
n
n
n!
Proposition 2.4.
Soient Aet Bdeux ensembles de cardinal fini n. Le nombre de bijections de Adans Best n!.
3-Combinaison (sans répétition). Formule du binôme.
Définition 3.1.
Soit Ee
1
,e
2
,,e
n
un ensemble de néléments distincts. Soit ptel que 0 pn.
On appelle combinaison sans répétition d’ordre pde Etoute partie (sous-ensemble) e
i
1
,e
i
2
,,e
i
p
de p
éléments distincts de E.
En général, on dira combinaison, sans préciser ”sans répétition”.
Proposition 3.1.
Le nombre de combinaisons d’ordre pde Eest :
C
n
p
n
pn!
p!np!.
Preuve.
Pour p0, la seule combinaison d’ordre 0 est donc C
n
0
1.
Soit p1. A une combinaison d’ordre pde Edonnée on peut associer autant d’arrangements d’ordre p
de Eque de permutations des péléments de la combinaison, soit p! arrangements.
Deux arrangements obtenus à partir de deux combinaisons différentes sont différents. Ainsi, à partir des
C
n
p
combinaisons d’ordre p, on obtient C
n
p
.p! arrangements d’ordre pdifférents.
Comme à tout arrangement d’ordre pcorrespond une (unique) combinaison d’ordre p, on obtient bien
tous les arrangements possibles par permutation des combinaisons.
On a donc A
n
p
C
n
p
.p!, i.e. C
n
p
A
n
p
p!. D’où le résultat.
Remarque 3.1.
Pour pn, on a C
n
p
0 car il n’y a pas assez d’éléments dans E.
Exemples 3.1.
a) Dans une urne contenant nboules distinctes numérotées de 1 à n, on tire simultanément pboules. Le
nombre de tirages différents est C
n
p
.
b) Le nombre de façons de placer pobjets indiscernables dans ncases, chaque case pouvant contenir au
plus un objet, est C
n
p
.
c) Le nombre de suites strictement croissantes de péléments de 1,...,nest C
n
p
. On a donc
card i
1
,,i
p
p
/ 1 i
1
i
p
nC
n
p
. Ce résultat est en particulier utile lors de l’utilisation
de la formule de Poincaré.
Propriétés 3.1.
iPour 0 pn,C
n
p
C
n
np
. En particulier, C
n
0
C
n
n
1.
iiPour 1 pn1, C
n1
p1
C
n1
p
C
n
p
.
iiiPour 1 pn,pC
n
p
nC
n1
p1
.
Preuve.
Ces résultats s’obtiennent immédiatement par un calcul direct. Donnons une démonstration de iibasée
sur le dénombrement.
Soit Ee
1
,e
2
,,e
n
. Le nombre de combinaison d’ordre pde Eest C
n
p
. Parmi ces combinaisons, il y a
celles qui ne contiennent pas e
1
, soit C
n1
p
combinaisons, et celles qui contiennent e
1
, soit 1 C
n1
p1
Stéphane Ducay 3

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combinaisons. D’où le résultat ii .
Le résultat iipermet d’obtenir les coefficients C
n
p
dans un tableau triangulaire, appelé triangle de Pascal.
n\p01234
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
Formule du binôme de Newton.
Soient Aun anneau commutatif, xet ydeux éléments de A, et nun entier naturel.
Alors xy
n
k0
n
C
n
k
x
k
y
nk
k0
n
C
n
k
y
k
x
nk
.
Preuve.
Pour n0,
k0
n
C
n
k
x
k
y
nk
C
0
0
x
0
y
0
1xy
0
Pour n1,
k0
n
C
n
k
x
k
y
nk
C
1
0
x
0
y
10
C
1
1
x
1
y
11
yxxy
1
.
Supposons la formule vraie à un rang n1 donné. Alors
xy
n1
xyxy
n
xy
k0
n
C
n
k
x
k
y
nk
k0
n
C
n
k
x
k1
y
nk
k0
n
C
n
k
x
k
y
n1k
k1
n1
C
n
k1
x
k
y
n1k
k0
n
C
n
k
x
k
y
n1k
C
n
n
x
n1
y
0
k1
n
C
n
k1
x
k
y
n1k
k1
n
C
n
k
x
k
y
n1k
C
n
0
x
0
y
n1
y
n1
k1
n
C
n
k1
C
n
k
x
k
y
n1k
x
n1
C
n1
0
x
0
y
n1
k1
n
C
n1
k
x
k
y
n1k
C
n1
n1
x
n1
y
0
k0
n1
C
n1
k
x
k
y
n1k
.
La formule est donc vraie au rang n1. On a donc démontré le résultat par récurrence.
