Calcul algébrique réel Table des matières 1 Rudiments de logique

Mathématiques PTSI Chap. 1 - Calcul algébrique réel - Lycée Déodat de Séverac
Calcul algébrique réel
Chapitre 1
Table des matières
1 Rudiments de logique 1
1.1 Quantificateurs logiques et assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Implications et équivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Négation d’une assertion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Deux techniques de raisonnement utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Manipulations d’inégalités et techniques de factorisations 5
2.1 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Factorisation d’expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Valeur absolue d’un nombre réel 8
3.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Éxemples de résolutions d’équations avec plusieurs valeurs absolues . . . . . . . . . . . . . . 10
1 Rudiments de logique
Durée :
1h30
1.1 Quantificateurs logiques et assertions
➩Quantificateurs logiques :
On retiendra pour la suite les symboles suivants abondamment utilisés en mathématiques :
• ∀ se lit « pour tout » ;
• ∃ se lit « il existe » ;
•/se lit « tel que ».
EXEMPLES :
(1) « Le carré de tout réel est positif »s’écrit : ∀x∈R, x2≥0;
(2) « Il existe un réel tel que son inverse est négatif »s’écrit ∃x∈R,1
x≥0.
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Attention à l’ordre de ces quantificateurs dans nos énoncés mathématiques. Par exemples :
•Considérons El’ensemble des épreuves lors des derniers jeux olympiques et les deux asser-
tions suivantes :
•« Pour toute épreuve y, il existe un athlète xtel que l’athlète xa remporté l’épreuve y» ;
•« Il existe un athlète xtel que pour toute épreuve y, l’athlète xa remporté l’épreuve y»
On comprend bien la nuance entre ces deux phrases : pour la première l’athlète qui rem-
porte l’épreuve n’est pas le même selon l’épreuve alors que ce dernier ne change pas pour la
deuxième. Ce principe est encore vrai pour les assertions mathématiques, c’est à dire le sens
d’une assertion mathématique change lorsqu’on intervertit les symbôles mathématiques : ∀
et ∃.
•Les énoncés :
•«∀x∈R,∃n∈Z/n ≤x» ;
•«∃n∈Z/∀x∈R, n ≤x»
sont différentes. La première est toujours vraie (il suffit de prendre n’importe quel entier
relatif plus petit que x) alors que la seconde est toujours fausse (cela impliquerait que tous
les nombres réels sont plus grands que n! ! !).
➩Assertions :
On peut toujours décider si un énoncé mathématique est vrai ou faux. Un énoncé mathématique est
également appelé assertion ou proposition.
EXEMPLES :
(1) P(x) : « x≥2»est une assertion. Elle est vraie si x= 3 (P(3) est vraie) et fausse si x= 1 (P(1) est
fausse) ;
(2) P: « 3 = 2 »est une assertion. Elle est toujours fausse ;
(3) Soit ∀x∈R:P(x) : ”x≥3”.La proposition P(4) est VRAIE mais P(1) est fausse.
(4) Soit ∀x∈R:P(x) : ”x3−1 = 0”.La proposition P(1) est VRAIE mais P(0) est fausse.
(5) Plus généralement, une équation ou une inéquation est une proposition P(x)dépendant d’un réel x.
L’ensemble des solutions est l’ensemble des nombres xpour lesquels la propositionP(x)est vraie.
1.2 Implications et équivalences
DÉFINITION :
Soient Aet Bdeux assertions.
1. On dit que Aimplique B, et on note : A⇒B, lorsque Best vraie quand Aest vraie ;
2. On dit que Aet Bsont équivalentes, et on note A⇔B, lorsque Aimplique Bet B
implique A.
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EXEMPLES :
(1) x= 1 ⇒x2= 1. En effet, si x= 1, alors x2= 12= 1.
(2) x+ 3 = 4 ⇔x= 1. En effet :
•Si x= 1, alors : x+ 3 = 1 + 3 = 4. Ainsi : x= 1 ⇒x+ 3 = 4.
•Réciproquement, si x+3 = 4, alors : x+3−3 = 4−3, c’est à dire : x= 1. Ainsi, x+3 = 4 ⇒x= 1.
REMARQUE : En revanche nous n’avons pas
A
z}| {
x2= 1 ⇒
B
z}|{
x= 1 puisque pour x=−1,Aest vraie mais Best
fausse.
✿✿✿✿✿✿✿
Exercice : Soit a≥0, b ∈R.Montrer que √a≤b⇔b≥0et a=b2.
REMARQUE : Soient Aet Bdeux équations (ou inéquations).
1. Si A⇒B, l’ensemble des solutions de Aest inclus dans l’ensemble des solutions de B;
2. Si A⇔B, l’ensemble des solutions de Aet l’ensemble des solutions de Bsont égaux.
✿✿✿✿✿✿✿
Exercice : Compléter, lorsque cela est possible, les pointillés par ⇐,⇒,⇔:
(a) x2=x...x= 1 ;
(b) x≥1...x≥2;
(c) x < 1...x= 1 ;
(d) x+ 3 ≥4...x≥1;
Correction de l’exercice
(a) ⇐, (b) ⇐, (c) rien, (d) ⇔.
