notes de cours - IMJ-PRG

David Aubin
31 janvier 2013
Les mathématiques
grecques :
Euclide et au delà
[email protected]
Alexandrie entre le 1er siècle av. J.-C. et
le 1er siècle ap. J.-C.
Remarquez le Musée et la Bibliothèque au centre du plan.
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Alexandrie vers 300 av. J.-C.
•  Fondée par Alexandre vers –331.
•  Capitale de l’Egypte sous Ptolémée, après la mort d’Alexandre
en –323.
•  Ville grecque en Egypte
–  « Tout ce qui peut exister ou se produire sur terre, on le trouve en Egypte: fortune, sport, pouvoir,
ciel bleu, gloire, spectacles, philosophes, or fin, jolis garçons, temples des Dieux adelphes, le roi qui est
si bon, Musée, vin, toutes les bonnes choses dont on peut avoir envie, et des femmes, tant de
femmes » (Hérondas, Mime 1, 26 sq. [3e s. av. J.-C.])
•  Le Musée et la bibliothèque.
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•  Les lieux: Trois écoles (plus une):
–  Mathématiques pratiques chez les Barbares.
–  Liées à la naissance de la « philosophie » chez les Grecs.
–  Désintéressement; déduction; démonstration, etc.
– 
– 
– 
– 
•  Une pratique de l élite
–  Peu d évidence d une pratique de type « euclidien »
avant le 5e siècle av. J.-C. à Athènes.
–  Un très petit nombre de citoyens parfois très fortunés
(sans doute moins de 1000 pour toute l Antiquité!).
–  Une pratique écrite (correspondance) qui s appuie sur des diagrammes.
–  Reconnaissance d une utilité pratique (dont on se méfie parfois).
–  Filiation philosophique revendiquée; une rhétorique de la conviction.
UPMC - LM300 - Cours 2
–  Thalès de Milet: les premiers théorèmes
–  Les pythagoricien et les arts libéraux
–  Les Éléates: éviter l’infini
Les mathématiques et la
philosophie
•  Une construction idéologique
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•  Retour en arrière: Origine des mathématiques
grecques
•  Mathématiques chez les présocratiques
•  Ce qui n’est pas dans Euclide.
Origine des
mathématiques grecques
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Sommaire
–  Euclide
–  Les Éléments.
•  Euclide, Les Eléments (vers –300): un des plus anciens traités
de maths qui nous soit parvenu: d’où vient-il?
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•  Athènes et les mathématiques platoniciennes
•  L’école d’Alexandrie
–  Situé en dehors, mais proche de la ville. Salle ouverte garnie de sièges; déambulatoires; une salle à
manger et dépendances. Le directeur du Musée était un grand prêtre desservant les Muses ou
Sérapis.
–  Athénée (né vers 170 ap. J.-C.): « Dans l’Egypte populeuse, on engraisse des scribes, grands amateurs
de grimoires, qui se livrent à des querelles interminables dans les volières des Muses ».
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École de Milet
École de Crotone
(l’École d’Élée).
École d’Athènes.
•  Les dates
–  D’où nous viennentelles? Que faut-il en
penser?
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31 janvier 2013
L’école de Milet
L’école de Milet
•  Thalès (v. –625 à v. –547)
•  Thalès (v. –625 à v. –547)
–  Éclipse de Soleil de mai 585
–  Voyage en Egypte: la hauteur d’une pyramide.
•  La guerre entre les Mèdes et le Lydiens:
« s'étant livré bataille, le jour se changea tout à coup en
nuit, pendant que les deux armées en étaient aux mains.
Thalès de Milet avait prédit aux Ioniens ce changement,
et il en avait fixé le temps en l'année où il s'opéra. Les
Lydiens et les Mèdes, voyant que la nuit avait pris la
place du jour, cessèrent le combat, et n'en furent que plus
empressés à faire la paix » (Hérodote, Histoire).
•  « Ainsi, vous,Thalès, le roi d'Egypte vous admire
beaucoup, et […] il a été […] ravi de la manière dont
vous avez mesuré la pyramide sans le moindre embarras
et sans avoir eu besoin d'aucun instrument. Après avoir
dressé votre bâton à l'extrémité de l'ombre que projetait
la pyramide, vous construisîtes deux triangles par la
tangence d'un rayon, et vous démontrâtes qu'il y avait la
même proportion entre la hauteur du bâton et la hauteur
de la pyramide qu'entre la longueur des deux ombres. »
(Plutarque, Le Banquet des sept sages).
