Calcul algébrique réel Table des matières 1 Rudiments de logique

Mathématiques PTSI
Chap. 1 - Calcul algébrique réel -
Lycée Déodat de Séverac
Chapitre 1
Calcul algébrique réel
Table des matières
1 Rudiments de logique
1.1 Quantificateurs logiques et assertions .
1.2 Implications et équivalences . . . . . . .
1.3 Négation d’une assertion . . . . . . . . .
1.4 Deux techniques de raisonnement utiles
.
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1
1
2
3
4
2 Manipulations d’inégalités et techniques de factorisations
2.1 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Factorisation d’expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
3 Valeur absolue d’un nombre réel
3.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Éxemples de résolutions d’équations avec plusieurs valeurs absolues . . . . . . . . . . . . . .
8
8
10
10
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1 Rudiments de logique
Durée
1h30
:
1.1 Quantificateurs logiques et assertions
➩ Quantificateurs logiques :
On retiendra pour la suite les symboles suivants abondamment utilisés en mathématiques :
• ∀ se lit « pour tout » ;
• ∃ se lit « il existe » ;
• / se lit « tel que ».
EXEMPLES :
(1) « Le carré de tout réel est positif »s’écrit : ∀x ∈ R, x2 ≥ 0 ;
(2) « Il existe un réel tel que son inverse est négatif »s’écrit ∃x ∈ R, x1 ≥ 0.
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Attention à l’ordre de ces quantificateurs dans nos énoncés mathématiques. Par exemples :
• Considérons E l’ensemble des épreuves lors des derniers jeux olympiques et les deux assertions suivantes :
• « Pour toute épreuve y, il existe un athlète x tel que l’athlète x a remporté l’épreuve y » ;
• « Il existe un athlète x tel que pour toute épreuve y, l’athlète x a remporté l’épreuve y »

On comprend bien la nuance entre ces deux phrases : pour la première l’athlète qui remporte l’épreuve n’est pas le même selon l’épreuve alors que ce dernier ne change pas pour la
deuxième. Ce principe est encore vrai pour les assertions mathématiques, c’est à dire le sens
d’une assertion mathématique change lorsqu’on intervertit les symbôles mathématiques : ∀
et ∃.
• Les énoncés :
• « ∀x ∈ R, ∃n ∈ Z/n ≤ x » ;
• « ∃n ∈ Z/∀x ∈ R, n ≤ x »
sont différentes. La première est toujours vraie (il suffit de prendre n’importe quel entier
relatif plus petit que x) alors que la seconde est toujours fausse (cela impliquerait que tous
les nombres réels sont plus grands que n ! ! !).
➩ Assertions :
On peut toujours décider si un énoncé mathématique est vrai ou faux. Un énoncé mathématique est
également appelé assertion ou proposition.
EXEMPLES :
(1) P(x) : « x ≥ 2 »est une assertion. Elle est vraie si x = 3 (P(3) est vraie) et fausse si x = 1 (P(1) est
fausse) ;
(2) P : « 3 = 2 »est une assertion. Elle est toujours fausse ;
(3) Soit ∀x ∈ R : P (x) : ”x ≥ 3”. La proposition P (4) est VRAIE mais P (1) est fausse.
(4) Soit ∀x ∈ R : P (x) : ”x3 − 1 = 0”. La proposition P (1) est VRAIE mais P (0) est fausse.
(5) Plus généralement, une équation ou une inéquation est une proposition P (x) dépendant d’un réel x.
L’ensemble des solutions est l’ensemble des nombres x pour lesquels la propositionP (x) est vraie.
1.2 Implications et équivalences
DÉFINITION :
Soient A et B deux assertions.
1. On dit que A implique B, et on note : A ⇒ B, lorsque B est vraie quand A est vraie ;
2. On dit que A et B sont équivalentes, et on note A ⇔ B, lorsque A implique B et B
implique A.
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EXEMPLES :
(1) x = 1 ⇒ x2 = 1. En effet, si x = 1, alors x2 = 12 = 1.
(2) x + 3 = 4 ⇔ x = 1. En effet :
• Si x = 1, alors : x + 3 = 1 + 3 = 4. Ainsi : x = 1 ⇒ x + 3 = 4.
• Réciproquement, si x+3 = 4, alors : x+3−3 = 4−3, c’est à dire : x = 1. Ainsi, x+3 = 4 ⇒ x = 1.
