Cours et exercices - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne
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S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Dénombrement - Analyse combinatoire Université de Picardie Jules Verne UFR des Sciences 2011-2012 Licence mention Mathématiques - Semestre 4 Probabilités 1 Dénombrement - Analyse combinatoire L’objectif de ce chapitre est de présenter les résultats de dénombrement utiles en calculs des probabilités discrètes. Pour dénombrer un ensemble fini, c’est-à-dire trouver son cadinal, deux méthodes seront utilisées : compter effectivement les éléments de l’ensemble ou mettre l’ensemble en bijection avec un autre ensemble dont on connaît le cardinal. Exemple fondamental. Soient n et p deux entiers naturels non nuls. Soit E e 1 , e 2 , , e n un ensemble constitué de n éléments distincts. On veut choisir p éléments dans E. Ce choix peut se faire en répétant ou non un élément, en ordonant ou non les éléments choisis. Pour n 3 et p 2, les choix possibles sont : avec répétition avec ordre sans ordre sans répétition e1, e1 e1, e2 e1, e3 e1, e2 e1, e3 e2, e1 e2, e2 e2, e3 e2, e1 e2, e3 e3, e1 e3, e2 e3, e3 e3, e1 e3, e2 e1, e1 e1, e2 e1, e3 e2, e2 e2, e3 e3, e3 e1, e2 e1, e3 e2, e3 Principe de multiplication Si p étapes doivent être effectuées lors d’une expérience, et que la k-ème étape peut entraîner n k choix, alors le nombre de résultats possibles de l’expérience est donné par n 1 n 2 n p . C’est une conséquence du principe du berger. Cela correspond à la présentation de l’expérience sous forme d’arbre de choix. 1 - Arrangement avec répétition. Définition 1.1. Soit E e 1 , e 2 , , e n un ensemble de n éléments distincts. Soit p 1. On appelle arrangement avec répétition d’ordre p de E (on dit aussi p-liste de E) toute suite ordonnée e i 1 , e i 2 , , e i p de p éléments (distincts ou non) de E. Proposition 1.1. Le nombre d’arrangements avec répétition d’ordre p de E est : n p . Preuve. Soit A arrangements avec répétition d’ordre p de E . Tout arrangement avec répétition d’ordre p de E est un élément du produit cartésien E p E E (p fois), et réciproquement. Donc A E p et le nombre d’arrangements avec répétition d’ordre p de E est card A card E p cardE p n p . Plus simplement, on dit que pour construire un tel arrangement, on choisit un élément de E que l’on place en première position, soit n choix possibles. Puis on choisit un élément de E que l’on place en deuxième position, soit n choix possibles ; ce nombre se multipliant au nombre de choix précedents. Et ainsi de suite jusqu’au choix du p-ième élément. Le principe de multiplication assure qu’il y a donc n n n p choix possibles. Remarque 2.1. Cette formule est valable pour p Stéphane Ducay 0 : n0 1, correspondant à la ”suite vide”. 1 S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Dénombrement - Analyse combinatoire Exemples 1.1. a) Dans une urne contenant n boules distinctes numérotées de 1 à n, on tire successivement avec remise p boules. Le nombre de tirages différents est n p . b) Le nombre de façons de placer p objets distincts dans n cases, chaque case pouvant contenir plusieurs objets, est n p . Proposition 1.2. Soient A et B deux ensembles de cardinal fini respectif p et n. Le nombre d’applications de A dans B est n p . Preuve. Il suffit de mettre en bijection l’ensemble A A, B des applications de A dans B et l’ensemble B p des arrangements avec répétition d’ordre p de B qui est de cardinal n p . Pour ce faire, on peut considérer B p définie par f f a 1 , . . . , f a p , avec A a 1 , . . . , a p . Cette application l’application : A A, B est bien bijective car tout élément x 1 , . . . , x p de B p admet un unique antécédent, à savoir l’application qui à chaque a k de A associe x k dans B. 2 - Arrangement (sans répétition). Permutation. Définition 2.1. Soit E e 1 , e 2 , , e n un ensemble de n éléments distincts. Soit p tel que 1 p n. On appelle arrangement sans répétition d’ordre