–  Un homme politique, ingénieur : aurait fait
détourner un fleuve (toujours selon Hérodote).
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L’école de Milet
•  Thalès (v. –625 à v. –547)
–  4 théorèmes de géométrie
(selon Proclus, Commentaires
sur le premier livre d’Euclide):
–  « Thalès, le fondateur
de cette manière de
philosopher, prend l'eau
pour principe »
(Aristote, Métaphysique)
•  Un cercle est bissecté par tout
diamètre.
•  Les angles sur la base d’un triangle
isocèle sont égaux.
•  Les angles entre deux droite qui se
coupent sont égaux.
•  Deux triangles sont semblables s’ils
deux angles et un côté égaux.
•  Anaximandre
(v. –610 à v. –545)
–  Selon Diogène Laërce:
–  Astronomie:
la sphère, le gnomon.
•  Un angle dans un demi cercle est
droit.
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L’école de Crotone
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•  Les nombres comme base de la philosophie.
•  Les rapports harmonieux.
•  La quadrivium: arithmétique, géométrie,
astronomie, musique. Une légende?
•  Somme des angles d’un triangle.
•  « Théorème de Pythagore. »
•  L’irrationnel.
•  Les 5 solides réguliers.
–  Chef politique, chamane, mais pas un mathématicien…
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http://www.cairn.info/zen.php?ID_ARTICLE=DHA_342_0065
•  Le polos: un des premiers
instruments d’observation
astronomique
Les pythagoriciens
•  Pythagore (v. –560 à v. –480).
Détail de l’Ecole d’Athène de
Raphaël
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L’école de Milet
•  Thalès (v. –625 à v. –547)
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Manuscrit médiéval
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Éviter l’infini?
L’école d’Elée
Paradoxe d’Achille (et la tortue),
selon Aristote, Physique:
« le plus lent à la course ne sera
jamais rattrapé par le plus rapide;
car celui qui poursuit doit toujours
commencer par atteindre le point
d’où est parti le fuyard, de sorte
que le plus lent a toujours quelque
avance. »
« le raisonnement de Zénon suppose à tort que les infinis ne peuvent être
parcourus ou touchés chacun successivement en un temps fini. En effet la
longueur et le temps, et en général tout continu, sont dits infinis en deux
acceptions, soit en division, soit aux extrémités. »
•  Monisme.
•  Parménide
(v. –544 à v. –450)
•  Zénon
(v. –490 à –425).
–  Tout est un.
–  Négation du non-être.
–  Négation du mouvement.
•  Les paradoxes.
–  Chez Aristote,
La Physique, IV.
–  La dichotomie
–  L’Achille (page suivante).
–  La flèche
–  Le stade.
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« il semble également impossible que l'infini soit et ne soit
pas, il faut évidemment en conclure qu'en un sens l'infini
existe et qu'en un sens il n'existe point. »
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Infini actuel et potentiel
•  Anaxagore (–499 à –428)
« on ne dit pas de l'infini qu'il est en puissance parce qu'il pourrait
avoir effectivement une existence séparée et individuelle, mais
seulement parce qu'il peut être conçu comme tel par la pensée. En
effet, c'est parce que la division de l'infini ne peut jamais s'arrêter
qu'on admet qu'un acte de ce genre est en puissance; mais ce n'est
pas parce qu'il est séparé réellement »
Aristote, Physique
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Hippocrate de Chios
•  Mathématicien et
astronome.
•  À Athènes vers – 430.
•  Selon Proclus, il aurait
le premier écrit des
Éléments.
•  D’Eudème (via
Simplicius): le
problème des lunules.
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•  Socrate (–470 à –399).
–  « Connais-toi toi-même »
•  Platon (–427 à –347).
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Platon
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L’aire des deux lunules
hachurées prises ensembles
est égale à l’aire du triangle
rectangle ABC.
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(vers 428–348 av. J.-C.)
« Platon pose alors ce problème
aux mathématiciens: Quels sont
les mouvements circulaires
uniformes et parfaitement
réguliers qu’il convient de prendre
pour hypothèses, afin que l’on
puisse sauver les apparences
que les astres errants
présentent? »
-- Simplicius, Commentaire à la
Physique d’Aristote.
Théorème:
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–  La philosophie à Athènes.
–  Explication des éclipses
–  Quadrature du cercle.
–  Le Timée.
–  L’Académie.