Nombre de parties d’un ensemble.
Soit Ee
1
,e
2
,,e
n
un ensemble de néléments distincts. On note PEl’ensemble des parties de E.
Par exemple, pour n2, Ee
1
,e
2
et PE,e
1
e
2
e
1
,e
2
.
Proposition 3.2.
Le nombre de parties d’un ensemble Ede néléments distincts est 2
n
.
Preuve.
Preuve 1. PEest constituée des parties de Eàkéléments, 0 kn, dont le nombre est C
n
k
. Ainsi, le
nombre de parties de Eest
k0
n
C
n
k
. En appliquant le formule du binôme avec xy1, on a
k0
n
C
n
k
k0
n
C
n
k
1
k
1
nk
11
n
2
n
.
Preuve 2. Il suffit de mettre en bijection l’ensemble PEet l’ensemble 0,1
n
des arrangements avec
répétition d’ordre nde 0,1qui est de cardinal 2
n
; cette bijection étant par exemple l’application
:PE0,1
n
définie par A
1
,...,
n
, avec Ee
1
,...,e
n
et 
k
1 si e
k
A
0 si e
k
A.
On pouvait aussi considérer la bijection :PEAE,0,1 définie par A1
A A
, fonction
indicatrice de A, l’ensemble AE,0,1 étant aussi de cardinal 2
n
.
Stéphane Ducay 4

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4-Combinaison avec répétition.
Définition 4.1.
Soit Ee
1
,e
2
,,e
n
un ensemble de néléments distincts. Soit pun entier naturel.
On appelle combinaison avec répétition d’ordre pde Etoute collection e
i
1
,e
i
2
,,e
i
p
de péléments
(distincts ou non) de E.
Proposition 4.1.
Le nombre de combinaisons avec répétition d’ordre pde Eest :
K
n
p
C
np1
n1
C
np1
p
.
Preuve.
Comme pour une combinaison, on peut supposer que les éléments sont rangés par ordre d’indice
croissant. Une combinaison avec répétition d’ordre pest alors caractérisée par le nombre p
k
de fois où
l’élément e
k
est répété, avec
k1
n
p
k
p:e
1
,,e
1
,e
2
,,e
2
,,e
n
,,e
n
.
Le choix d’une combinaison avec répétition d’ordre previent à l’expérience suivante :
parmi np1 cases alignées, on choisit n1 cases que l’on considère comme des cloisons, soit C
np1
n1
choix possibles ; on construit ainsi nboites, la k-ième contenant p
k
fois e
k
.
Le résultat découle de l’égalité C
np1
n1
C
np1
np1n1
C
np1
p
.
Exemples 4.1.
a) Le nombre de façons de placer pobjets indiscernables dans ncases, chaque case pouvant contenir
éventuellement plusieurs objets, est K
n
p
.
b) On a alors card x
1
,,x
n
n
/x
1
x
n
pK
n
p
, en prenant comme objets des 1 et comme
cases les x
i
.
c) Le nombre de suites croissantes de péléments de 1,...,nest K
n
p
. On a donc
card i
1
,,i
p
p
/ 1 i
1
i
p
nK
n
p
.
5-Permutation avec répétition.
Définition 5.1.
Soit un entier naturel n1.
Soit Ee
1
,,e
1
,e
2
,,e
2
,,e
n
,,e
n
une collection de péléments, dont p
k
fois l’élément e
k
,
1kn.
On appelle permutation avec répétition de Etoute suite ordonnée des péléments de E.
Proposition 5.1.
Le nombre de permutations avec répétition de Eest : p!
p
1
!p
2
!p
n
!
Preuve.
Pour construire une permutation de E, on choisit successivement :
-p
1
positions pour e
1
parmi les ppositions possibles, soit C
p
p
1
choix possibles ;
-p
2
positions pour e
2
parmi les pp
1
positions restantes, soit C
pp
1
p
2
choix possibles ;
-p
3
positions pour e
3
parmi les pp
1
p
2
positions restantes, soit C
pp
1
p
2
p
3
choix possibles ;
-p
n
positions pour e
n
parmi les pp
1
p
n1
p
n
positions restantes, soit C
p
n
p
n
choix possibles.
Le principe de multiplication assure donc que le nombre de permutations avec répétition de Eest :
C
p
p
1
C
pp
1
p
2
C
pp
1
p
2
p
3
C
p
n
p
n
p!
p
1
!pp
1
!pp
1
!
p
2
!pp
1
p!pp
1
p
2
!
p
3
!pp
1
p
2
p
3
!p
n
!
p
n
!0!
d’où le résultat.
Stéphane Ducay 5