Polycopié du cours sur la commande

DES PRINCIPES D’INVERSION
AUX PRINCIPES DE COMMANDE
Bruno FRANCOIS
1
2
La commande
Toute stratégie de commande est une inversion de la causalité entréesortie
Puisse que l’on connaît l’effet produit par la cause,
Il suffit de créer la bonne cause pour obtenir l’effet désiré
Modélisation
Objets du
processus
SYSTEME
Objectif
Proposer une démarche systématique
pour construire l’architecture
de la commande
Processeurs
SYSTEME MODELE
PHYSIQUE
3
4
Les principes d’inversion
Inversion d’une relation instantanée (à causalité externe)
u
u
reg
R
y
Rc
y
Déterminez le G.I.C. du modèle
Déterminez le G.I.C. du dispositif de commande
Établir la représentation sous forme de schéma bloc de l’ensemble
Déterminez la relation de commande
ref
Grandeur de réglage
Grandeur de référence
Processus :
y=R(u) Si u=u
reg
Commande :
-1, (y
ureg=R
=R
et R
c alors
ref) : y=yref.
c
Pas besoin de capteur
Cas des dissipateurs
Exemple 1:
On veut i=iref=10A
i
10
Ω
Système linéaire statique monovariable à une entrée totalement influencable
5
6
Les principes d’inversion
Inversion d’une relation temporelle (avec integration)
u
u
reg
R
y
Rc
y
ref
Processus :
Commande : ureg=Rc(yref- - y)
y=R(u)
Si u=ureg et Rc est une relation à grand gain, alors :
y=yref.
Exemple 2 :
On veut v =vref en τr secondes sans erreur
statique et un échelon unitaire pour vref
10µF
Système linéaire dynamique monovariable à une entrée totalement influençable
Déterminez le G.I.C. du modèle
Déterminez le G.I.C. du dispositif de commande
Établir la représentation sous forme de schéma bloc de l’ensemble
Déterminez la relation de commande
C ’est le principe d’asservissement qui nécessite la mesure
de la grandeur à contrôler
Cas des accumulateurs
Comme la relation R dépend du temps ( et de l’entrée u), l’égalité y=yref sera
toujours obtenue au bout d’un certain temps appelé « temps de réponse en boucle
fermée »
7
8
Les principes d’inversion
Inversion d’une relation multi entrée
u1
u2
u1_reg
R
y
Rc
y
On ne peut agir que sur une seule entrée
Les autres entrées sont alors des perturbations
Cas des lois physiques
9
v
10
ref
LA MESURE DES GRANDEURS
L’OBSERVATION DES GRANDEURS
Pour connaître la valeur d’une grandeur physique, on peut la mesurer en utilisant un
capteur
GRANDEUR
PHYSIQUE
x
R
m
MESURE
Pour connaître la valeur d’une grandeur physique, on peut l’observer en utilisant la
relation de modélisation d’une autre grandeur
)
)
m = R( x) avec x = x + ∆x
∆x : incertitude et bruit
Ω OBSERVATEUR DU COUPLE
L’ESTIMATION DES GRANDEURS
Pour connaître la valeur d’une grandeur physique, on peut l’estimer en utilisant sa
relation de modélisation
~
x est appelée valeur estimée de la grandeur x
~
x = x + ∆x
Exemple 1:
Estimation d’une relation instantanée
R5 → e = κ .Ω
R5
e
R4
∆x : erreur
ESTIMATEUR DE LA F.E.M
Ω
i
PROCESSUS
c
R3
c af
R1
Ω
PROCESSUS
cr
On veut connaître la perturbation cr , on va l’observer
La grandeur c ne peut pas être mesurée
La grandeur Ω peut être mesurée, elle est comparée avec sa valeur estimée et l’erreur
permet d’estimer la perturbation cr
Estimation d’une relation temporelle
Schéma bloc équivalent
x
R5
y
ESTIMATEUR
PROCESSUS
11
12
Le graphe du dispositif de commande
-A chaque processeur du G.I.C. du processus correspond un processeur du
G.I.C. du système de commande qui symbolise une relation de commande
- Commencer l'inversion à partir de la variable principale à asservir en faisant
correspondre une entrée de référence du système de commande
- En partant de la grandeur à asservir, le chemin causal du processus est
‘remonté’, en y inversant les relations caractéristiques des processeurs
rencontrés, et ceci, jusqu’à la grandeur de réglage
Le graphe du dispositif de commande
- A un processeur mono entrée mono sortie instantanée du G.I.C. du processus
correspond un processeur mono entrée mono sortie instantané du G.I.C. du
système de commande.
- A un processeur mono entrée mono sortie causal du G.I.C. du processus
correspond un processeur double entrées mono sortie causal du G.I.C. du système
de commande.