p de E toute suite ordonnée e i 1 , e i 2 , , e i p de p éléments distincts de E. En général, on dira arrangement, sans préciser ”sans répétition”. Proposition 2.1. Le nombre d’arrangements d’ordre p de E est : A pn nn 1 n p 1 n n! . p ! Preuve. Pour p 1, il est clair que A 1n n (nombre de choix d’un élément de E . Soit p 2. A un arrangement e i 1 , e i 2 , , e i p d’ordre p correspond l’unique couple constitué de l’arrangement e i 1 , e i 2 , , e i p 1 d’ordre p 1 et de l’élément e i p de E, différent de e i 1 , e i 2 , , e i p 1 . Réciproquement, à un tel couple correspond un unique arrangement d’ordre p. On en déduit que A pn A pn 1 n p 1 . On a alors A pn A pn 2 n p 2 n p 1 A 1n n 1 n p 2 n p 1 . Plus simplement, on dit que pour construire un tel arrangement, on choisit un élément de E que l’on place en première position, soit n choix possibles. Puis on choisit un élément de E, différent du premier, que l’on place en deuxième position, soit n 1 choix possibles ; ce nombre se multipliant au nombre de choix précedents. Et ainsi de suite jusqu’au choix du p-ième élément, différent des précédents, soit n p 1 choix possibles. Le principe de multiplication assure donc qu’il y a n n 1 n p 1 choix possibles. Remarque 2.1. Cette formule est valable pour p 0 : A 0n 1, correspondant à la ”suite vide”. Pour p n, on a A pn 0 car il y a au moins une répétition. Exemples 2.1. a) Dans une urne contenant n boules distinctes numérotées de 1 à n, on tire successivement sans remise p boules. Le nombre de tirages différents est A pn . b) Le nombre de façons de placer p objets distincts dans n cases, chaque case pouvant contenir au plus un objet, est A pn . Proposition 2.2. Soient A et B deux ensembles de cardinal fini respectif p et n, avec 1 Le nombre d’injections de A dans B est A pn . Stéphane Ducay p n. 2 S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Dénombrement - Analyse combinatoire Définition et proposition 2.3. Soit E e 1 , e 2 , , e n un ensemble de n éléments distincts. On appelle permutation de E tout arrangement d’ordre n de E, i.e. toute suite ordonnée e i 1 , e i 2 , des n éléments distincts de E. Le nombre de permutations de E est alors : A nn n! , ein Proposition 2.4. Soient A et B deux ensembles de cardinal fini n. Le nombre de bijections de A dans B est n!. 3 - Combinaison (sans répétition). Formule du binôme. Définition 3.1. e 1 , e 2 , , e n un ensemble de n éléments distincts. Soit p tel que 0 p n. Soit E On appelle combinaison sans répétition d’ordre p de E toute partie (sous-ensemble) e i 1 , e i 2 , éléments distincts de E. En général, on dira combinaison, sans préciser ”sans répétition”. Proposition 3.1. Le nombre de combinaisons d’ordre p de E est : n C pn p , e i p de p n! . p! n p ! Preuve. Pour p 0, la seule combinaison d’ordre 0 est donc C 0n 1. Soit p 1. A une combinaison d’ordre p de E donnée on peut associer autant d’arrangements d’ordre p de E que de permutations des p éléments de la combinaison, soit p! arrangements. Deux arrangements obtenus à partir de deux combinaisons différentes sont différents. Ainsi, à partir des p C n combinaisons d’ordre p, on obtient C pn . p! arrangements d’ordre p différents. Comme à tout arrangement d’ordre p correspond une (unique) combinaison d’ordre p, on obtient bien tous les arrangements possibles par permutation des combinaisons. A pn . D’où le résultat. On a donc A pn C pn . p!, i.e. C pn p! Remarque 3.1. Pour p n, on a C pn 0 car il n’y a pas assez d’éléments dans E. Exemples 3.1. a) Dans une urne contenant n boules distinctes numérotées de 1 à n, on tire simultanément p boules. Le nombre de tirages différents est C pn . b) Le nombre de façons de placer p objets indiscernables dans n cases, chaque case pouvant contenir au plus un objet, est C pn . c) Le nombre de suites strictement croissantes de p éléments de 1, . . . , n est C pn . On a donc p card i 1 , , i p / 1 i1 ip n C pn . Ce résultat est en particulier utile lors de l’utilisation de la