–  Aγεωμέτρητος+μηδεὶς+εἰσίτω
« Que nul n’entre ici
s’il n’est géomètre ». 1. « nul continu n’est sans partie. »
2. « L’infini se trouve donc être le contraire de ce qu’on dit: en effet, non
pas ce en dehors de quoi il n’y a rien, mais ce en dehors de quoi il y a
toujours quelque chose, voilà l’infini. »
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A Athènes
Aristote, Métaphysique, livre 9, chap. 6 :
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•  Le Timée
–  origine de l’univers, de
l’homme et de la société
–  explication scientifique:
une méthode,
un outil
•  Notion de
« paradigme »
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La sphère dans le Timée
Les « triangles » dans le Timée
•  Le Cercle:
« Quant à sa figure, il lui a donné celle qui lui convient le mieux
et qui a de l’affinité avec lui. Or, au Vivant qui doit envelopper en
lui-même tous les vivants, la figure qui convient est celle qui
comprend en elle-même toutes les figures possibles. C’est
pourquoi le Dieu a tourné le Monde en forme sphérique et
circulaire, les distances étant partout égales, depuis le centre
jusqu’aux extrémités. C’est là de toutes les figures la plus
parfaite et la plus complètement semblable à elle-même. En
effet, le Dieu pensait que le semblable est mille fois plus beau
que le dissemblable (…).
« Je veux dire, afin que le Monde fût aussi semblable que
possible au Vivant parfait et intelligible et pour imiter la
substance éternelle. »
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Certains des élèves de Platon
sont mathématiciens
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•  Compilation d’anciens résultats dont peut-être aucun n’est
original. L’organisation, elle, l’est sans aucun doute.
≠ l’ensemble des connaissance de l’époque!
•  Les 13 « livres » des Eléments.
–  Un dialogue de Platon: théorie de la science.
–  Théorie des irrationnels.
–  I à VI: les « livres plans » = géométrie plane
•  Eudoxe (vers –408 à –355).
•  sf Livre V: les rapports et proportions.
–  Sphères concentriques en cosmologie.
–  Théorie des proportions.
–  Méthode d’exhaustion.
–  VII à IX: les « nombres »
•  définitions regroupées au début du livre VII.
–  X: le plus long et le plus difficile sur l’in/commensurabilité.
•  les irrationnels de Theaetatus, la théorie des proportions d’Eudoxe.
–  XI à XIII: livres « sur les solides ».
•  Aristote (vers –384 à 322).
•  Plusieurs Éléments publiés, perdus.
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Rappel :
Euclide, Les Eléments (1)
•  Théétète (vers –417 à –369).
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« Tout animal nouvellement formé, ayant encore des triangles neufs
et de l’espèce primitive qui sert comme de base aux autres, retient
tous ces éléments dans une union puissante ; toute sa masse est
tendre, étant récemment sortie de la moelle et nourrie de lait.
Quand il s’assimile les triangles qui lui viennent du dehors, ceux
dont ses aliments et ses breuvages se composent ; comme ces
triangles sont plus vieux et plus faibles que les siens propres, il
l’emporte sur eux, les dissout au moyen de ses triangles neufs, et
l’animal grandit en se nourrissant de beaucoup d’éléments
semblables aux siens. Mais quand les triangles primitifs perdent leur
force à cause des luttes nombreuses qu’ils ont soutenues longtemps
contre beaucoup d’autres triangles, ils ne peuvent plus diviser et
transformer à leur image les triangles que la nourriture contient :
au contraire, ils sont facilement dissous par ceux qui viennent du
dehors ; alors tout l’animal cède, il dépérit, et cet état s’appelle la
vieillesse. »
•  définitions au début du livre XI.
•  les cinq solides platoniciens (cf. Le Timée)
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Euclide, Les Eléments (2)
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Les propositions du livre I
des Eléments d’Euclide
Arrangée dans un ordre logique, selon
Charles Dodgson [Lewis Carroll]
1883.
•  Les premiers livres: la géométrie plane.
•  une figure n’a que trois caractéristiques
(cf. les Données)
–  position: le fait qu’elle occupe un lieu.
–  forme : triangles, carrés, cercles
! d’où l’importance des relations de similitude.
–  taille (ou grandeur).
•  ≠ poids, couleur, dureté, mouvement, etc.
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Euclide, Les Eléments (3)
Euclide, Les Eléments (4)
•  La géométrie plane: du plus simple au plus complexe.
•  Structure de l’exposé mathématique euclidien
= un principe d’économie
–  Livre I et II: triangles et parallélogrammes.
–  Livres III et IV:
cercles et polygones réguliers inscrits dans un cercle.
–  réduction des éléments considérés
–  réduction des demandes et des théories utilisées.
