Anneaux réduits non commutatifs

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
G UY R ENAULT
Anneaux réduits non commutatifs
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 20, no 1 (1966-1967), exp. no 1,
p. 1-9
<http://www.numdam.org/item?id=SD_1966-1967__20_1_A1_0>
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1-01
Séminaire DUBREIL-PISOT
(Algèbre et Théorie des nombres)
20e année, 1966/67, n° 1
14 novembre 1966
ANNEAUX RÉDUITS NON COMMUTATIFS
Guy RENAULT
par
On dit
qu’un
anneau
(3~,
nuls. Dans
est réduit s’il
A
L. LESIEUR
a
posé
contient pas d’éléments
ne
problèmes
les deux
réduit,
est-ce
un anneau
primitif
PROBLEME 2. - Si
un anneau
premier est réduit, est-ce
[2]
C. FAITH et Y. UTUMI ont montré
d’un
anneau
réponse
que la
non
suivants :
PROBLEME 1. - Si
est
nilpotents
intègre ?
un anneau
un anneau
intègre ?
est affirmative dans le
cas
premier noethérien à gauche.
propriété est vraie dans le cas général, et nous nous
plus spécialement aux enveloppes injectives des anneaux ré-
Nous montrerons que cette
intéresserons ensuite
duits.
1.
Anneaux remiers intègres.
1. 1. - Soient
LEMME
xy =
gué
x
et
y
pour tout élément
0 ;
deux éléments
a E
A ,
yax
non
nuls d’un
est
un
anneau
tel e
~. ,
élément nilpotent.
En effet :
PROPOSITION 1.1. - Dans
est
un
un anneau
réduite l’annulateur à gauche
à
droite)
idéal bilatère.
Soit
x
un
élément de
ux=0
A.
Montrons que l’annulateur à gauche de
ux =
(resp.
0 ,
D’après
il faut
ce
prouver
qui précède,
que
~>
x
xu=0 . En effet :
est
un
idéal bilatère. Soit
uax = 0 .
on a
les
implications suivantes :
a e
A ;
si
THEOREME
qu’un
soit
premier
anneau
il f aut et il suffit
intègre,
u’ il
réduit.
soit
Si x
Ann(x)
de
si,
1.1. - Pour
est
est
élément
un
idéal
un
2. Anneaux à idéal
éléments
x
La
LEMME 2.1. -
Soit
Si
anneau
est
x
Ann(x)
que
proposition résultera
Ann(x) = 0 ,
et
intègre.
est
A
l’idéal,
est
soit essentiel dans
ensemble des
A.
réduit est à idéal singulier nul.
plus précis suivant :
du lemme
élément d’un
un
y
proposition 1..1~
la
on a
A , l’idéal singulier
un anneau
PROPOSITION 2.1. - Un
A y d’après
nul.
singulier
A, tel
de
réduit
anneau
cela entraîne
premier,
dans
Rappelons que,
et
bilatère,
est
A
plus,
nul dtun
non
et
y = ux
anneau
réduit
A ,
y.x = 0 ; d’après
on a 1
le lemme
1.1,
ce
qui entraîne
La
réciproque
de la
noethérien à gauche,
particulier,
en
(théorème 1.1~!
,
Par
un
on
sous-module
n
non
intègre,
n’est pas réduit
suivante.
Si
x
est un diviseur de
il existe
=
0 ;
nul
non
u
zéro dans un
appartenant à l’idéal
élément
non
il existe donc
b
nul de
E
A
A
anneau
premier A ,
il
Ax .
tel que
ux
=
0 .
A
étant
tel que
1
Sinon il existe
B
précision
donner la
en
est
nuls ,
non
effet, qu’un anneau
à idéal singulier nul ;
sait,
premier noethérien à gauche,
peut même
PROPRIETE 2.2. - Un
un
idéaux nilpotents
élément nilpotent
Ann(Ax)
,
2.1 est fausse. On
,
hypothèse,
premier,
sans
un anneau
PROPRIETE 2.1. existe
proposition
un
anneau
élément
commutatif, à idéal singulier nul
non
nul
complément dans A f il
Ann(x) = 0 ; en particulier, Bx =
de
x
A
tel que
existe donc
0
et
B C
un
x E
idéal
Ann(x) ,
Ann(x) ; Ann(x)
B
ce
est réduit.
non
qui
nul
est
est
avec
impossible.
3. Anneaux réduits noethériens à gauche.
LEMME3.1. - Si
est
x
un
élément d’un
réduit
anneau
A ,
alors
Ann(x) =Ann(Ax) 0
o
C’est
une
Rappelons
facile du lemme 1.1.
conséquence
([4])
dit associé à
est
~~~
que si
existe
M , s’il
un
un
l’annulateur de tout sous-module
élément
non
COROLLAIRE. - Les idéaux bilatères
sont
P
idéal bilatère premier
x ~ 0 ,
de
x
nul de
un
P
tel que
est
soit
Ax.
premiersy associés à
un anneau
réduit
A ,
complètement premiers.