formule de Poincaré. Propriétés 3.1. i Pour 0 p n, C pn C nn p . En particulier, C 0n ii Pour 1 p n 1, C pn 11 C pn 1 C pn . iii Pour 1 p n, pC pn nC pn 11 . C nn 1. Preuve. Ces résultats s’obtiennent immédiatement par un calcul direct. Donnons une démonstration de ii basée sur le dénombrement. Soit E e 1 , e 2 , , e n . Le nombre de combinaison d’ordre p de E est C pn . Parmi ces combinaisons, il y a celles qui ne contiennent pas e 1 , soit C pn 1 combinaisons, et celles qui contiennent e 1 , soit 1 C pn 11 Stéphane Ducay 3 S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Dénombrement - Analyse combinatoire combinaisons. D’où le résultat ii . Le résultat ii permet d’obtenir les coefficients C pn dans un tableau triangulaire, appelé triangle de Pascal. n\p 0 1 2 3 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 4 1 Formule du binôme de Newton. Soient A un anneau commutatif, x et y deux éléments de A, et n un entier naturel. Alors x n n y n C kn x k y n k C kn y k x n k . k 0 Preuve. k 0 n Pour n 0, C kn x k y n k C 00 x 0 y 0 C kn x k y n k C 01 x 0 y 1 1 x y 0 k 0 n Pour n 1, 0 C 11 x 1 y 1 1 y x y 1. x k 0 Supposons la formule vraie à un rang n x n 1 y x y x n n y x k 0 n 1 C kn x k y n 1 k k 0 n C nn x n 1 y 0 k 1 C 0n x 0 y n 1 1 k n yn 1 C kn 1 C kn x k y n 1 k xn 1 k 1 n 1 C nn 11 x n 1 y 0 k 1 C kn x k y n k 0 C kn x k y n 1 k k 1 C kn 1 x k y n 1 k n 1 k k 1 n n k k 0 C kn 1 x k y n C kn 1 x k y n 1 k C 0n 1 x 0 y n 1 1 donné. Alors C kn x k y n y n C kn x k 1 y n k n C kn 1 x k y n 1 k . k 0 La formule est donc vraie au rang n 1. On a donc démontré le résultat par récurrence. Nombre de parties d’un ensemble. Soit E e 1 , e 2 , , e n un ensemble de n éléments distincts. On note P E l’ensemble des parties de E. Par exemple, pour n 2, E e 1 , e 2 et P E , e1 e2 e1, e2 . Proposition 3.2. Le nombre de parties d’un ensemble E de n éléments distincts est 2 n . Preuve. Preuve 1. P E est constituée des parties de E à k éléments, 0 n k 0 y 1, on a k 0 n C kn n, dont le nombre est C kn . Ainsi, le C kn . En appliquant le formule du binôme avec x nombre de parties de E est n k C kn 1 k 1 n k 1 1 n 2n. k 0 Preuve 2. Il suffit de mettre en bijection l’ensemble P E et l’ensemble 0, 1 n des arrangements avec répétition d’ordre n de 0, 1 qui est de cardinal 2 n ; cette bijection étant par exemple l’application 1 si e k A :PE 0, 1 n définie par A e 1 , . . . , e n et k . 1 , . . . , n , avec E 0 si e k A A E, 0, 1 définie par A 1A On pouvait aussi considérer la bijection : P E A , fonction indicatrice de A, l’ensemble A E, 0, 1 étant aussi de cardinal 2 n . Stéphane Ducay 4 S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Dénombrement - Analyse combinatoire 4 - Combinaison avec répétition. Définition 4.1. Soit E e 1 , e 2 , , e n un ensemble de n éléments distincts. Soit p un entier naturel. On appelle combinaison avec répétition d’ordre p de E toute collection e i 1 , e i 2 , , e i p de p éléments (distincts ou non) de E. Proposition 4.1. Le nombre de combinaisons avec répétition d’ordre p de E est : K pn C nn 1p 1 C pn p 1 . Preuve. Comme pour une combinaison, on peut supposer que les éléments sont rangés par ordre d’indice croissant. Une combinaison avec répétition d’ordre p est alors caractérisée par le nombre p k de fois où n l’élément e k est répété, avec pk p : e1, , e1, e2, , e2, , en, , en . k 1 Le choix d’une combinaison avec répétition d’ordre p revient à l’expérience suivante : parmi n p 1 cases alignées, on choisit n 1 cases que l’on considère comme des cloisons, soit C nn choix possibles ; on construit ainsi n boites, la k-ième contenant p k fois e k . Le résultat découle de l’égalité C nn 1p 1 C nn pp 11 n 1 C pn p 1 . 1 p 1 Exemples 4.1. a) Le nombre de façons de placer p objets indiscernables dans n cases, chaque case pouvant contenir éventuellement plusieurs objets, est K pn . n b) On a alors card x 1 , , x n / x1 xn p K pn , en prenant comme objets des 1 et comme cases les x i . c) Le nombre de suites croissantes de p éléments de 1, . . . , n est K pn . On a donc p card i 1 , , i p / 1 i1 ip n K pn . 