notes de cours - IMJ-PRG

David Aubin 31 janvier 2013
UPMC - LM300 - Cours 2 1
Cours 2 - 16/9/2016 D. AUBIN - 3H011 1
Les mathématiques
grecques :
Euclide et au delà
da[email protected]
Alexandrie entre le 1er siècle av. J.-C. et
le 1er siècle ap. J.-C.
Remarquez le Musée et la Bibliothèque au centre du plan.
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Alexandrie vers 300 av. J.-C.
• Fondée par Alexandre vers –331.
• Capitale de l’Egypte sous Ptolémée, après la mort d’Alexandre
en –323.
• Ville grecque en Egypte
– «!Tout ce qui peut exister ou se produire sur terre, on le trouve en Egypte: fortune, sport, pouvoir,
ciel bleu, gloire, spectacles, philosophes, or fin, jolis garçons, temples des Dieux adelphes, le roi qui est
si bon, Musée, vin, toutes les bonnes choses dont on peut avoir envie, et des femmes, tant de
femmes!» (Hérondas, Mime 1, 26 sq. [3e s. av. J.-C.])
• Le Musée et la bibliothèque.
– Situé en dehors, mais proche de la ville. Salle ouverte garnie de sièges; déambulatoires; une salle à
manger et dépendances. Le directeur du Musée était un grand prêtre desservant les Muses ou
Sérapis.
– Athénée (né vers 170 ap. J.-C.): «!Dans l’Egypte populeuse, on engraisse des scribes, grands amateurs
de grimoires, qui se livrent à des querelles interminables dans les volières des Muses!».
• Euclide, Les Eléments (vers –300): un des plus anciens traités
de maths qui nous soit parvenu: d’où vient-il?
Sommaire
• Retour en arrière: Origine des mathématiques
grecques
• Mathématiques chez les présocratiques
– Thalès de Milet: les premiers théorèmes
– Les pythagoricien et les arts libéraux
– Les Éléates: éviter l’infini
• Athènes et les mathématiques platoniciennes
• L’école d’Alexandrie
– Euclide
– Les Éléments.
• Ce qui n’est pas dans Euclide.
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Origine des
mathématiques grecques
• Une construction idéologique
– Mathématiques pratiques chez les Barbares.
– Liées à la naissance de la «!philosophie!» chez les Grecs.
– Désintéressement; déduction; démonstration, etc.
• Une pratique de lélite
– Peu dévidence dune pratique de type «!euclidien!»
avant le 5e siècle av. J.-C. à Athènes.
– Un très petit nombre de citoyens parfois très fortunés
(sans doute moins de 1000 pour toute lAntiquité!).
– Une pratique écrite (correspondance) qui sappuie sur des diagrammes.
– Reconnaissance dune utilité pratique (dont on se méfie parfois).
– Filiation philosophique revendiquée; une rhétorique de la conviction.
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Les mathématiques et la
philosophie
• Les lieux: Trois écoles (plus une):
– École de Milet
– École de Crotone
– (l’École d’Élée).
– École d’Athènes.
• Les dates
– D’où nous viennent-
elles? Que faut-il en
penser?
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L’école de Milet
• Thalès (v. –625 à v. –547)
– Éclipse de Soleil de mai 585
• La guerre entre les Mèdes et le Lydiens:
«!s'étant livré bataille, le jour se changea tout à coup en
nuit, pendant que les deux armées en étaient aux mains.
Thalès de Milet avait prédit aux Ioniens ce changement,
et il en avait fixé le temps en l'année où il s'opéra. Les
Lydiens et les Mèdes, voyant que la nuit avait pris la
place du jour, cessèrent le combat, et n'en furent que plus
empressés à faire la paix!» (Hérodote, Histoire).
– Un homme politique, ingénieur : aurait fait
détourner un fleuve (toujours selon Hérodote).
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L’école de Milet
• Thalès (v. –625 à v. –547)
– Voyage en Egypte: la hauteur d’une pyramide.
• «! Ainsi, vous, Thalès, le roi d'Egypte vous admire
beaucoup, et […] il a été […]!ravi de la manière dont
vous avez mesuré la pyramide sans le moindre embarras
et sans avoir eu besoin d'aucun instrument. Après avoir
dressé votre bâton à l'extrémité de l'ombre que projetait
la pyramide, vous construisîtes deux triangles par la
tangence d'un rayon, et vous démontrâtes qu'il y avait la
même proportion entre la hauteur du bâton et la hauteur
de la pyramide qu'entre la longueur des deux ombres.!»
(Plutarque, Le Banquet des sept sages).
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L’école de Milet
• Thalès (v. –625 à v. –547)
– 4 théorèmes de géométrie
(selon Proclus, Commentaires
sur le premier livre d’Euclide):
• Un cercle est bissecté par tout
diamètre.