- Si le processeur du G.I.C. du processus possède plusieurs entrées et une sortie
causal, il est important de caractériser chaque entrée soit en entrée influente soit en
entrée de perturbation. Il faudra concevoir un découplage
.
- L'effet des entrées de perturbation non mesurables sur la sortie devra être réduit
par le processeur causal correspondant du système de commande : c'est le principe
du rejet de perturbations par augmentation du gain de boucle. Parmi les entrées
influentes, il faudra choisir l'entrée qui sera utilisée et rendre constantes les autres
entrées.
13
14
Systèmes statiques linéaires multivariables
à entrées totalement influencables
Exemple 3: système non couplé
Déterminez les tensions u1 et u2 pour obtenir
les références suivantes i1_ref = 20A et i2_ref = 5A
i1
10
u1
u2
Ω
i2
20
Ω
15
Conclusion
16
Conclusion
La commande
Structurée par une
démarche déductive
•L ’inversion est une dé
démarche systé
systématique de conception
des architectures de commande.
•Cette mé
méthode conduit à la commande la plus complè
complète
qu ’il faut ensuite adapter à l ’étude
’étude considé
considérée.
•La suite de l ’étude
’étude suppose donc de pré
préciser le cahier des
charges de la commande.
L'inversion causale
Concept de la démarche
Principes d'inversion
Relation causale
Inversion indirecte
Concept d'asservissement
Opérateurs connexes
Compensation Linéarisation
Anticipation
Relation rigide
Inversion directe
Concept d'action directe
Opérateurs connexes
Compensation
17
Capteurs
Estimateurs
Observateurs
Capteurs
Estimateurs
Obseravateurs
18
Commande de la machine à courant continu
1
2
Variateur de vitesse pour machine à courant continu
u
3
ur
2
ul
1.1
C visqueux
i
I.2
C externe
C em
4
7
C total
6
Ω
k
e
~
Ω
5
~
8
MCC
La vitesse est influencée par deux couples.
Pour l’asservir, il faut donc compenser l'effet du couple externe et visqueux dans
l'action du couple électromoteur.
Ceci constitue une première difficulté car la mesure du couple résistant est
difficilement réalisable en pratique
3
4
Définition de la structure globale de commande
ur
2
ul
1
C visqueux
8
C externe
u
3
i
4
Cem
5
ω
7
Ctotal
Anticipation de la chute de tension
6
Ω
u
3
ur
2
ul
1
k
e
i
e
Process
Capteurs+Interfaces
Process
Commande
Capteurs+Interfaces
Commande
ureg
Rc3
~
e
ul_reg
ireg
3 → ul = u − e− ur ⇒ Rc3 → ureg = ul _ reg + ~
e + u~r
2 → vR = R.i ⇒ Re 2- > u~R = R . ireg
u~r
5
Re2
6
Dispositif de commande du courant d’induit
Asservissement du courant et compensation de le fem
ur
u
ul
3
Déterminez la représentation sous forme de schéma-blocs
2
Déterminez le dispositif de commande permettant de régler le courant
d’induit à une valeur donnée
i
1
e
Process
Capteurs+Interfaces
Commande
e~
∩
ureg
ul_reg
Rc3
u~r
i
ireg
Rc1
3 → ul = u − e− ur ⇒ Rc3 → ureg = ul _ reg + ~
e + u~r
2 → vR = R.i ⇒ Re 2- > u~R = R . ireg
Re2
7
8
Asservissement de la vitesse
Hypothèse : Le courant est asservi donc i =ireg. Le temps de réponse du courant
doit être plus petit que celui de la vitesse
Asservissement de la vitesse
Complétez le dispositif de commande qui permet d’asservir la vitesse
Simplifiez le modèle et le dispositif de commande qui permet d’asservir la vitesse
ur
2
ul
1
C visqueux
C externe
u
3
i
4
Cem
5
ω
7
Ctotal
C visqueux
8
6
k
e
C externe
i
Ω
8
k
e
4
Cem
5
ω
7
Ctotal
6
Ω
Process
Capteurs+Interfaces
Capteurs+Interfaces
Commande
Commande
~
e
Ro5
∩
∩
ureg
Rc3
ul_reg
u~r
i
Rc1
∩
k
ireg
4-1
Cem _reg
Ωref
ireg
k
4-1
Cem _reg
Ro2
9
10
Ωref
Observateur de charge
Observateur de charge
Le couple de charge est une grandeur difficilement mesurable. Concevez un
observateur permettant d’estimer cette grandeur.
