Mouvement uniforme en régime permanent

Mouvement uniforme en
régime permanent
Hamid Bouchelkia
CH II:
Etude des écoulement
permanent uniforme
Si la pente et la section transversale reste
constante, une section transversale ne
diffère en rien des autres, la vitesse reste
constante tout le long d’un filet liquide et le
mouvement
et
permanent
uniforme
(permanent dans le temps et uniforme dans
l’espace); c’est le cas en particulier de
l’écoulement dans un canal artificiel de
pente et de section constante
Formule générale de l’écoulement
De l’équation de Navier-Stokes
1

1

1

P
du
X
  u
x
dt
P
dv
 Y    v
y
dt
P
dw
Z
  w
z
dt
 

1 
gradP  Fv  γ  V
ρ
x
y
z
La force de volume
Le liquide est soumis à
l’action de pesanteur
X  g sin 
Y 0
Z  g cos 
x
a
g
z
On trouve:
Par projection sur ox:
1 P
du
 g s in  
u
 x
dt
Par projection sur oy:
1 P
 0
 y
Par projection sur oz:
P  P0    g  z cos     g  h
Il est plus simple d’appliquer au courant liquide
l’équation de Bernoulli
De L’équation de BERNOULLI
Dévirant la:
P
U2
h
β
 J  cst
ρg
2g

x


P
U2
 h 
β
 J   0
ρg
2g


h
1 P
  U 2  J
 β
 



0
 x ρg  x  x  2g   x
a
h
z
1.
  sin 
x
2. P  P0    g  z  c os  ( de l' équation 2)
x
h
 P  P0


x
x
U ne varie que selon la
  U2 
d  U 2  trajectoire càd selon x et
 β
  β


3.
cst
 x  2g 
dx  2g  b=
La force de frottement élémentaire
Car:
Fr α dx
Fr α Pm
Fr α g
Fr  f (U)    g  Pm (U)  dx
La fonction j(
U) intégrant le
coefficient de proportionnalité,
la viscosité, la turbulence et la
rugosité des parois du canal
N B:U)j(
est Obtenue expérimentalement
Cette force de frottement par
unité de poids est exprimé par:
L’énergie dJ correspondante
dissipée sur dx est:
Pm
fr  (U)
Sm
Pm
dJ 
  (U )  dx
Sm
dj Pm


  (U )
dx S m
Qui représente la perte de
charge j en mce
L’équation de Bernoulli s’écrira donc:
1  P0
  U 2  Pm
 β
 
 sin  


 (U )  0......... (3)
ρg  x
 x  2g  S m
Dans le cas d’un écoulement uniforme U=cst donc:
1 P0 Pm
sin  
  (U )
ρg x Sm
Plaçons l’axe des x à la surface libre de l’eau
P0
Donc P0  Patm 
0
x
x
y
z
α est faible sinα=tgα=I (la pente du fond du canal
Par analogie avec les écoulement dans les canalisation en charge on pose:
 (U )  k U
2
Pour les écoulements à surface libre On remplace k par 1/C2
 U 2  C 2  Rh  I
U  C  Rh  I
Le coefficient C (homologue à λ en conduite) dépend des paramètres
géométriques et hydrauliques de l’écoulement, notamment de la forme
de la section et de la nature des parois
II. Signification hydraulique de I
Considérons dans une masse liquide en écoulement rectiligne
et uniforme un filet liquide MM’ et appliquons entre ces deux
points le théorème de Bernoulli
P
U2
P'
U' 2
z

 z' 