5 - Permutation avec répétition. Définition 5.1. Soit un entier naturel n 1. Soit E e 1 , , e 1 , e 2 , , e 2 , , e n , , e n une collection de p éléments, dont p k fois l’élément e k , 1 k n. On appelle permutation avec répétition de E toute suite ordonnée des p éléments de E. Proposition 5.1. Le nombre de permutations avec répétition de E est : p! p 1 !p 2 ! p n ! Preuve. Pour construire une permutation de E, on choisit successivement : - p 1 positions pour e 1 parmi les p positions possibles, soit C pp 1 choix possibles ; - p 2 positions pour e 2 parmi les p p 1 positions restantes, soit C pp 2 p 1 choix possibles ; - p 3 positions pour e 3 parmi les p p 1 p 2 positions restantes, soit C pp 3 p 1 p 2 choix possibles ; - p n positions pour e n parmi les p p 1 p n 1 p n positions restantes, soit C pp nn choix possibles. Le principe de multiplication assure donc que le nombre de permutations avec répétition de E est : p p1 ! p p1 p2 ! p! pn! C pp 1 C pp 2 p 1 C pp 3 p 1 p 2 C pp nn p p1! p p1 ! p2! p p1 p ! p3! p p1 p2 p3 ! n !0! d’où le résultat. Stéphane Ducay 5 S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Dénombrement - Analyse combinatoire 6 - Exercices Exercice 1. On lance cinq fois un dé dont les six faces sont numérotées de 1 à 6. On obtient ainsi une suite de cinq numéros. Dénombrer les résultats : a) possibles. f) contenant exactement un as. b) où les cinq faces sont identiques. g) contenant exactement deux as. c) où les cinq faces sont différentes. h) commençant par un deux. d) ne contenant aucun as. i) contenant tous les numéros sauf le trois. e) contenant au moins un as. Exercice 2. Dans un jeu de 32 cartes, on choisit une main de 5 cartes. Dénombrer les mains contenant : a) aucun as. d) au moins un as. g) un carré. b) exactement un as. e) deux coeurs et trois piques. h) deux paires. c) exactement deux as. f) deux coeurs et un as. i) un full. Exercice 3. Un réseau de téléphonie mobile comporte des numéros à 8 chiffres pris dans 0, 1, numéros comprenant : a) huit chiffres différents ; b) huit chiffres dont le produit est divisible par deux ; c) deux fois le 1, deux fois le 3, trois fois le 5 et une fois le 9 ; d) deux chiffres se répétant 4 fois ; e) un chiffre apparaissant 4 fois, les autres une fois ; f) huit chiffres formant une suite strictement croissante ; g) huit chiffres formant une suite croissante. Exercice 4. n n C kn et S 1) Soit n un entier naturel. Calculer S k 0 E n 2 2) Soit n un entier naturel non nul. Calculer S 1 1 k C kn . k 0 E C 2k n , 9 . Dénombrer les n 1 2 1 C 2k . n et S 2 k 0 k 0 Montrer que si E est un ensemble de n éléments, alors il y a autant de parties de E contenant un nombre pair d’éléments que de parties en contenant un nombre impair. Exercice 5. 1) Soient a, b et n trois entiers naturels tels que n n C na min a, b . Montrer la formule de Vandermonde C ka C nb k . b k 0 a) en utilisant la formule du binôme dans l’égalité 1 x a b 1 x a 1 x b; b) en dénombrant les parties de cardinal n de la réunion de deux ensembles disjoints A et B de cardinal a et b. n n 2 2 n Cn . 2) En déduire les égalités : i C kn C n2n ; ii k C kn 2 2n k 0 k 0 Exercice 6. Soient A et B deux ensembles de cardinal fini respectif p et n ; on pose B b 1 , . . . , b n . On désigne par E l’ensemble des applications de A dans B, par S l’ensemble des surjections de A dans B, par A i l’ensemble des applications de A dans B pour lesquelles b i n’a pas d’antécédent. On désigne par S p,n le nombre de surjections de A dans B, c’est-à-dire S p,n cardS. 