•  Les principales « opérations » géométriques.
•  Ex: les 28 premières prop. du livre I évite le recours au
postulat des parallèles.
–  la « règle » et le « compas »
–  dichotomie d’une droite, d’un angle, élévation d’une
perpendiculaire, construction d’une parallèle, etc.
–  exhaustivité et progression.
–  un seul critère: la logique.
≠  indications doxographiques ou historiques.
•  Les « grandeurs »: 1° des rapports d’égalité.
–  Géométrie plane sans proportion.
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Euclide, Les Eléments (5)
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Euclide: Définitions
•  Vu en td:
•  Livre I:
•  Structure de l’exposé mathématique euclidien
•  Les cas d’égalité des triangles
•  Exemple de théorème classique : « Pythagore »
•  Théorie des parallèles
•  Constructions à la règle et au compas
•  Notion de nombre et rapports de grandeurs
•  Figures semblables
•  « Aires » et « volumes » : la méthode d’exhaustion
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Euclide: les notions
communes
Euclide: les demandes
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Euclide: rapports et
proportions
Euclide: la démonstration
LIVRE V:
NB. « raison » = λογοσ (logos)
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Euclide: les nombres
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•  LIVRE X
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•  Les trois grands problèmes des mathématiques grecques
–  Quadrature du cercle (Artémon de Clazomènes, vers –435).
–  Duplication du cube (Hippocrate de Chios, vers –430).
« Eratosthène, dans le livre qui a pour titre le Platonicien, rapporte que les Déliens
ayant interrogé l’oracle sur le moyen de se délivrer de la peste, le dieu leur ordonna
de construire un autel double de celui qui existait déjà. Ce problème jeta les
architectes dans un étrange embarras. Ils se demandaient comment on peut faire un
solide double d’un autre. Ils interrogèrent Platon sur la difficulté. Celui-ci leur
répondit que le dieu avait ainsi rendu l’oracle, non qu’il eût aucun besoin d’un autel
double, mais pour reprocher aux Grecs de négliger l’étude des mathématiques et
de faire peu de cas de la géométrie ». [Théon de Smyrne, Philosophe platonicien.]
–  Trisection de l’angle (Hippias d’Elis, vers –425).
•  Les traités = un « iceberg »?
•  Mathématiques pratiques:
–  L’abaque occidental = les « calculateurs ».
•  Des professionnels (commerce, construction, etc.)
•  Archéologie, témoignages, dans les traités néopythagoriciens (Nicomaque, Jamblique)
•  Mesure d’aires et de volumes
•  Des papyrus, mais totalement absents les traités
mathématiques.
–  Archimède, Apollonius et Diophante.
•  Les mathématiques « pratiques »
–  Astronomie et musique; optique et mécanique
–  Numération; architecture; etc.
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–  Les « arpenteurs »: les « tireurs de corde »
•  Mathématiques avancées:
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D. AUBIN - 3H011
Deux cultures
mathématiques
Ce qui n’est pas dans Euclide
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Euclide: les « irrationnels »
LIVRE VII:
Cours 2 - 16/9/2016
Cours 2 - 16/9/2016
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Cours 2 - 16/9/2016
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Le papyrus de Vienne
(1er siècle ap. J.-C.)
Calcul de l’aire d’un
trapèze (Papyrus
d’Ayer à Chicago)
•  « A propos des pierres et des choses
nécessaires à la construction d’une maison, tu
mesureras le volume selon les règles du
géomètre comme suit: la pierre a 5 pieds
partout. Fais 5 × 5 ! Cela fait 25. Il s’agit de
l’aire de la surface. Multiplie ceci par 5 pour la
hauteur. Cela fait 125. La pierre aura autant de
pieds et est appelée cube. »
« Soit donné un trapezoïde scalène tel que
celui dessiné plus bas, selon les conditions du
problème, le 13 au carré égale 169, et le 15
au carré égale 225. Retirer le 169; le reste est
56. Retirer le 2 du côté supérieur du 16 de la
base; le reste est 14. Prendre 1/14 de 56; c'est
4. Cela retiré du 14 laisse 10. La moitié de
ceci laisse 10. La moitié de ceci égale 5. Ceci
au carré égale 25. Retirer ceci du 169; le
reste est 144, dont la racine est 12. Ceci par
le 5 de la base égale 60, dont la moitié est
30; de tant d'acres est la surface de chacun
des triangles rectangles. Et le 12 par le 2 du
côté supérieur égale 24; de tant d'acres est le
rectangle intérieur. Et le 12 multiplié par le 4
de la base égale 48; dont la moitié est 24; de
tant d'acres est le triangle obtusange. Suit la
figure: »
Edgar J. Goodspeed, “The Ayer Papyrus,” The
American Mathematical Monthly, Vol. 10, No. 5
(May, 1903), pp.133-135 .