 H
ρg
2g
ρg
2g
   ' 1
Le régime étant uniforme:
U=U’, par ailleurs le filet est
parallèle // au fond donc P=P’
D’où la différence de charge
entre ces deux points est:
z  z' H
M2
M2 ’
M1
M
L
M’1
M’
Si L est la distance entre M et M’ la perte de charge unitaire j:
j
H
H

 sin   tg   I (pente du fond)
L
L
Dans un écoulement à surface libre en régime uniforme la perte de charge
unitaire ou pente hydraulique de l’écoulement ou pente de la ligne d’énergie
« j » est donc égale à la pente géométrique « I » du fond du canal.
Notons que
2
U
M 1' M 2'  M 1 M 2 
2g
C à d que la ligne d’énergie est parallèle au fond I=J
Pour un écoulement rectiligne à surface libre en régime uniforme la
ligne piézométrique est confondue avec la surface libre et la ligne de
charge (d’énergie) est // fond I=J
Ecoulements uniformes
En régime uniforme, l’écoulement se fait avec un tirant d’eau tel
que la perte de charge linéaire est égale à la pente du radier et à la
pente de la surface libre. La baisse de l’énergie de position compense
exactement les pertes d’énergie dans l’écoulement.
Lorsque le régime uniforme est atteint le tirant d’eau H prend une
valeur constante Hn dite hauteur d’eau normale.
On considère dans le cas d'un écoulement uniforme que la hauteur
d'eau est constante: y=Cst e (<=> I=I').
La vitesse moyenne est déterminée par la formule de Chézy:
V  C Rh I
Où
-V vitesse d’écoulement
-C est le coefficient de Chézy.
-Rh Rayon hydraulique
-I pente du fond du canal
Différentes approximations peuvent être utilisées pour
déterminer le coefficient de Chézy:
•Formule de Bazin (1897):
V
87
C 
1
γ
R
h

Après avoir présenter une première formule,
Bazin présenta une seconde formule :
87

R
1 
 I
h
γ
R
h
Le coefficient gdépend de la nature des parois et le tableau ci-dessous fixe
les ordres de grandeur de g
.
Avec, pour , des valeurs
empiriques variant de 0,06
pour des parois très unies à
1,75 pour des canaux en terre
avec fonds de galets et parois
herbées.
g
Nature de la paroi
0,06
Parois très unies (ciment lissé)
0,16
Parois unies (planches, briques, pierres de taille)
0,46
Parois en maçonnerie
0,85
Parois en terre bien régulières
1,30
Parois en terre ordinaires
1,75
Parois en terre et fond de galets ou herbes
• Formule de Manning
En 1889, un ingénieur irlandais nommé Manning
présenta une formule qui, par la suite, a été réduite à
la forme que l’on connaît :
1 1/6
C   Rh
n

