Rappels mathématiques

Boˆıte `a outils math´ematiques de base pour
l’infographie et l’animation par ordinateur
Yves Chiricota, professeur
DIM, UQAC
Cours 8TRD147
11 Janvier 2017

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Il est impossible d’envisager l’´etude des m´ethodes de l’animation par ordi-
nateur sans des connaissance en alg`ebre lin´eaire et en calcul. Les approches plus
pouss´ees de l’animation par ordinateur (comme la simulation de surfaces d´eformables
et de certains ph´enom`enes physiques) demandent mˆeme la maˆıtrise de la g´eom´etrie
diff´erentielle. Nous verrons ici la base math´ematique n´ecessaire au cours. Ce docu-
ment constitue en quelque sorte une boˆıte `a outils math´ematiques pour l’animation
par ordinateur.
1 Alg`ebre matricielle
En gros, on pourrait dire que l’alg`ebre matricielle est l’´etude de l’arithm´etique des
matrices. On muni l’ensemble des matrices d’une op´eration de somme et d’une
op´eration de produit. Cependant, dans le cas des matrices, les choses ne sont pas
aussi simple que si on travaille avec les nombres r´eels. Il faut tenir compte du format
des matrices, elles ne sont pas toutes inversible, etc.
Grˆace `a l’alg`ebre matricielle, il est possible de repr´esenter des concepts beau-
coup plus riches que ceux inh´erents `a partir de l’alg`ebre des nombres r´eels unique-
ment. En effet, grˆace aux vecteurs et aux matrice, on peut repr´esenter sur or-
dinateur des objects en plusieurs dimensions. Ces concepts nous servent aussi `a
repr´esenter certaines transformation de l’espace, en particulier celles n´ecessaires `a
simuler des cam´eras virtuelles. Il serait trop long d’´enum´erer ici toutes les appli-
cations de l’alg`ebre lin´eaire en infographie. Nous allons voir les ´el´ements essentiels
pour le cours 8TRD147. Les th`emes abord´es ici constituent le minimum n´ecessaire
`a entreprendre l’´etude de l’infographie et l’animation par ordinateur.
1.1 Points et vecteurs
Intuitivement, on peut d´efinir le plan euclidien comme ´etant un ensemble de points
pour lesquels on peut mesurer les distances et les angles. Notons qu’un point sert `a
indiquer une position. L’espace euclidien de dimension trois se d´efinit aussi comme
un ensemble de points pour lesquels on peut mesurer des angles et des distances. A
priori, dans un espace euclidien, aucun point ne se distingue des autres (il n’y a pas
d’origine) et il n’y a pas de syst`eme de coordonn´ees. La notion d’espace euclidien
est tr`es g´en´erale. En particulier, l’espace Rndes points exprim´es `a l’aide de trois

1. ALG ` EBRE MATRICIELLE 3
nombres r´eels forme un espace euclidien.
Un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs muni d’op´erations de somme
et de produit par un scalaire qui satisfont un certain nombre de propri´et´es. Les
vecteurs servent `a indiquer des directions d’un point `a un autre. Plus formellement,
un espace vectoriel r´eel (V,+,·) est la donn´ee d’un ensemble de vecteurs Vmuni de
deux op´erations
+ : V×V→V
et
·:R×V→V
satisfaisant les propri´et´es suivantes:
1. Pour tous u, v ∈V, on a u+v=v+u,
2. Pour tous u, v, w ∈Von a u+ (v+w) = (u+v) + w,
3. Il existe un ´el´ement sp´ecial 0 ∈Vtel que pour tout u∈V, on a u+ 0 = u,
4. Pour tout u∈V, il existe un ´el´ement v∈Vtel que u+v= 0 (en d’autres
mot, chaque ´el´ement poss`ede un oppos´e),
5. Pour tout u∈V, on a 1 ·u=u,
6. Pour tous α, β ∈R, pour tout u∈V, on a α(β·u)=(αβ)·u
7. Pour tous α, β ∈R, pour tout u∈V, on a (α+β)·u=α·u+β·u
8. Pour tout α∈R, pour tous u, v ∈V, on a α·(u+v) = α·u+α·v
Ces huit propri´et´es constituent les r`egles de calcul (permettant de simplifier des
expression, etc.) dans un espace vectoriel. Tout calcul valide sur les vecteurs doit
pouvoir s’exprimer comme une suite d’op´eration correspondant `a ces r`egles.
Exercice: D´eterminer l’interpr´etation g´eom´etrique des deux op´erations.
Un sous-espace vectoriel de Vest un sous-ensemble de vecteur Utel que si
u, v ∈Uet α∈R, alors u+v∈Uet αv ∈U.