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Platon, Philèbe
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Platon, La République
« Ne doit-on pas reconnaître qu'il y a une
arithmétique pour le vulgaire et une autre propre
aux philosophes ? […] Car les uns font entrer dans le
même calcul des unités numériques inégales, par
exemple, deux armées, deux boeufs, les deux unités les
plus petites et les deux unités les plus grandes de
toutes, tandis que les autres refusent de les suivre, si
l’on n’admet pas que, dans le nombre infini des unités, il
n’y a aucune unité qui diffère d’aucune autre unité […]
L’art de calculer et de mesurer dans l’architecture et le
commerce ne diffère-t-il pas de la géométrie et des
calculs qu’élaborent les philosophes ? »
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Trois sciences des nombres
•  SOCRATE: l'étude [de la logistique et de l'arithmétique ] est nécessaire
au guerrier pour ranger une armée, et au philosophe pour sortir de la
sphère du devenir et atteindre l'essence, sans quoi il ne serait jamais
arithméticien. […] Il conviendrait donc, Glaucon, de prescrire cette étude
par une loi, et de persuader à ceux qui doivent remplir les plus hautes
fonctions publiques de se livrer à la science du calcul, non pas
superficiellement, mais jusqu'à ce qu'ils arrivent, par la pure intelligence, à
connaître la nature des nombres; et de cultiver cette science non pas
pour la faire servir aux ventes et aux achats, comme les négociants et les
marchands, mais pour l'appliquer à la guerre, et pour faciliter la conversion
de l'âme du monde de la génération vers la vérité et l'essence […].
•  S: Et j'aperçois maintenant […] combien [la science des nombres] est
belle et utile, sous bien des rapports, à notre dessein, à condition qu'on
l'étudie pour connaître et non pour trafiquer.
G: Qu'admires-tu donc si fort en elle?
S: Ce pouvoir, dont je viens de parler, de donner à l'âme un vigoureux élan
vers la région supérieure, et de l'obliger à raisonner sur les nombres en
eux-mêmes, sans jamais souffrir qu'on introduise dans ses raisonnements
des nombres visibles et palpables.
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La logistique
•  L’arithmétique = la nature des nombres
•  La logistique = le calcul à l’aide des nombres
•  La numération = la représentation des nombres.
•  L’art de faire des calculs
avec les nombres.
•  L’abaque occidental est
différent du boulier
(=l’abaque oriental)
–  Deux système de numération chez les Grecs:
•  Le système archaïque de l’Attique
http://www.encyclopedie-universelle.com/
images/abaque-vase-darius-perse-museearcheologique-naples-pm.jpg
•  Détail du vase de Darius
(provenant de Canossa)
Vers – 350.
•  Le système ionien:
ce système ne permet
pas de faire des calculs.
Museo Archeologico Nazionale, Naples
Les calculs se font à l’aide
d’un abaque.
http://www.iser.uni-erlangen.de/pictures/I9024_02.jpg
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Pratique vs. théorique
La machine d’Anticythère
Énoncés algorithmiques = des
« recettes ».
Énoncés démonstratifs = des
« preuves » qui n’expliquent pas
comment on la trouve.
Liés à des activités pratiques et
commerciales.
Liés à la philosophie.
Désintéressés: un outil de
« distinction » sociale?
Hérités des traditions moyenorientales (babyloniennes et
égyptiennes).
Originaux à la « Grèce » antique: nés
à Athènes, chez Thalès ou Pythagore?
Institutionnalisés:
des traditions corporatives.
Peu ou pas institutionnalisés?
Communication passant par l’écrit;
enseignement classique basique.
–  Plus de 30 roues dentées en
bronze.
–  Un modèle des cycles solaires et
lunaires selon Hipparque?
Des figures géométriques utilisant les lettres;
Un langage standardisé et impersonnel;
Des mots et procédures communes.
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•  Datée de – 150 à – 100 env.
•  Découverte en 1900,
aujourd’hui au Musée
archéologique d’Athènes.
•  Une machine sophistiquée pour
calculer le mouvement des
planètes de manière analogique.
•  http://www.antikythera-mechanism.gr/
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Cours 2 - 16/9/2016
D. AUBIN - 3H011
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