1ere étape : Création d’un estimateur
2eme étape : Création d’un observateur
1ere étape : Création d’un estimateur
)
i
)
Ω
i
R4
cem
R3
ctotal
R1
Ω
PROCESSUS
cr
R 4 → ctotal = k .i
Le couple de charge correspond au couple nécessaire pour minimiser l’écart
entre la vitesse estimée et la vitesse mesurée
R3 → ctotal = cem − cr
R1 → J
dΩ
= ctotal
dt
11
~ )
Ro5 → c~r = a( Ω − Ω )
12
Déterminez la représentation sous forme de schéma-blocs du dispositif de
commande complet
13
14
Variateur de vitesse pour machine à courant continu
~
~
Convertisseur pour l’alimentation
La commande en vitesse de la machine nécessite le réglage de la tension u
appliquée à son enroulement d’induit.
L’enroulement d’induit correspond à un circuit série r, l, e.
u
im
MCC
T11
us
T12
D11
um
is
T21
Commande de l’électronique de puissance
u reg
r
e
D 21
Ωref
Rôle : Alimenter correctement la machine pour obtenir une vitesse désirée
15
16
CONVERSION
CONVERSION EN
EN TENSION
TENSION
us
im
Hypothèses :
f12
um
f21
l
r
e
f 21 = 1 − f11
f22 =1− f12
is
is
D22
Chaque association d’un transistor en antiparallèle d’une diode est un
interrupteur synthétisé, bidirectionnel en courant et unidirectionnel en
tension.
Hypothèse : Conduction continue
-> chaque association (Transistor-Diode) est équivalent à un interrupteur idéal
Convertisseur équivalent avec interrupteurs idéaux
f11
T22
cellule 2
cellule 1
Commande de la machine
us
l
D12
f22
um
Résultats :
im f11
f12
us f21
f22
um = ( f11− f12 ) .us
Fonction de conversion :
m = f11− f12 (1)
cellule 2
cellule 1
f11 f12 um im
Nombre de configurations ?
17
0 0
0
0
0 1
-us -is
1 0
us is
1 1
0
0
u m= m . u s (2)
Tension modulée
18
Source de tension
CONVERSION EN COURANT
us
f21 = 1− f11
f22 =1− f12
is
um
Résultats :
im f11
f12
us f21
f22
im =
um = m.u
im
( f11− f12 ) .is
R3
um
R2
is
m
Fonction de conversion :
m = f 11 − f 12
R1
us
Hypothèses :
GIC du modèle
m = f11− f12
i m= m . i s (3)
Courant modulé
im = m .it
f12
f11
Convertisseur
Côté réseau
um
us
Source de courant
im
19
20
Modèle moyen
Is
F
Modèle moyen
La tension um ne pouvant prendre que les trois valeurs discrètes , comment
concevoir sa variation entre -us et us ?
C’est sa valeur moyenne um qui peut être réglée, de sorte que :
um
us
<um>
< um >
. pour um∈{−us , us }, um ∈[−us , us ] ;
. pour um∈{−us , 0}, um ∈[−us , 0] ;
t
0
. pour um∈{0 , us }, um ∈[0 , us ] .

 (k +1).Tm
um(t) = lim  1
um(t).dt 

Tm→0 Tm
k.Tm


<um>
us
∫
21
Tm
t
0
Si Tm, appelée période de commutation ou encore de modulation,
est suffisamment faible devant la constante de temps électrique de la machine,
il apparaît très commode de considérer que
celle-ci est alimentée par la « valeur moyenne -instantanée »
définie comme la limite de lorsque Tm tend22vers 0.
Modèle moyen
Modèle moyen dans le repère naturel
LES FONCTIONS GENERATRICES
LES
LES FONCTIONS
FONCTIONS GENERATRICES
GENERATRICES
Les grandeurs électriques modulées sont appliquées à des charges du type
‘ filtre passe-bas ’ (processeurs intégrateurs)
C’est la valeur moyenne des grandeurs modulées qui conditionne l’évolution
temporelle des grandeurs d’état de la partie continue
< f11>
< f11>
f11
1
t
0
Tm
< f11>
1
On peut obtenir un « modèle moyen » du convertisseur en utilisant la
notion de fonction génératrice de connexion sur une période de
commutation Tm
Fonction génératrice de connexion (sur une période de commutation Tm)
flc
(k +1).Tm
< flc (k ,t )> = 1 .
Tm
∫
flc (τ ).d τ
Fonction génératrice de connexion (sur une période de commutation Tm)
est équivalente au rapport cyclique
(k +1).Tm
fci_g
5
t
0
< flc (k ,t )> = 1 .
Tm
m
Tm
k .Tm
flc (τ ).d τ
∫
k .T
23
24
Modèle
Modèlemoyen
moyendans
danslelerepère
repèrenaturel
naturel
u
<um> = <m>.u
<um >
R3
<i m >
it
R2
Modèle moyen dans le repère naturel
Par extension
Fonction génératrice de conversion (sur une période de commutation Tm)
(k +1).Tm
< mc(k ,t )> = 1 .
mc (τ ).d τ
Tm
<m>
R1
< m > = < f11 > − < f12 >
<im> = <m>.it
Modèle moyen
(k +1).Tm
< flc (k ,t )> = 1 .