1) Justifier que S p,n 0 si p n, et que S n,n n!. n n 2) Justifier que E \ S A i . Utiliser la formule de Poincaré pour en déduire : S p,n i 1 Stéphane Ducay 1 k C kn n k p. k 0 6 S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Dénombrement - Analyse combinatoire 7 - Annexe : rappels sur les ensembles et les applications Ces rappels seront aussi utiles dans les chapitres suivants : espaces probabilisés, variables aléatoires, ... Nous supposons que le lecteur est déjà familiarisé avec les notions d’ensemble et d’application. Ensemble et partie d’un ensemble Rappelons que P E désigne l’ensemble des parties (sous-ensembles) d’un ensemble E : A PE A E (Tout élément de A est un élément de E) Si E est un ensemble, l’ensemble E lui-même est une partie de E, ainsi que l’ensemble vide, noté , qui par définition ne contient aucun élément : E P E et P E . On distinguera un élement x de E du singleton x qui est la partie de E dont le seul élément est x : x E et x PE . Double inclusion Si E et F sont deux ensembles, alors E F E F et F E Réunion et intersection Si E est un ensemble et A et B sont deux parties de E, alors on définit les ensembles suivants, qui sont des parties de E : A x E / x A , complémentaire de A dans E A B x E / x A ou x B , réunion de A et B A B x E / x A et x B , intersection de A et B A\B x E / x A et x B , différence de A et B On dira que les parties A et B sont disjointes si et seulement si A B . A B B A . On a aussi : A A, A \ B A B, A B Plus généralement, soit I un ensemble d’indices et A i i I une famille de parties de E : - la réunion des A i , notée A i , est l’ensemble des éléments x de E qui appartiennent à l’un au moins i I des ensembles A i , - l’intersection des A i , notée A i , est l’ensemble des éléments x de E qui appartiennent à tous les i I ensembles A i . On dira que les parties A i sont deux à deux disjointes si et seulement si pour tous i et j dans I tel que i Ai Aj . j, Partition Soit E un ensemble et A i i I une famille de parties de E. L’ensemble des A i est une partition de E si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées : - la réunion des A i est E (c’est-à-dire A i E) i I - les A i sont deux à deux disjointes (pour i j, A i Aj . Produit cartésien Soient E et F deux ensembles. Leur produit cartésien, noté E F, est l’ensemble des couples x, y où x est un élément de E et y un élément de F : E F x, y / x E et y F . Soient E 1 , E 2 , . . . , E n n ensembles. Leur produit cartésien est E1 E2 En x 1 , x 2 , . . . , x n / x i E i pour i 1, 2, . . . , n . Si E est un ensemble, on note E n le produit cartésien E E E (n fois). C’est l’ensemble des n-uplets d’éléments de E. Application E et F étant deux ensembles non vides, une application f de E dans F associe à tout élément x de E un unique élément de F, noté f x et appelé image de x par f. Le graphe d’une application f : E F est alors l’ensemble des couples x, f x où x est un élément de E : Graph f x, f x / x E . Si y est un élément de F, on appelle antécédent de y par f tout élément x de E tel que f x y. Stéphane Ducay 7 S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Dénombrement - Analyse combinatoire Insistons sur le fait que tout élément de E a une seule image par f, mais qu’un élément de F peut avoir un ou plusieurs antécédent, ou même n’en avoir aucun. Restriction Soient f une application de E dans F, et A une partie de E. On appelle restriction de f à A, notée f A , f A A F . l’application de A dans F définie par : x fx Image et image réciproque d’un ensemble par une application Soient f une application de E dans F, A une partie de E et A une partie de F. On appelle image de A par f, notée f A , l’ensemble des images des éléments de A : fA f x / x A . On peut encore définir f A comme l’ensemble des éléments de F qui ont un antécedent dans A : f A y F / x A, y f x . L’ensemble f E est appelée image de f, c’est l’ensemble des éléments de F qui ont un antécédent. On appelle image réciproque de A par f, notée f 1 A , l’ensemble des éléments de E dont l’image appartient à A : f 1 A x E/f x A . On a les propriétes suivantes : - f 1 F E, f ,f 1 , 1 - pour tout y de F, f y est l’ensemble des antécédents de y, fA f B ,f A B fA f B et - pour toutes parties A et B de E, on a A B fA B fA fB - pour toutes parties A et B de F, on a A B f 1 A f 1 