Soit
P
un
tel
quel que soit
a
il existe
idéal 9
de tout sous-module
nul de
non
E A s
A-x .
A y
x ~ 0,
tel
D’après
le lemme
3.1y
x E
PROPOSITION 3e 2. ~ Dans
que P
soit l’annulateur
cela revient à dire que,
on a
avec
complètement premier,
est
(P
A-module,
en
effet :
un anneau
noethérien à gauche
A
réduit on
a :
n
où les
Pi
~
~
sont les idéaux
premiers associés à
complètement
"
A .
U
i=1.
Pi
est
l’ensemble des diviseurs de zéro.
La
(0)
première partie
et du corollaire
de la
proposition résulte
précédent ;
d’autre
part,
de la
décomposition noethérienne
le lemme ~.l prouve que les
sont les éléments maximaux de l’ensemble des annulateurs à
nuls
x
de
Pour
P. 1
des éléments
non
A.
PROPOSITION 3. 2. - Pour
essentiel.)
gauche
de
il faut et il
qu’un idéal
suffit u’il
qu’un idéal à gauche
I
soit
à
gauche d’un
anneau
contienne un élément
essentiel,
noethérien réduit soit
non
diviseur de zéro.
il faut et il suffit que
où les
sont les idéaux bilatères
premiers associés à
A . La
propriété
suivan-
te est classique :
Si
idéal
un
I
alors
les
car
en
est contenu dans
une
réunion finie d’idéaux bilatères
premiers,
est contenu dans l’un d’eux et
6’i
donc que
On
I
l
sont des sous-modules
compléments
essentiel entraîne que
déduit très facilement que
théorie de A. W. GOLDIE
4. Applications
aux
LEMME 4.1. - Soit
se
I
A
maximaux. La
contient
admet
trouve donc très
un
élément
un anneau
simplifiée
proposition 3.1 montre
diviseur de zéro.
non
total de
dans
fractions ;
la
ce cas.
enveloppes injectives.
E
A-module
injectif, dont le sous-module singulier est
nul ; pour qu’il n’existe pas d’endomorphismes nilpotents non nuls de E , il faut
et il suffit que, pour tout endomorphisme f de E et tout sous-module injectif
un
on ait
Si
f
est
un
module
injectif
où
est
ce
F
un
qui montre
endomorphisme
de
E ,
on a
sous-module
non
nul de
E,
on
sait que
est
ker f
un sous-
donc
injectif
non
nul. Si
F >
f2
est alors
non
nul,
que la condition du lemme est suffisante.
Supposons maintenant qu’il existe un endomorphisme f de E et un sous-module
injectif E~ de E tels que
E~ . ker f n E est alors un sous-module
injectif différent de E~ . On appellera K un supplémentaire de ker f n
E dans
Il existe une décomposition de E
E~ ( K peut éventuellement être égal à
du type suivant :
f(E ~ ~
E ).
Si
p
désigne
K
et
la
projection canonique de
E
sur
K,
g = f
0
p
est telle que
Soit
projection canonique
la
q
et
me non nul,
Si
est
B
est
A
on a
h2
h
ker g ;
sur
=
q
o
est
g
endomorphis-
un
= 0 .
à idéal singulier nul,
un anneau
un anneau
E
de
régulier injectif [l] ;
on
sait que
allons
nous
enveloppe injective
son
appliquer
le lemme à cette si-
tuation.
A
THEOREME 4.1. - Soit
les conditions suivantes sont
réduit ;
un anneau
équiva-
lentes :
(i) L’enveloppe injective B de A est un anneau réduite
(ii) Les sous-modules compléments dans A sont des idéaux bilatères,
(iii) Si x et y sont deux éléments non nuls de A ,
(0)
AxnAy=
D’après
B
jective
(i)
la
proposition 2.1~ l’idéal singulier de
de A est un anneau régulier injectif.
(ii) . - D’après
==>
xy=yx=0 .
=>
et
nul,
les sous-modules
4.1y
le lemme
est
A
(ii)
===>
~Yx E A
avec
(i) . - (0) .
LEMME4.2. - Soit
X
Soit
Nous
A
est
xe
B
aurons
A ~ X E. n A
en particulier, par
J
est
de
J
contenue dans
un
B,
sous-module
x2
tel que
=0 ;
si
x
jx , élément
triction à
sur
E(J) ,
élément de
un
de
J ~
E(j)
car
se
d’un
A
est
A, et
03B1 ~ A
on a i
x
A ; l’homomorphisme g, qui à j
prolonge en un endomorphisme f de
f’
endomorphisme
un anneau
de
B ,
f’ - g
de
E
A .