REMARQUE : Supposons que A⇒Bsoit vraie, avec Aet Bdeux assertions. Alors,
1. on dit que Aest une condition suffisante à B. Pour que Bsoit vraie, il suffit que Ale soit.
2. on dit que Best une condition nécessaire à A. En effet, si Best fausse alors Al’est aussi.
1.3 Négation d’une assertion
DÉFINITION :
Si Aest une assertion, on appelle négation de Aet on note ¬Al’assertion qui est vraie quand
Aest fausse et fausse quand Aest vraie.
EXEMPLES :
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(1) Soit Pla proposition "3est solution de x+ 1 = 5". La négation de cette proposition est "3n’est pas
solution de x+ 1 = 5". Pest fausse, car 3 + 1 6= 5. Ce qui montre que sa négation est vraie.
(2) Soit Pla proposition "Pour tout réel x, le nombre x2−2xest positif". La négation de cette proposition
est "Il existe un réel xtel que le nombre x2−2xn’est pas positif." Encore une fois, la proposition P
est fausse puisque pour x= 0,5, on a 0,52−20,5 = 0,25 −1 = −0,75 <0.Ainsi, pour montrer
que Pest fausse on a montré que la négation était vraie !
✿✿✿✿✿✿✿
Exercice : Donner les négations des propositions suivantes. Sont-elles vraies ou fausses ?
1. ∀x∈R,∃y∈R, xy = 1.
2. ∀x∈R∗, x2≥1.
1.4 Deux techniques de raisonnement utiles
➩Raisonnement par analyse-synthèse :
EXEMPLE : Résolution de l’équation √x2−3x= 2 −x
Il faudra éviter de rédiger comme suit :
√x2−3x= 2 −x⇔x2−3x= (2 −x)2
⇔
x2−3x= 4 −4x+
x2
⇔x= 4
En effet, si l’on veut contrôler notre résultat, on constate que 4n’est pas solution de l’équation :
√x2−3x= 2 −x! !
Le problème vient qu’en toute généralité a=bn’est pas équivalente à a2=b2. Nous
avons juste : a=b⇒a2=b2.
On pourra en revanche rédiger la résolution en suivant le raisonnement par ANALYSE SYNTHESE qui
consiste en deux phases :
•Analyse. On cherche les solutions par implications successives.
•Synthèse : on vérifie si ces nombres sont solutions.
Dans le cas de notre équation :
•Analyse. √x2−3x= 2 −x⇒x2−3x= (2 −x)2⇒
x2−3x= 4 −4x+ x2⇒x= 4.
•Synthèse : on vérifie si 4est solution. Or ce n’est pas la cas.
CONCLUSION : S=∅.
➩Raisonnement par disjonction des cas :
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Exercice : Résoudre l’équation suivante : mx2+ 2x+ 1 = 0,m∈R.
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Correction de l’exercice
Le discriminant ∆ = 4 −4m= 4(1 −m). La suite de l’étude dépend du signe de ∆qui varie selon
les valeurs du paramètre réel m. Le signe est donné par le diagramme :
|
m
∆
1
0
+−
Ainsi, pour :
•m∈]− ∞; 1[ ⇔∆>0, l’équation admet deux solutions réelles distinctes : x1=−m−2√1−m
2=
−m
2−√1−m,x2=−m 2+√1−m. Alors S={x1;x2}.
•m= 1 ⇔∆ = 0, l’équation admet une solution double : x0=−m
2.Ainsi, S={x0}.
•m∈]1; +∞[⇔∆<0, l’équation n’admet pas de solutions réelles. Alors S=∅.
2 Manipulations d’inégalités et techniques de factorisations
2.1 Relation d’ordre
DÉFINITION :
L’ensemble Rest muni d’une relation d’ordre ≤qui vérifie donc les propriétés suivantes :
1. ≤est transitive. Pour tous réels x, y, z tels que x≤yet y≤zalors x≤z.
2. ≤est anti-symétrique. Pour tous réels xet y, si x≤yet y≤xalors x=y.
3. ≤est reflexive. Pour tout réelx,x≤x.
De plus, cette relation est totale. C’est à dire, pour tous réels xet yalors soit x≤ysoit y≤x.
Il est possible de comparer deux nombres réels, à l’aide de la relation ≤. On rappelle que :
➩Si on multiplie (ou divise) les deux membres d’une inéquation par un nombre positif, l’inégalité est
inchangée ;
➩Si on multiplie (ou divise) les deux membres d’une inéquation par un nombre négatif, l’inégalité est
renversée.
Propriété
Soient (a, b, x, y)quatre nombres réels.
1. On peut additionner deux inégalités : a≤x;b≤y⇒a+b≤x+y
2. On peut multiplier des inégalités dont les membres sont tous positifs : 0≤a≤x; 0 ≤b≤y⇒
ab ≤xy.
EXEMPLE :
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