algebre fonctions - 2010-2016 /Maths Sciences Pro

ALGEBRE
FONCTIONS : GENERALITES.
NIVEAU BEP
OBJECTIFS : ETRE CAPABLE DE :
® Connaître la définition et les notions utilisées.
® Comprendre et utiliser la représentation graphique d’une fonction.
® Reconnaître le sens de variation d’une fonction.
PLAN DU COURS :
I-Définition - Notations.
1-Activité.
2-Définition.
II-Représentation graphique.
1-Activité.
2-Conclusion.
III-Sens de variation.
1-Activité.
2-Conclusion.
IV-Applications.
1-Application 1.
2-Application 2.
Exercices et problèmes d’application.
Correction des exercices et problèmes d’application.
MATHS-SCIENCES.
M. M’DALLAL.R.
1
I-Définition – Notations:
1-Activité :
Une société de transport pratique deux tarifs pour ses billets :
¸ Tarif « normal » : 0,12 € du kilomètre.
¸ Tarif « abonné » : Une carte au prix de 30,50 € plus 50 % du tarif normal au kilomètre.
a-
Compléter le tableau suivant :
Distance ( km )
0
200
500
1000
2000
3000
Prix du billet
Tarif « normal » ( € )
0
24
60
120
240
360
Prix du billet
Tarif « abonné » ( € )
30, 50
42, 50
60, 50
90, 50
150, 50
210, 50
b- Ecrire les définitions des fonctions :
¸
f (x) est le prix « normal », en €, du billet pour le trajet de x kilomètres :
f (x) = 0,12 x
¸
pour tout x de [ 0 ; 3 000 ].
g (x) est le prix « abonné », en €, du billet pour le trajet de x kilomètres :
g (x) = 0,06 x + 30, 50
pour tout x de [ 0 ; 3 000 ].
2-Définition :
¸
Une fonction numérique est une relation qui permet d’associer deux nombres réels.
¸
Soit A une partie de R. On appelle fonction numérique la relation qui permet à chaque nombre x de A d’associer
au plus un nombre y = f (x) de ¬.
¸
Une fonction f est définie par une expression algébrique f (x).
x est la variable ; f (x) est l’image.
3-Notation :
R
f:A
x
¸
y = f (x)
y s’appelle l’image de x par la fonction f.
4-Exemples de fonction :
x
3x – 5
x
2x2 – 3x
x
3x
2
II-Représentation graphique:
1-Activité :
¸
Soit la fonction f définie sur l’intervalle [ 0 ; 5 ] par : f (x) = 2x2 – 3
f (3) existe-t-il ?: oui ; pourquoi ? 3 appartient à l'intervalle [ 0 ; 5 ].
f (–3) existe-t-il ?: non ; pourquoi ? –3 n'appartient pas à l'intervalle [ 0 ; 5 ].
a-
calculer les nombres suivants :
f (0) = –3
f (2) = 5
f (3,5) = 21,5
f (1) = –1
f (2,5) = 9,5
f (5) = 47
b- Ecrire les coordonnées des points ( x ; f (x) ), correspondants :
A ( 0 ; –3 )
D ( 2,5 ; 9,5 )
c-
;
;
B ( 1; –1 )
E ( 3,5 ; 21,5 )
;
;
C(2;5)
F ( 5; 47 )
Placer les points A, B, C, D, E et F dans le repère ( O ;
†
y
r r
i ; j )
†
60
50
40
30
20
10
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
–10
–20
En joignant ces points par une ligne continue on obtient
On obtient une courbe: c'est la représentation graphique de la fonction f (x) = 2x2 – 3
sur l’intervalle : [ 0 ; 5 ]
cette courbe est un arc de parabole.
3
x
2-Conclusion :
¸
Pour visualiser le comportement d’une fonction numérique, on utilise un système d’axe.
¸
Dans un repère du plan, la courbe représentative Cf de la fonction f sur l’intervalle [ a ; b ] est l’ensemble des
points de coordonnées ( x ; f (x) ).
¸
On dit que y = f (x) est l’équation de la courbe représentative de f.
III-Sens de variation:
1-Activité :
Etudier le sens de variation de la fonction f représentée par la courbe Cf
y
4
3
2
1
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
¸
Compléter avec : croît – décroît – croissante – décroissante – constante.
a-
Sur [ –4 ; –2,5 ] lorsque x croît , f (x) croît ; la fonction f est croissante.
b- Sur [ –2,5 ; 0 ] lorsque x croît , f (x) décroît ; la fonction f est décroissante.
c-
Sur [ 0 ; 3,3 ] lorsque x croît , f (x) croît ; la fonction f est croissante.
d- Sur [ 3,3 ; 5 ] pour tout x, f (x) a la même valeur ; la fonction f est constante.