• Les angles sur la base d’un triangle
isocèle sont égaux.
• Les angles entre deux droite qui se
coupent sont égaux.
• Deux triangles sont semblables s’ils
deux angles et un côté égaux.
– Selon Diogène Laërce:
• Un angle dans un demi cercle est
droit.
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L’école de Milet
• Thalès (v. –625 à v. –547)
– «!Thalès, le fondateur
de cette manière de
philosopher, prend l'eau
pour principe!»
(Aristote, Métaphysique)
• Anaximandre
(v. –610 à v. –545)
– Astronomie:
la sphère, le gnomon.
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• Le polos: un des premiers
instruments d’observation
astronomique
http://www.cairn.info/zen.php?ID_ARTICLE=DHA_342_0065
L’école de Crotone
• Pythagore (v. –560 à v. –480).
– Chef politique, chamane, mais pas un mathématicien…
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Détail de l’Ecole d’Athène de
Raphaël Manuscrit médiéval
Les pythagoriciens
• Les nombres comme base de la philosophie.
• Les rapports harmonieux.
• La quadrivium: arithmétique, géométrie,
astronomie, musique. Une légende?
• Somme des angles d’un triangle.
• «!Théorème de Pythagore.!»
• L’irrationnel.
• Les 5 solides réguliers.
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L’école d’Elée
• Parménide
(v. –544 à v. –450)
• Zénon
(v. –490 à –425).
• Monisme.
– Tout est un.
– Négation du non-être.
– Négation du mouvement.
• Les paradoxes.
– Chez Aristote,
La Physique, IV.
– La dichotomie
– L’Achille (page suivante).
– La flèche
– Le stade.
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Éviter l’infini?
Paradoxe d’Achille (et la tortue),
selon Aristote, Physique:
« le plus lent à la course ne sera
jamais rattrapé par le plus rapide;
car celui qui poursuit doit toujours
commencer par atteindre le point
d’où est parti le fuyard, de sorte
que le plus lent a toujours quelque
avance. »
« le raisonnement de Zénon suppose à tort que les infinis ne peuvent être
parcourus ou touchés chacun successivement en un temps fini. En effet la
longueur et le temps, et en général tout continu, sont dits infinis en deux
acceptions, soit en division, soit aux extrémités. »
«!il semble également impossible que l'infini soit et ne soit
pas, il faut évidemment en conclure qu'en un sens l'infini
existe et qu'en un sens il n'existe point.!»
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Infini actuel et potentiel
Aristote, Métaphysique, livre 9, chap. 6 :
« on ne dit pas de l'infini qu'il est en puissance parce qu'il pourrait
avoir effectivement une existence séparée et individuelle, mais
seulement parce qu'il peut être conçu comme tel par la pensée. En
effet, c'est parce que la division de l'infini ne peut jamais s'arrêter
qu'on admet qu'un acte de ce genre est en puissance; mais ce n'est
pas parce qu'il est séparé réellement!»
Aristote, Physique
1. « nul continu n’est sans partie. »
2. « L’infini se trouve donc être le contraire de ce qu’on dit: en effet, non
pas ce en dehors de quoi il n’y a rien, mais ce en dehors de quoi il y a
toujours quelque chose, voilà l’infini. »
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A Athènes
• Anaxagore (–499 à –428)
– La philosophie à Athènes.
– Explication des éclipses
– Quadrature du cercle.
• Socrate (–470 à –399).
– «!Connais-toi toi-même!»
• Platon (–427 à –347).
– Le Timée.
– L’Académie.
– Aγεωμέτρητος+μηδεὶς+εἰσίτω
«!Que nul n’entre ici
s’il n’est géomètre ».!
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Hippocrate de Chios
• Mathématicien et
astronome.
• À Athènes vers – 430.
• Selon Proclus, il aurait
le premier écrit des
Éléments.
• D’Eudème (via
Simplicius): le
problème des lunules.
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Théorème:
L’aire des deux lunules
hachurées prises ensembles
est égale à l’aire du triangle
rectangle ABC.
Platon (vers 428–348 av. J.-C.)
« Platon pose alors ce problème
aux mathématiciens: Quels sont
les mouvements circulaires
uniformes et parfaitement
réguliers qu’il convient de prendre
pour hypothèses, afin que l’on
puisse sauver les apparences
que les astres errants
présentent? »
-- Simplicius, Commentaire à la
Physique d’Aristote.
• Le Timée
– origine de l’univers, de
l’homme et de la société
– explication scientifique:
une méthode,
un outil
• Notion de
«!paradigme!»