1 2/3
V   Rh  I
n
Cette formule a été dérivée des formules existantes et vérifiée par 170 relevés qui sont tirés
principalement des expériences de Bazin (Chow, 1959).
En 1936, le comité exécutif de la Third World Power Conférence recommande l’utilisation de la
formule de Manning à l’échelle internationale (Chow, 1959). Par la suite, elle est devenue la plus
usitée pour le calcul des écoulements uniformes en canaux ouverts. Les ingénieurs la préfèrent à
cause de sa simplicité et de sa facilité d’utilisation.
Plusieurs noms sont associés à la formule de Manning, soit parce qu’ils aient présenté la forme
simplifiée ou qu’ils aient obtenu une formule semblable de façon indépendante. Ces noms sont
G.H.L. Hagen en 1876, Philippe-Gaspard Gauckler en 1868 et Strickler en 1923
À cause de sa simplicité, la formule de Manning peut se transposer en une abaque simple
d’utilisation (figure A). Pour les sections de géométrie simple, la formule de Manning présentée
sous forme de figure permet de calculer directement la profondeur normale d’écoulement (figure B)
Coefficient de Rugosité de Manning
surface du canal
n
Amiante-ciment
0,011
laiton
0,011
Brique
0,015
En fonte, de nouveaux
0,012
Béton, coffrages en acier
0,011
Béton, coffrages en bois
0,015
Béton, centrifuge filé
0,013
cuivre
0,011
Tôle ondulée
0,022
acier Galvanisé
0,016
plomb
0,011
plastique
0,009
Acier - de goudron de houille en émail
0,01
Acier. Nouveau sans doublure
0,011
Acier-rivetés
0,019
Bois conjurer
0,012
• Formule de Strickler 1923
C  Ks  R
1/6
h
1 1/6
  Rh
n
1 2/3
V  Ks  R  I  n  Rh  I
2/3
h
1
Ks 
n
Strickler à chercher à déterminer la valeur du coefficient « n » de
Manning en fonction des matériaux des parois du canal (fond et
berges) en matériaux non cohérents (terres non revêtue ) et proposa:
1/6
 Rh 
1
1 21,1
1 26
Ks   26   ou Ks  
ou Ks  
n
n d50
n d90
 d35 
Meyer-Peter et Muller
di (i% en poids des  > (i% sur l’abscisse de la courbe granulométrique
Nature du cours d’eau
Coefficient k de
Strickler
Petits torrents de montagne à fond très irrégulier
23 à 26
Cours d’eau de montagne de 30 à 50m de large, pente supérieure à 0.002,
fond de graviers atteignant 10 à 20 cm.
27 à 29
Cours d’eau de montagne de 50m et plus de large, pente comprise entre
0.0008 et 0.002, fond de graviers ne dépassant que rarement 10 cm.
30 à 33
Rivières à fond de graviers de 4 à 8 cm et de pente 0.0006 à 0.0008
34 à 37
Rivières à fond de graviers inférieurs à 4 cm et de pente 0.0006 à 0.0008
38 à 40
Rivières à fond de sable ou petits graviers et de pente 0.0006 à 0.00025
41 à 42
Cours d’eau peu turbulents, pente faible de 0.00012 à 0.00025, fond de sable
et de vase
43 à 45
Très grands fleuves à très faible pente inférieure à 0.00012 et à fond très
lisse
46 à 50
• Formule Ganguillet et Kutter
En 1869, deux ingénieurs suisses, suite à de nombreux relevés principalement sur
de grandes rivières, présentent une équation pour décrire le coefficient ”C” de
l’équation de Chézy. Elle est connue sous le nom de formule de Kutter :
0,00155 1

S
n
C
0,00155  n

1   23 

S

 Rh
23 
n = coefficient de rugosité
Elle a été largement utilisée en Allemagne, en Angleterre, aux U.S.A. et au
Québec. Elle peut être présentée sous forme d’abaque ou de tables.
Pour le calcul des égouts Kutter propose une simplification de la formule établie en
collaboration avec Ganguillet. Cette formule s’écrit ainsi :
Le coefficient b est fonction de la nature de l’état de
surface du matériau dans lequel circule le fluide : cela
varie de 0,15 pour un ciment lissé à 0,8 pour de la
vieilles maçonneries.
100  R
C 
b  R
• Remarques
Chow (1959) rapporte que Bankhmeteff et Feodoroff ont comparé la formule de
Manning, Kutter et Bazin en utilisant les équations de distribution de vitesse. Leurs
résultats montrent que la formule de Manning est la meilleure de celles
considérées. À cause de sa simplicité, la formule de Manning peut se transposer
en une abaque simple d’utilisation . Pour les sections de géométrie simple, la
formule de Manning présentée sous forme de figure permet de calculer directement
la profondeur normale d’écoulement
Application aux cours d’eau naturels :
Parmi toutes les formules évoquées précédemment, ce sont les formules de
Bazin et de Manning qui semblent être choisies la plus part du temps par les
ingénieurs.
Influence des divers paramètres sur le débit
Si on emploie la formule de Manning - Strickler pour exprimer le débit en régime
uniforme, l'expression de ce débit est :
Q  k  S  R 2/3  I 1/2
L'influence des divers paramètres est donc :
•k, coef de Strickler dépendant de la nature de la paroi. Le débit augmente lorsque la rugosité
de la paroi diminue.
•I, pente du radier du canal. Le débit augmente en même temps que la pente.
•S et Rh dépendent de H ; il n'est pas possible, a priori, de connaître le sens de variation du
produit S x Rh. Il faut alors étudier chaque cas particulier.
Dans la pratique, il se pose deux types de problèmes principaux. Le premier est de
déterminer la forme de la section à donner à un canal pour que le débit soit maximum.
On se donne la section mouillée, la pente et la nature des parois. Le deuxième type de
problème est de déterminer le débit pour un canal donné (forme, nature des parois et
pente connues) en fonction de la hauteur d'eau.
Profils de débit maximum (section optimale) dans le cas des sections évasées
(ouvertes)
Supposons que l'on cherche le débit maximum pour un canal où k, S et I sont donnés. Le débit
maximum est obtenu pour une forme telle que pour une aire S donnée, le périmètre mouillé soit
minimum. Le problème est donc uniquement un problème de géométrie plane.
Forme demi-circulaire
On sait que la forme circulaire est celle pour
laquelle le périmètre est minimum pour une
surface donnée.
Cette solution n'est pas la notre, puisque
cette forme est fermée et que dans la définition
du périmètre mouillé on ne comptabilise pas la
surface libre.
Par contre, on peut démontrer que le demicercle satisfait à notre relation.
Dans la pratique cette forme de section se
prête mal à des canaux de grandes dimensions
et on ne la rencontre guère que dans les anciens
canaux d'irrigation ou dans les gouttières de
maisons.
 R2
S 
2
p R
 Rh 
R
h