A
B
z }| {
z }| {
2
REMARQUE : En revanche nous n’avons pas x = 1 ⇒ x = 1 puisque pour x = −1, A est vraie mais B est
fausse.
Exercice
: Soit a ≥ 0, b ∈ R. Montrer que
✿✿✿✿✿✿✿
√
a ≤ b ⇔ b ≥ 0et a = b2 .
REMARQUE : Soient A et B deux équations (ou inéquations).
1. Si A ⇒ B, l’ensemble des solutions de A est inclus dans l’ensemble des solutions de B ;
2. Si A ⇔ B, l’ensemble des solutions de A et l’ensemble des solutions de B sont égaux.
Exercice
: Compléter, lorsque cela est possible, les pointillés par ⇐, ⇒, ⇔ :
✿✿✿✿✿✿✿
(a) x2 = x . . . x = 1 ;
(b) x ≥ 1 . . . x ≥ 2 ;
(c) x < 1 . . . x = 1 ;
(d) x + 3 ≥ 4 . . . x ≥ 1 ;
Correction de l’exercice
(a) ⇐, (b) ⇐, (c) rien, (d) ⇔.
REMARQUE : Supposons que A ⇒ B soit vraie, avec A et B deux assertions. Alors,
1. on dit que A est une condition suffisante à B. Pour que B soit vraie, il suffit que A le soit.
2. on dit que B est une condition nécessaire à A. En effet, si B est fausse alors A l’est aussi.
1.3 Négation d’une assertion
DÉFINITION :
Si A est une assertion, on appelle négation de A et on note ¬A l’assertion qui est vraie quand
A est fausse et fausse quand A est vraie.
EXEMPLES :
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(1) Soit P la proposition "3 est solution de x + 1 = 5". La négation de cette proposition est "3 n’est pas
solution de x + 1 = 5". P est fausse, car 3 + 1 6= 5. Ce qui montre que sa négation est vraie.
(2) Soit P la proposition "Pour tout réel x, le nombre x2 −2x est positif". La négation de cette proposition
est "Il existe un réel x tel que le nombre x2 − 2x n’est pas positif." Encore une fois, la proposition P
est fausse puisque pour x = 0, 5, on a 0, 52 − 20, 5 = 0, 25 − 1 = −0, 75 < 0. Ainsi, pour montrer
que P est fausse on a montré que la négation était vraie !
Exercice
: Donner les négations des propositions suivantes. Sont-elles vraies ou fausses ?
✿✿✿✿✿✿✿
1. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, xy = 1.
2. ∀x ∈ R∗ , x2 ≥ 1.
1.4 Deux techniques de raisonnement utiles
➩ Raisonnement par analyse-synthèse :
EXEMPLE : Résolution de l’équation

√
x2 − 3x = 2 − x
Il faudra éviter de rédiger comme suit :
√
x2 − 3x = 2 − x ⇔ x2 − 3x = (2 − x)2
⇔ x2 − 3x = 4 − 4x + x2
⇔x=4
En effet, si l’on veut contrôler notre résultat, on constate que 4 n’est pas solution de l’équation :
√
x2 − 3x = 2 − x ! !
Le problème vient qu’en toute généralité a = b n’est pas équivalente à a2 = b2 . Nous
avons juste : a = b ⇒ a2 = b2 .
On pourra en revanche rédiger la résolution en suivant le raisonnement par ANALYSE SYNTHESE qui
consiste en deux phases :
• Analyse. On cherche les solutions par implications successives.
• Synthèse : on vérifie si ces nombres sont solutions.
Dans le cas de notre équation :
√
• Analyse. x2 − 3x = 2 − x ⇒ x2 − 3x = (2 − x)2 ⇒ x2 − 3x = 4 − 4x + x2 ⇒ x = 4.
• Synthèse : on vérifie si 4 est solution. Or ce n’est pas la cas.
CONCLUSION : S = ∅.
➩ Raisonnement par disjonction des cas :
Exercice
: Résoudre l’équation suivante : mx2 + 2x + 1 = 0, m ∈ R.