J
fait
correspondre
E(J) qui
est nulle
à idéal singulier nul, par suite
est la
res-
J y
donc
sur
f = g
et
.
Revenons à notre démonstration :
qui est impossible.
il existe
d’enveloppe in j ective B ;
désigne une enveloppe injective
E(J)
si
E(J~ .
me 4. 2,
x f 0 ,
à idéal singulier nul,
pour tout élément
Soit
=
besoin du résultat suivant :
un anneau
idéal bilatère de
si
un
in-
sont
B
de
injectifs
complément dans
où
E est un sous-module injectif de B j~4]~ qui est stable,
multiplication à droite par les éléments de A : si a e A ,
des idéaux bilatères. Si
l’enveloppe
bx
avec
Bx
be
est
un
B , d’où
A-module
(~x~2 _
injectif ; d’après
0
avec
~xx E A -
le lem-
0
ce
(il) ====> (üï~. - Soient
X
si
en
est
un
de
A !
Remarque. xe = ex
de
Si
si
X
est
est
complément
un
un
n Ay =
(0) ;
on a :
relatif d’un sous-module
non
nul
Y
idéal bilatère.
un anneau
E
x
on en
exe ;
=
Ax,
Ax
avec
réduit,
est
A
effet,y
en
Si
Ann(Y)
X =
finalement,
centre ;
est
A
comme
contenant
Ay
A
0 .
(ii) . -
==>
deux éléments de
y
relatif de
complément
particulier,
(iii)
et
x
A ,
réduit,
les
idempotents
de
A
(1 - e)xe , ex(l -
les éléments
déduit facilement que si
A
est
appartiennent au
e) sont nuls, et
alors tout idéal
régulier,
est bilatère.
A
THEOREME 4.2. -
Si
et
x
A
Soit
réduit vérifiant la condition suivante :
un anneau
sont deux éléments de
y
A,
la relation
Ax
n
A
en
Ay
=
(0)
entraîne
xy == 0 .
Si B
gauche,
est l’anneau
B
est
enveloppe injective de
également l’enveloppe injective de
LEMME 4.3. - Soit
B
un anneau
A
en
A-module à
tant que
tant que
A-module à droite.
régulier réduit, injectif à gauche,
alors
B
est
droite,
C
est,
injectif à droite.
Si
C
est
d’après
est
de
en
ex =
est donc
ce
un
un anneau
non
nul de
en
xe
tant que
A-module à
régulier réduit.
C . L’ensemble des éléments
B ,
contenant
B , e ~ Ann(x) , tel que
, et par suite, Bx n B ~ (U~ ô
B-module à gauche, et C = B .
xe E
C
B
cy
de
Ann(x) n
- ~©~ , on
B , tels que
B , il exisa vu
ci-
est extension essentielle
résultat à la situation décrite par les hypothèses du théorème 4.2:
anneau injectif à droite contenant
A ; si C est une.enveloppe inde
et
le résultat.
C
B
E
e
jective à droite
=
de
idéal essentiel à droite dans
tant que
Appliquons
B
un
idempotent
un
dessus que
B
4.1,
élément
un
x,
B ,
te donc
enveloppe injective
le théorème
Soit
xof E
une
B , d’où
A
contenue dans
B ,
C
est
un
A-module injectif à
gauche,
COROLLAIRE. - Si
réduit vérifie la condition suivante :
A
un anneau
Remarques.
B
1° Si
est
traîne pas que
extension essentielle d’un
un anneau
B
soit
réduit :
un anneau
d’enveloppe injective B,y d’après
B
faut et il suffit que
tions de
A.
soit
un
le
effet, si
théorème 4.1, pour
en
injective d’un
D’où,
cor s des fractions contient des éléments
B
que
cela n’en-
intègre
réduit, il
un anneau
soit
intègre n’admettant
anneau
nilpotents
non
pas de
nuls.
injectif à droiintègre non co-irré-
pas nécessairement
régulier injectif à gauche n’est
te comme le montre la propriété suivante : Soit
ductible d’enveloppe injective à gauche B ; si
de B - A , alors xA n A
(0) .
2° Un
est
A
A,
serait d’ailleurs le corps des frac-
ce
corps,
réduit
anneau
anneau
A
un anneau
x
est
un
élément
non
inversible
=
Si
ce
b
xa ,
=
est
qui
avec
Ax
a
E
A
un anneau
t ls que les idéaux
A ~
Ay =
n
et
A -~ ~ ~~ ,
impossible.
Soit
nuls de
b
(0)
entraîne
xy
=
réduit ;
Ax
et
si
Ay
x
sont
et
co-irréductibles,
duit
ce
xay
qui
,
est
a
=
E A ,
xbx ,
ay ~ 0 ,
avec
la relation
non
la relation
0 .
