Nombres premiers – Multiples
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Nombres premiers – Multiples - Diviseurs I – DIVISEURS ET MULTIPLES 1) Définition Si a est un nombre entier naturel qui s’écrit sous la forme d’un produit de deux nombres entiers naturels non nuls : a = b x c Alors on dit que - a est un multiple de b et a est multiple de c - a est divisible par b et a est divisible par c - b est un diviseur de a et c est un diviseur de a 2) Exemples 6=3x2 - 6 est un multiple de 3 et 6 est un multiple de 2 - 6 est divisible par 3 et 6 est divisible par 2 - 3 est un diviseur de 6 et 2 est un diviseur de 6 7 est-il diviseur de 56 ? Oui car 56 = 7 x 8 3) Critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 9 Un nombre est divisible par - 2 : si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 - 3 : si la somme des chiffres est multiples de 3 - 5 : si le dernier chiffre est 0 ou 5 - 9 : si la somme des chiffres est un multiple de 9 - 10 : si le dernier chiffre est 0 4) Exemples : 1378 est divisible par 2 : il suffit de remarquer que le dernier chiffre est pair 845 est divisible par 5 : il suffit de remarquer que le dernier chiffre est 5 114 est divisible par 3 : il suffit de remarquer que la somme des chiffres, qui est 1+1+4 soit 6, est divisible par 3 Attention : les nombres 13, 16 ou 19 se terminent par les chiffres 3, 6 et 9 MAIS ils ne sont pas divisibles par 3 car leur somme n’est pas multiple de 3 II – NOMBRES PREMIERS 1) Introduction Tous les nombres sont multiples de 1. Ainsi on peut écrire tout nombre n tel que n = n x 1. On en déduit que tout entier naturel n a au moins deux diviseurs : 1 et lui-même. 2) Nombres premiers : définition Définition : est nombre premier est un nombre qui a exactement que deux diviseurs : 1 et lui-même. 3) Nombres premiers : exemples - Listes des nombres premiers inférieurs à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 - 4 n’est pas un nombre premier car il a trois diviseurs : 1, 2 et 4 - 1 n’est pas un nombre premier car il n’a qu’un diviseur : 1, c’est-à-dire luimême 4) Méthode pour reconnaître les nombres premiers Pour démontrer qu’un nombre entier est un nombre premier, il suffit de vérifier qu’il n’est pas divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à sa racine carrée. Exemple : Le nombre 127 est t-il premier ? Réponse : Comme = 11,27, il suffit de vérifier que 127 n’est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à 11 : 2, 3, 5, 7 et 11 On en conclut que 127 est un nombre premier. 5) Décomposition en produit de facteurs premiers Tout entier naturel non premier supérieur à 1 peut s’écrire sous la forme d’un produit nombres premiers. On dit qu’il est décomposé en produit de facteurs premiers. Exemples : 15 =5 x 3 18 = 2 x 3 x 3 = 2 x 3^2 350 = 2 x 5 x 5 x 7 5) Application n°1 : Simplification d’une fraction L’écriture des nombres en produit de facteurs premiers permet de simplifier une fraction pour l’écrire sous la forme la plus simplifiée possible : un nombre entier ou une fraction irréductible. Remarque : une fraction est un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers. Exemples : Réduire les fractions suivantes – Simplifier A = 221/782 221 = 17 × 13 et 782 = 17 × 46 221 17×13 13 A = ––––––– = ––––––– = –––– 782 17×46 46 La fraction 221/782 est égale à 13/46. – Simplifier B = 889/2 456 La fraction suivante 889/2456 est irréductible. Les entiers 889 et 2 456 sont premiers entre eux, c’est à dire que leur PGCD est égal à 1.