Tm
<f 11>
∫
k .Tm
Exemple : Conversion en tension
Modèle moyen
um = m.u
<f 12>
Grandeur sans dimension
∫ flc (τ ).dτ
k .T
Rapport cyclique signé
m
25
26
Conception
du dispositif de commande
Modèle moyen
u
<u m >
R3
u
R3
um
im
R2
it
it
R2
−1 ≤ <m> ≤ 1
<m>
R5
R1
f12
<m>
Modèle moyen
<f12 >
f11
0
f11_reg
<F ref>
<f11_reg>
Rc1
R1
Modèle moyen
<f12 >
f11
Dispositif de
commande
<u m_reg >
<m>
R5
Modèle moyen
Rc3
Tm
f12
Modèle moyen
Dispositif de
commande
f12_reg
f11_reg
MLI
t
f12
f12_reg
f11_reg
ξ
<f11_reg>
MLI
1
Tm
Linéarisation
dynamique
<m reg >
<f11 >
R5
R5
<f11 >
ξ
u
28
Conception
du dispositif de commande
R1
Inversion du modèle moyen
dans le repère naturel
<F ref>
Pas de modification sur les autres
fonctions de la commande
Automate de Commande Rapprochée
A.C.R.
27
Conception
du dispositif de commande
Dispositif de
commande
f12_reg
R5
Tm
Modèle moyen
f12
MLI
Variation continue [0, 1]
R1
R1
f11
Tm
f11_reg
<f12>
<f11>
f lc = 0 ou 1
f11
Variation discontinue {0, 1}
Modèle moyen
0 ≤ < f lc > ≤ 1
Modèle moyen
<f12 >
<f11 >
R5
<im >
R1
<m>
Modulateur
ξ
<F ref>
ξ
0
<m reg >
u
29
Rc1
t
Rc1
1
Générateur
de connexion
Rc3
<u m_reg >
<m reg >
u
30
Rc3
<u m_reg >
Conception du dispositif de commande
Conception du dispositif de commande
GENERATEUR DE CONNEXION
LINEARISATION
LINEARISATION DYNAMIQUE
DYNAMIQUE
Générateur de conversions < m > = < f11 > − < f12 >
Modèle moyen
Commande
Générateur de connexions < f11 _ reg > = ?
< mreg > = <u mreg >
us
< u m > = < m > .us
< f12 _ reg > = ?
Il existe une infinité de solutions
Cette opération n’est
utile que si us varie
Le choix fait au niveau du générateur de connexion a une grande
importance sur l ’optimisation de l’utilisation du convertisseur :
Exemple :
• Nombre de commutation des interrupteurs
• Niveau de saturation du convertisseur
31
32
Conception du dispositif de commande
LE
LE MODULATEUR
MODULATEUR
GENERATEUR DE CONNEXION
Position de l ’impulsion
Générateur de conversions < m > = < f11 > − < f12 >
Générateur de connexions : exemple
fci REG(k,Tm )
1
fci REG(k,Tm )
1
fcig REG(k,Tm )
0
(k +1) Tm
fci REG(k,Tm )
fcig REG(k,Tm )
0
k Tm
1
fcig REG(k,Tm )
0
k Tm
(k + 12)T
m
(k +1) Tm
k Tm
(k +1) Tm
L’ association d’
d’une impulsion à droite puis d’
d’une impulsion à gauche
permet de diviser le nombre de commutation par 2
Te = Tc/2
33
34
f11_reg
LE MODULATEUR
< f11_reg>
Déterminez la représentation sous forme de schéma-blocs du dispositif de
commande complet
< f11_reg>
1
t
0
< f11_reg>
Tm
1
t
0
35
36
Travaux Dirigé :
Exemple 6: système perturbé
ip est une entrée de perturbation mesurable
Déterminer le dispositif de commande pour
obtenir UR = URref
Exemple 4: système couplé
Déterminez les tensions u1 et u2 pour obtenir
les références suivantes i1_ref = 20A et
i2_ref = 5A.
i2
u1
i1
ip
R1
10Ω
10Ω
u2
R
20Ω
Exemple 7: système perturbé
ip est une entrée de perturbation non
mesurable
Exemple 5: système couplé
Déterminez les tensions u1 et u2 pour obtenir
les références suivantes i1_ref = 20A et
i2_ref = 5A
ip
i1
10Ω
10Ω
R
i2
Exemple 8:
On veut v =vref en tr secondes sans erreur
statique
10Ω
1Ω
10Ω
10µF
v
Exemple 9:
On veut v =vref en tr secondes sans erreur
statique
ip
v
10µF
10Ω
1