Supposons xy , donc yx,y non nuls. Ann(x) est un
mal, et Ax @ Ann(x) est un idéal essentiel dans A ;
Il existe
sont deux éléments
y
~.x
tel que
n
Ay
=
sous-module
maxi-
on a :
ay = bx + u ,
(0)
complément
où
u E
on en
dé-
entraine
impossible.
,
THEOREME 4.3. - Soit
recte de sous-modules
xy = yx = 0 .
A
un anneau
réduit extension essentielle d’une somme di-
co-irréductibles;
alors la relation
Ax
nAy=
(0 )
entraine
On supposera
et
x
non
y
est extension essentielle
nuls ; par hypothèse,
Ax
co-irréductibles,
est extension essentielle de
de
où les
Ae. 1
sont des modules
où les
Af.
sont des sous-modules
J
Y , d’après
E
y
le lemme
d’où
annule donc
COROLLAIRE. - Si
nie d’idéaux à
On
de
sait,
A
gauche,
plus,
co-irréductibles,
f :
4.4, l’application
tension maximale essentielle
xy
de
(car
X
(0) .
a X n Y =
on
nul),
est
A
donc l’ex-
X,
annule
~ uy
Si
f
et
Y
0 .
=
réduit n’ admettant pas de
un anneau
son
enveloppe injective
B
u
et
l’idéal singulier de
est
que
Ay
B
est
directe infi-
somme
produit fini
un
est l’anneau total des fractions de
de
corps.
(théorème
A
de
Goldie).
5. Anneaux réguliers réduits.
On
sait, d’après un théorème de Kaplansky, que si A est un anneau commutatif
régulier, tout A-module simple est injectif, cette propriété caractérise d’ailleurs
les anneaux commutatifs réguliers. Nous allons étendre ce résultat.
THEOREME 5.1. -
est
A
Si
un anneau
réduit
régulier,
tout
A-module
simple est
injectif.
Soient
A
un
idéal essentiel de
dans
ce
Or
est
qui est équivalent à
A n (P
est
un
f(x) ~0 ~
que
est
g
idéal maximal
un
g- f
sur
avec
A
A n(P
PROPOSITION 5.1. - Soit
~*2014~
est
un anneau
une
application
nulle de
non
Si
x
E
A
A ,
donc
X=~aB
de
f
(bilatère nécessairement).
sous-module maximal de
l’application
est nulle
et
A,
A
aB==e E A
et
et
dans
définie
+AX=Ay
et
(K.).
l
un
g
ker f
=
A
n
f . Soit
B
e
A
f(e) ~0 . Posons f(e) =x~ y
par g(y)
yx0 pour tout y ~
=
prolonge
si
A y
f .
ensemble de corps ; l’anneau
produit B=rjK.
~
20142014’20142014201420142014-2014201420142014201420142014201420142014~’~201420142014
régulier réduit injectif.
tel
1-09
Les idéaux
et tout
Ki
(0)
x
sont des
de modules
produit
B-modules
injectifs
est
un
simples
module
donc
injectifs
injectif.
(théorème 5.1~~
Remarque. - L’enveloppe injective d’un anneau régulier commutatif A est
A se plonge dans l’anneau
neau commutatif régulier injectif ; en effet,
un an-
p
~’
où
décrit les idéaux maximaux de
tive de
*
est
A
injectif ; l’enveloppe injec-
~
THEOREME 5.2. - Si
directe d’idéaux
A
est
un anneau
enveloppe injective est
B
est
un anneau
4.2)
ce
du lemme suivant :
de
A
qui est extension essentielle
tielle de
est
son
en
anneau
B
socle y est
un
effet
tères
(Pi)i~I ,
module
injectif
et
régulier,
produit de
intersection,
B se plonge
(théorème 5.1~,
est le socle de
extension essentielle d’une
son
me
LEMME 5.1. - Un
réduit,
co-irréductibles,
L’enveloppe injective
(0)
est
B .
sous-A-module de
un
A ,
B
et
B,
on en
sans
de
son
produit
de corps.
régulier injectif réduit (théorèsocle ; le résultat sera la conséquen-
réduit et injectif, qui est extension
essen-
corps.
éléments superflus, d’idéaux maximaux bila-
dans l’anneau.
ÎI
C =
extension essentielle de
déduit que
un
somme
C
B/Pi ,
son
qui est
socle
Et’
i~I
est extension essentielle de
B-
un
qui
~*
B,
et
C = B .
BIBLIOGRAPHIE
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1962,
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FAITH
(Carl)
Soc.,
[3]
[4]
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Pisot : Algèbre et Théorie des nombres, 19e
RENAULT
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