2
2
R
h
Forme trapézoïdale
Supposons que l'on désire construire un canal
de forme trapézoïdale isocèle. Ce trapèze sera
défini par sa base "b", sa profondeur h et la
pente m de ses côtés (ou fruit) par rapport à la
verticale.
m = Cotg (α)
h (b  mh)
S  h (b  m  h)
Rh 
2
2
b

2
h
1

m
p  b  2 h 1 m
O
B
E

d/2
F
h (1+m2)1 /2

C
D
b
m est une donnée mais la section S dépend de H et de Bo.
Cependant S étant une donnée du problème, les variations de S en
fonction de H, et de S en fonction de Bo doivent se compenser :
dS  h  db 
Pour que le débit soit maximum on doit avoir un périmètre minimum donc:
hdb   b  2 mh  dh  0
 b  2 mh  2 h 1  m 2

mh
 b  2mh  dh  0
dp  db  2 1  m 2 dh  0
b
 h 1  m 2  mh
2
hdb  2 h 1  m 2 dh  0
Sur la figure on remarque que :
b
 DC  OE
2
h
h 1 m2 
 CB
sin( )
mh  h cot( )  EB

h
OE  CB  EB
 OE  EB  OB  CB
 Le triangle OBC est donc isocèle et ses hauteurs correspondantes EC et OF sont donc
égales d'où : OD = OF
 Le profil de débit maximal pour un trapèze isocèle est donc celui qui est circonscrit à
un demi-cercle dont le diamètre coïncide avec la surface libre.
 Il est bien évident que pour une section S donnée il existe une infinité de trapèzes
circonscriptibles à ce cercle, mais le plus souvent, le fruit m des berges sera imposé par la
nature des parois du canal.
 m étant considéré comme une donnée, il ne reste que h comme variable et les
différents éléments de la section s'écrivent :
b  2h

1 m2  m
2
p  2h  2
S h
2


 m
1 m  m
2
1 m2
O
h
Rh 
2
B
E

d/2
F
h (1+m2)1 /2

D
b
Indépendant de la pente I
C
mh
h
Forme rectangulaire
La forme rectangulaire peut être considérée comme un cas
particulier du trapèze dans lequel m = 0. La condition de
débit maximum pour une section donnée s'écrit alors
p  4h
S  2h
2
b 2h
Rh
H