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La sphère dans le Timée
• Le Cercle:
«!Quant à sa figure, il lui a donné celle qui lui convient le mieux
et qui a de l’affinité avec lui. Or, au Vivant qui doit envelopper en
lui-même tous les vivants, la figure qui convient est celle qui
comprend en elle-même toutes les figures possibles. C’est
pourquoi le Dieu a tourné le Monde en forme sphérique et
circulaire, les distances étant partout égales, depuis le centre
jusqu’aux extrémités. C’est là de toutes les figures la plus
parfaite et la plus complètement semblable à elle-même. En
effet, le Dieu pensait que le semblable est mille fois plus beau
que le dissemblable (…).
«!Je veux dire, afin que le Monde fût aussi semblable que
possible au Vivant parfait et intelligible et pour imiter la
substance éternelle.!»
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Les «!triangles!» dans le Timée
«!Tout animal nouvellement formé, ayant encore des triangles neufs
et de l’espèce primitive qui sert comme de base aux autres, retient
tous ces éléments dans une union puissante!; toute sa masse est
tendre, étant récemment sortie de la moelle et nourrie de lait.
Quand il s’assimile les triangles qui lui viennent du dehors, ceux
dont ses aliments et ses breuvages se composent!; comme ces
triangles sont plus vieux et plus faibles que les siens propres, il
l’emporte sur eux, les dissout au moyen de ses triangles neufs, et
l’animal grandit en se nourrissant de beaucoup d’éléments
semblables aux siens. Mais quand les triangles primitifs perdent leur
force à cause des luttes nombreuses qu’ils ont soutenues longtemps
contre beaucoup d’autres triangles,!ils ne peuvent plus diviser et
transformer à leur image les triangles que la nourriture contient!:
au!contraire, ils sont facilement dissous par ceux qui viennent du
dehors!; alors tout l’animal cède, il dépérit, et cet état s’appelle la
vieillesse.!»
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Certains des élèves de Platon
sont mathématiciens
• Théétète (vers –417 à –369).
– Un dialogue de Platon: théorie de la science.
– Théorie des irrationnels.
• Eudoxe (vers –408 à –355).
– Sphères concentriques en cosmologie.
– Théorie des proportions.
– Méthode d’exhaustion.
• Aristote (vers –384 à 322).
• Plusieurs Éléments publiés, perdus.
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Rappel :
Euclide, Les Eléments (1)
• Compilation d’anciens résultats dont peut-être aucun n’est
original. L’organisation, elle, l’est sans aucun doute.
≠ l’ensemble des connaissance de l’époque!
• Les 13 «!livres!» des Eléments.
– I à VI: les «!livres plans!» = géométrie plane
• sf Livre V: les rapports et proportions.
– VII à IX: les «!nombres!»
• définitions regroupées au début du livre VII.
– X: le plus long et le plus difficile sur l’in/commensurabilité.
• les irrationnels de Theaetatus, la théorie des proportions d’Eudoxe.
– XI à XIII: livres «!sur les solides!».
• définitions au début du livre XI.
• les cinq solides platoniciens (cf. Le Timée)
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Euclide, Les Eléments (2)
• Les premiers livres: la géométrie plane.
• une figure n’a que trois caractéristiques
(cf. les Données)
– position: le fait qu’elle occupe un lieu.
– forme : triangles, carrés, cercles
! d’où l’importance des relations de similitude.
– taille (ou grandeur).
• ≠ poids, couleur, dureté, mouvement, etc.
Les propositions du livre I
des Eléments d’Euclide
Arrangée dans un ordre logique, selon
Charles Dodgson [Lewis Carroll]
1883.
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Euclide, Les Eléments (3)
• La géométrie plane: du plus simple au plus complexe.
– Livre I et II: triangles et parallélogrammes.
– Livres III et IV:
cercles et polygones réguliers inscrits dans un cercle.
• Les principales «!opérations!» géométriques.
– la «!règle!» et le «!compas!»
– dichotomie d’une droite, d’un angle, élévation d’une
perpendiculaire, construction d’une parallèle, etc.
• Les «!grandeurs!»: 1° des rapports d’égalité.
– Géométrie plane sans proportion.
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Euclide, Les Eléments (4)
• Structure de l’exposé mathématique euclidien
= un principe d’économie
– réduction des éléments considérés
– réduction des demandes et des théories utilisées.
• Ex: les 28 premières prop. du livre I évite le recours au
postulat des parallèles.
– exhaustivité et progression.
– un seul critère: la logique.
≠ indications doxographiques ou historiques.
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Euclide, Les Eléments (5)
• Vu en td:
• Structure de l’exposé mathématique euclidien
• Les cas d’égalité des triangles
• Exemple de théorème classique!: «!Pythagore!»
• Théorie des parallèles
• Constructions à la règle et au compas
• Notion de nombre et rapports de grandeurs
• Figures semblables
• «!Aires!» et «!volumes!»!: la méthode d’exhaustion
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Euclide: Définitions
• Livre I:
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Euclide: les demandes
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Euclide: les notions
communes