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L’espace R3muni de la somme et du produit par un scalaire usuels forme un
espace vectoriel. On peut voir Rnde deux points de vue: comme un espace euclidien
ou comme un espace vectoriel.
Une des particularit´e qui distingue un espace euclidien d’un espace vectoriel est
la pr´esence d’un point qui repr´esente l’origine de l’espace vectoriel. Dans le cas de
de Rn, n’importe quel point pourrait servir d’origine, mais on utilise habituellement
le point (0,0, . . . , 0). ´ Etant donn´e un espace euclidien, on peut en faire un espace
vectoriel en choisissant un point, disons O, qui servira d’origine. Par la suite, on
fait correspondre `a chaque point Pde l’espace euclidien un vecteur V(P) de l’espace
vectoriel en lui associant le segment de droite OP . Exercice: d´efinir la somme et le
produit par un scalaire de telle sorte que cette construction donne un espace vectoriel.
En toute g´en´eralit´e, les vecteurs d’un espace vectoriel r´eel peuvent ˆetre n’importe
quel type d’objets, pourvu que les conditions pr´ec´edentes soient respect´ees. On peut
d´efinir des espaces vectoriels de fonctions, de quaternions, etc.
Il est utile de repr´esenter les vecteurs `a l’aide de coordonn´ees. L’id´ee est de
choisir un ensemble B={b1, b2, . . . bn}de nvecteurs lin´eairement ind´ependants et de
les utiliser pour exprimer n’importe quel vecteur vde l’espace en calculant l’unique
d´ecomposition
v=a1b1+a2b2+· · · +anbn,
o`u an∈R. Les nombres aisont appel´es coordonn´ees du vecteur vrelativement `a la
base B. Il est int´eressant de remarquer que (a1, a2, . . . , an) est un vecteur de Rn. Il
faut faire attention ne pas confondre coordonn´ees et vecteur dans le cas de Rn.
Pour la suite, nous ne consid´ererons que l’espace vectoriel Rnmuni de la somme
de vecteur usuelle et du produit par un scalaire usuel:
u+v= (u1, u2, . . . , un)+(v1, v2, . . . vn)=(u1+v1, u2+v2, . . . , un+vn)
et
α·u=α·(u1, u2, . . . , un) = (αu1, αu2, . . . , αun).
Exercice: V´erifier que les huit propri´et´es sont satisfaites dans ce cas.

1. ALG ` EBRE MATRICIELLE 5
1.2 Syst`emes de coordonn´ees
Comme nous l’avons vu, on peut repr´esenter les vecteurs `a l’aide de syst`emes de
coordonn´ees. L’id´ee est de choisir une base ordonn´ee {b1, b2, . . . bn}pour exprimer
les ´el´ements de Rncomme une combinaison lin´eaire Piaibi, avec an∈R. En fait,
lorsqu’on consid`ere un vecteur (u1, u2, . . . un), c’est (de mani`ere implicite) relative-
ment `a la base canonique de Rn: (u1, u2, . . . un) = Piuiei, o`u eiest le vecteur
comportant des 0 `a chaque position sauf `a la ii`eme o`u on retrouve un 1 (e1=
(1,0,0,0, . . . 0), e2= (0,1,0,0, . . . 0), . . .. Le concepts de syst`emes de coordonn´ees
permet de simplifier les calculs inh´erents aux cam´eras virtuelles et de faciliter la
repr´esentation des objets g´eom´etrique en infographie, entre autres choses.
On passe d’un syst`eme de coordonn´ees `a un autre `a l’aide de la multiplication
matricielle (exercice).
1.3 Transformation de l’espace Euclidien
On peut appliquer certaines op´erations aux vecteurs et aux points. Les principales
op´erations sont la rotation autour d’un axe, la translation selon un vecteur et le
changement d’´echelle. On utilise g´en´eralement les matrices pour repr´esenter ces
transformations, lorsqu’elles sont lin´eaires. L’utilisation des matrices pr´esentes de
grands avantages car elle permettent une impl´ementation facile et que si Test une
transformation, repr´esent´ee par la matrice MT, appliqu´ee `a un vecteur V, on obtient
T(V) en multipliant avec Met V, c-`a-d T(V) = MV . De plus, la composition de
transformation se traduit par le produit des matrices correspondantes. Cela pr´esente
un avantage relativement `a la performance du calcul lorsque l’on doit appliquer la
mˆeme s´erie de transformations `a plusieurs vecteur comme c’est souvent le cas en
infographie.
Par exemple, la matrice suivant effectue une rotation autour de l’origine d’angle
θautour du vecteur (0,0,1):
cos θsin θ0
−sin θcos θ0
0 0 1