4
x
y
¸
Regrouper les informations de la question précédente dans le tableau suivant :
x
–4
–2,5
0
2
3,3
5
3,75
3,75
f (x)
–2
–2
2-Conclusion :
¸
Fonction croissante :
Si sur un intervalle [a ; b], x et f (x) varient dans le même sens ( quand x augmente, f (x) augmente ),
la fonction f est croissante sur cet intervalle.
¸
Fonction décroissante :
Si sur un intervalle [a ; b], x et f (x) varient en sens contraire ( quand x augmente, f (x) diminue ),
la fonction f est décroissante sur cet intervalle.
¸
Fonction constante :
Si f (x) conserve la même valeur pour toutes les valeurs de x d’un intervalle [a ; b],
la fonction f est constante sur cet intervalle.
IV-Applications:
1-Application 1 :
Ces cylindres ont tous la même hauteur h = 10 cm. Leur rayon augmente.
¸
Calculer leur volume et compléter le tableau en donnant les résultats à l’unité près par excès.
R = rayon cm
A = aire de la base cm2
A = p R2
V = volume cm
V = A¥ h
0
0,5
1
1,5
2
3
4
5
0
0,785
3,14
7,065
12,56
28,26
50,24
78,5
0
8
32
71
126
283
503
785
3
5
¸ Représentation graphique :
Unité graphique : * en abscisse : 1 cm représente un rayon de 1 cm.
* en ordonnée : 1 cm représente un volume de 100 cm3.
volume du cylindre
¸ A l’aide du graphique, donner le volume d’un
cylindre de rayon 1 ,25 cm et de hauteur 10 cm.
le volume d’un cylindre
de rayon 1,25 cm et de hauteur 10 cm est :
V = 49 cm3.
¸
Quel est le rayon d’un cylindre de volume 400 cm3
et de hauteur 10 cm ?
le rayon d’un cylindre
de volume 400 cm3 et de hauteur 10 cm est :
R = 3,57 cm.
¸
Que devient le volume quand le rayon double ?
Quand le rayon double, le volume est multiplié par 4.
V’ = p (2R)2 ¥h = 4 ¥ (p R2h) = 4 ¥ V.
Donc V’ = 4 ¥ V.
¸
rayon
Que devient le volume quand le rayon triple ?
Quand le rayon triple, le volume est multiplié par 9.
V’’ = p (3R)2 ¥ h = 9 ¥ (p R2h) = 9 ¥ V.
Donc V’’ = 9 ¥ V.
2-Application 2 :
Ces cylindres ont tous la même rayon R = 5 cm. Leur hauteur augmente.
¸
Calculer leur volume et compléter le tableau en donnant les résultats à l’unité près par excès.
6
h = hauteur cm
0
0,5
1
1,5
2
3
4
5
A = aire de la base cm2
A = p R2
78,5
78,5
78,5
78,5
78,5
78,5
78,5
78,5
0
40
78,5
118
157
236
314
393
V = volume cm3
V = A¥ h
¸ Représentation graphique :
Unité graphique : * en abscisse : 1 cm représente une hauteur de 1 cm.
* en ordonnée : 1 cm représente un volume de 50 cm3.
volume du cylindre
¸
A l’aide du graphique, donner le volume d’un
cylindre de hauteur 3,5 cm et de rayon 5 cm.
le volume d’un cylindre
de hauteur 3,5 cm et de rayon 5 cm est :
V = 275 cm3.
¸
Quel est la hauteur d’un cylindre de volume 200 cm3
et de rayon 5 cm ?
la hauteur d’un cylindre
de volume 200 cm3 et de rayon 5 cm est :
h = 2,55 cm.
¸
Que devient le volume quand la hauteur double ?
Quand la hauteur double, le volume est multiplié par 2.
V’ = pR2 ¥(2h) = 2 ¥ (p R2h) = 2 ¥ V.
Donc V’ = 2 ¥ V.
¸
hauteur
Que devient le volume quand la hauteur triple ?
Quand la hauteur triple, le volume est multiplié par 3.
V’’ = pR2 ¥ (3h) = 3 ¥ (p R2h) = 3 ¥ V.
Donc V’’ = 3 ¥ V.
7