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Correction de l’exercice
Le discriminant ∆ = 4 − 4m = 4(1 − m). La suite de l’étude dépend du signe de ∆ qui varie selon
les valeurs du paramètre réel m. Le signe est donné par le diagramme :
1
m
|
+
0
−
∆
Ainsi, pour :
• m ∈] − ∞; 1[ ⇔ ∆ > 0, l’équation admet deux solutions réelles distinctes : x1 =
m √
m √
− − 1 − m , x2 = − + 1 − m . Alors S = {x1 ; x2 }.
2
2
• m = 1 ⇔ ∆ = 0, l’équation admet une solution double : x0 = −
√
−m−2 1−m
2
=
m
. Ainsi, S = {x0 }.
2
• m ∈]1; +∞[ ⇔ ∆ < 0, l’équation n’admet pas de solutions réelles. Alors S = ∅.
2 Manipulations d’inégalités et techniques de factorisations
2.1 Relation d’ordre
DÉFINITION :
L’ensemble R est muni d’une relation d’ordre ≤ qui vérifie donc les propriétés suivantes :
1. ≤ est transitive. Pour tous réels x, y, z tels que x ≤ y et y ≤ z alors x ≤ z.
2. ≤ est anti-symétrique. Pour tous réels x et y, si x ≤ y et y ≤ x alors x = y.
3. ≤ est reflexive. Pour tout réelx, x ≤ x.
De plus, cette relation est totale. C’est à dire, pour tous réels x et y alors soit x ≤ y soit y ≤ x.
Il est possible de comparer deux nombres réels, à l’aide de la relation ≤. On rappelle que :
➩ Si on multiplie (ou divise) les deux membres d’une inéquation par un nombre positif, l’inégalité est
inchangée ;
➩ Si on multiplie (ou divise) les deux membres d’une inéquation par un nombre négatif, l’inégalité est
renversée.
Propriété
Soient (a, b, x, y) quatre nombres réels.
1. On peut additionner deux inégalités : a ≤ x ; b ≤ y ⇒ a + b ≤ x + y
2. On peut multiplier des inégalités dont les membres sont tous positifs : 0 ≤ a ≤ x ; 0 ≤ b ≤ y ⇒
ab ≤ xy.
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√
2+x−2
√
.
Encadrement de :
2+x+2

Attention aux deux autres opérations. On ne peut pas soustraire deux inégalités ensembles.
Par exemple, si 2 ≤ x ≤ 3 et 1 ≤ y ≤ 2 alors, en soustrayant, nous aurions
1 ≤ x − y ≤ 1 ⇔ x − y = 1. Or le contre exemple suivant permet de montrer que cette
proposition est fausse : x = 2, 5 et y = 1 et x − y = 1, 5 6= 1.
x
. On commence par donner un encadrement de y1 , à
y
≤ 1. Puisque les membres sont tous positifs, on obtient 1 ≤ xy ≤ 3.
De même, donnons un encadrement de
savoir
1
2
≤
1
y
Exercice
: Montrer que
✿✿✿✿✿✿✿
1. ∀a ∈ R, ∀b ∈ R, ab ≤
2. ∀x ∈ R∗+ , x +
1
x
1
2
≥ 2.
a 2 + b2 .
2.2 Factorisation d’expressions
Factoriser une expression, c’est écrire cette dernière sous la forme d’un produit.
EXEMPLES :
(1) 2x − 6 = 2(x − 3) ;
(2) x2 − 1 = (x − 1)(x + 1).
Pour factoriser, on utilisera très souvent les deux techniques suivantes :
➩ les identités remarquables :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ;
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 ;
(a + b)(a − b) = a2 − b2 ;
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ;
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 ;
(a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3 ;
(a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3 .
EXEMPLES :
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(1) x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) ;
(2) x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1) ;
(3) x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4).
➩ la division euclidienne :
On appelle expression polynômiale (réelle) toute expression de la forme : a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn ,
où a0 , a1 , . . . , an sont des réels quelconques et n est un entier naturel quelconque.
EXEMPLES :
(1) x3 − 4x2 + 5x − 2 est une expression polynômiale ;
1
(2) x + n’est pas une expression polnômiale.
x
Propriété
Si un polynôme s’annule pour une valeur α, alors il est factorisable par x − α.
EXEMPLE :
Factorisation de l’expression : x3 − 4x2 + 5x − 2.
Correction de l’exercice
: x3 − 4x2 + 5x − 2 = (x − 1)2 (x − 2).
Exercice
: Résoudre l’inéquation x3 − 3x + 2 < 0.