B , f 1 A B f 1 A f 1 B ,f 1 A B f 1 A f 1 B ,f 1 A f 1 A et f 1 A \B f 1 A \f 1 B . Injection, surjection, bijection Soit f une application de E dans F. f est injective (respectivement, surjective, bijective) si et seulement si tout élément de f admet au plus (resp. au moins, exactement) un antécédent. On a les équivalences suivantes : (f injective) x, x E, x x fx fx x, x E, f x fx x x (f surjective) fE F , (f bijective) (f injective et f surjective) Lorsque f est bijective, on désigne par f 1 sa bijection réciproque, application de F dans E qui à tout élément y de F associe son unique antécédent x par f. Composée d’applications Soient f une application de E dans F et g une application de F dans G. L’application composée g f de E dans G est définie par g f x gfx . Lorsque f est bijective, on a f 1 f id E et f f 1 id F . La composée de deux injections (respectivement surjections, bijections) est une injection (resp. surjection, bijection). On appelle involution de E toute application f de E dans E tel que f f id E . On a alors f bijective et f 1 f. Fonction indicatrice Soient E un ensemble et A une partie de E. On appelle fonction indicatrice de A l’application de E dans 1 si x A 0, 1 , notée 1 A ou A , et définie par : A . 0 si x A Si A et B sont deux parties de E, on a : A A B , A B 1 B A B, A A, 0 A B . A B A B A B, A B A B A B Ensembles finis et dénombrables . Un ensemble fini est un ensemble contenant 0 ou n élements, n Le nombre d’éléments d’un ensemble fini est appelé son cardinal. cardE 0 signifie que E , cardE n signifie que E contient n éléments. Deux ensembles E et F ont le même cardinal si et seulement si il existe une bijection f de E dans F. Un ensemble E est dénombrable si on peut indexer ses éléments par les entiers naturels, c’est-à-dire s’il Stéphane Ducay 8 S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Dénombrement - Analyse combinatoire existe une bijection : k x k de dans E. Si E est un ensemble dénombrable et s’il existe une bijection f de E dans F, alors F est un ensemble dénombrable. Les ensembles , , , , 2 , 3 , ... sont dénombrables. Toute partie de est finie ou dénombrable ; plus généralement, toute partie d’un ensemble dénombrable est finie ou dénombrable. Tout ensemble indexé par une ensemble dénombrable d’indices est dénombrable. Si E est un ensemble, une famille x i i I d’éléments de E est dite finie ou dénombrable si I est un ensemble fini ou dénombrable d’indices. Cardinal d’un ensemble fini Considérons un ensemble fini E de cardinal n. Toute partie A de E est un ensemble fini et contient au plus n éléments. Si A contient n éléments, alors A contient tous les éléments de E et n’est autre que l’ensemble E lui-même. On a donc : A E cardA cardE et A E et cardA cardE A E. , et f une application de E dans F. On a alors Soient E et F deux ensembles finis de même cardinal n f injective f surjective f bijective Propriétés des cardinaux Soient E un ensemble fini, A, B, A 1 ,...,A n des parties de E. On a : A B card A B cardA cardB cardA cardE cardA card A \ B cardA card A B B A card A \ B cardA cardB card A B cardA cardB card A B Formule du crible ou de Poincaré : n n card Ai i 1 card A i card A i 1 i 1 1 n 1 k 1 k 1 n 1 Ai2 1 k 1 1 i1 i2 n card A i 1 1 i1 card A 1 Aik ik n An S k , avec S k card A i 1 1 i1 (somme de C kn termes) Aik ik n Si A 1 , . . . , A n est une partition de E, alors cardE n cardA 1 cardA n card A i . i 1 Cardinal d’un produit cartésien Soient E, F, E 1 ,...,E n des ensembles finis. Les produits cartésiens E ensembles finis et on a cardE F cardE cardF , card E 1 E 2 card E n cardE n . F, E 1 En E2 E n et E n sont des cardE 1 cardE n et Principe du berger Soient E et F deux ensembles finis et f : E F une application surjective, alors cardE card f 1 y . Si de plus card f 1 y n pour tout y de F, alors cardE n cardF. y F Ceci veut dire en particulier qu’en comptant le nombre de pattes des moutons d’un troupeau, on connaît le nombre des moutons ! Stéphane Ducay 9