✿✿✿✿✿✿✿
Correction de l’exercice
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• 1 est solution évidente de l’équation, on factorise donc par x − 1 à l’aide d’une division
euclidienne :
x3
−3x +2
x −1
3
2
2
x −x
x +x −2
2
x −3x +2
x2 −x
−2x +2
−2x +2
0 0
Ainsi, x3 − 3x + 2 = (x − 1)(x2 + x − 2).
• — x − 1 est une expression polynômiale de degré 1, on sait donc facilement étudier son
signe.
— Pour déterminer le signe du trinôme x2 + x − 2, on doit calculer son discriminant ∆ = 9.
Puisque ∆ > 0, l’équation précédente admet deux solutions distinctes : x1 = −2, x2 = 1.
Nous avons également besoin du coefficient dominant a = 1 > 0. On en déduit donc que
le trinôme est positif à l’extérieur des racines.
— Connaissant le signe de chaque terme du produit, on en déduit le signe du produit à
l’aide d’un tableau de signes :
x
−∞
−2 1
+∞
x−1
−
−0 +
x2 + x − 2
+
0 −0 +
(x − 1)(x2 + x − 2)
−
0 +0 +
— Ainsi, S =] − ∞; −2[.
3 Valeur absolue d’un nombre réel
Durée
1h30
:
3.1 Définition et premières propriétés
DÉFINITION :
Soit x ∈ R. On appelle valeur absolue de x, et on note |x|, le nombre tel que : |x| =
x si x ≥ 0
.
−x sinon
EXEMPLES :
(1) |3| = 3 ;
(2) | − 2| = 2 ;
(3) |x| = 1 ⇐ x = 1.
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5
4
3
2
1
0
-1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
F IGURE 1 – courbe représentative de la fonction valeur absolue
REMARQUE : Sur la droite réelle, si l’on note M le point d’abscisse x et A le point d’abscisse A, alors |x − a|
mesure la distance de A à M : |x − a| = AM .
Propriété
∀(x; y) ∈ R2 ,
1. |x| = | − x| ;
y |y|
, (y 6= 0) ;
2. |xy| = |x||y| et =
x
|x|
3. |x| = 0 ⇔ x = 0. Plus généralement : |x| = m ⇔ x = m ou x = −m si m ≥ 0.
4. Pour m ∈ R+ , |x| ≤ m ⇔ −m ≤ x ≤ m.
REMARQUE : ∀a ∈ R,

√
a2 = |a|.
|a + b| =
6 |a| + |b| en toute généralité. Par exemple : |1 − 1| 6= |1| + | − 1|.
| {z } | {z }
=0
=2
Exercice
: Résoudre les équations ou inéquations suivantes :
✿✿✿✿✿✿✿
(a) |x + 1| = 3 ;
(b) |x − 1| ≤ 3.
Correction de l’exercice
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(a) |x + 1| = 3 ⇔ x + 1 = 3 ou x + 1 = −3
⇔ x = 2 ou x = −4.
Ainsi, S = {2; −4} .
(b) |x + 1| ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x + 1 ≤ 3
⇔ −4 ≤ x ≤ 2.
Ainsi : S = [−4; 2].
3.2 Inégalité triangulaire
Propriété (Inégalité triangulaire)
∀x ∈ R, ∀y ∈ R,
|x + y| ≤ |x| + |y|
. De plus, |x + y| = |x| + |y| si et seulement si x et y sont de même signe.
||x| − |y|| ≤ |x − y|
3.3 Éxemples de résolutions d’équations avec plusieurs valeurs absolues
➩ Un premier exemple :
Propriété
Deux nombres ont leurs valeurs absolues égales si et seulement si ils sont égaux ou opposés. Soient
a ∈ R et b ∈ R. Alors
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
EXEMPLE : |x + 1| = |2x + 1| ⇔ x + 1 = 2x + 1 ou x + 1 = −2x − 1
2
Ainsi, S = 0; −
.
3
⇔ x = 0 ou 3x = −2.
➩ Un deuxième exemple :
Dans certaines situations plus délicates, on peut s’aider d’un tableau de signes, ce qui nous permet de
faire apparaitre plus facilement tous les différents cas afin d’enlever les valeurs absolues.
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EXEMPLE : Résolution de 2|x| + 3|x − 30| = 65.
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