2
h
2h = b
SECTIONS VOÛTÉES (aqueducs)
Un aqueduc est un système de transport d'eau par des canaux couverts et des
canalisations (tuyaux) servant à amener l'eau d'un endroit, où elle est disponible
(source...), vers un autre, où elle est nécessaire (ville...) ; et ce, par le moyen de la
gravité, c'est-à-dire en utilisant la pente du terrain, par conséquent les lois de
l’écoulement sont les même que dans un canal découvert.
EXERCICE 1
Un canal trapézoïdal isocèle a une pente de 2.10-3 m/m. La rugosité des parois,
mesurée par le coefficient de Manning Strickler, est égale à 75.Les talus font
une pente de 35° avec l’horizontale. Le débit véhiculé est de 7,5 m3/s.
1°) Calculez h et b pour que la section soit économique. On suppose que le
mouvement est permanent uniforme.
2°) Calculez la profondeur critique pour le canal calculé ci-dessous. Précisez
quel est le régime d’écoulement. g = 9,81 m/s2
EXERCICE 2
Vous devez exécuter un canal capable de débiter 6,5 m3/s dans un terrain en
gravier sable-argileux qui impose une pente des talus de 2/3 (2 verticalement
pour 3 horizontalement). La pente longitudinale est de 0.0004.Déterminer la
section la plus avantageuse dans les deux cas suivants :
1°) Sans revêtement. Le coefficient de Strickler est de 40 et la vitesse maximale
admissible 0,6 m/s.
2°) Avec un revêtement ayant un coefficient de Strickler de 100 et supportant une
vitesse maximale de 2,5 m/s.
SECTIONS VOÛTÉES (aqueducs)
a. Profondeur de débit maximum
Comme on l'a vu plus haut, le débit dans une section voûtée
Q  k  S  Rh 2/3  I 1/2
croît avec la hauteur, puis décroît au voisinage de la voûte.
S
En effet, au voisinage de la voûte, le périmètre mouillé croît
Rh   Rh 2/3  S 2/3 p 2/3
p
plus vite que la section mouillée, et bien que la surface offerte
à l'écoulement augmente, il se produit une baisse de débit due Q  k  S 5 / 3  p  2 / 3  I 1/ 2
à la diminution de la vitesse.
dQ  0  d S 5 / 3  p  2 / 3  0
Débit maximum :

D'où la condition de débit maximum:

dp 5 dS

p
2 S
Remarque:
On utilisant la formule de Chézy on trouve

dp
dS
3
p
S

5 pdS  2 Sdp  0
3 pdS  Sdp  0
b. Profondeur de vitesse maximum
La formule de Manning - Strickler montre que le maximum de vitesse correspond au maximum
de Rh.
2/3
1/2
V  k  Rh
I
dV  dRh  0
S
dRh  d    0
 p
D'où la condition de vitesse maximum :
dp dS

p
S

p dS  Sdp  0
Cas de la section circulaire
Parmi les sections voûtées, la section circulaire est certainement celle que l'on rencontre le plus
fréquemment. Soit r le rayon de la conduite et β l'angle mouillé, on a :
r2

 
r2
r2
2
S    r  cos( )  sin( )   S    sin( )
2
2
2 
2
2
A

2


r
car sin( )  2  cos( )  sin( )
S    sin()  et p  r 
2
2
2
en différenciant on obtient :
dS 
B
 e
r=D/2
C
2
r
1  cos()  d et dp  r d
2

dp
dS
3
la condition de débit maximum s'écrivant (f de Chézy): p
S
on a le débit maximum pour :
3
1  cos(  )
d
d 
 2  3 cos( )  sin( )  0
  sin(  )

Cette équation est vérifiée pour : b= 308° et H = 1.9 D/2
La condition de vitesse maximum s'écrit :
on a la vitesse maximum pour :
dp
dS

p
S
1  cos()
d
d 
  cos()  sin()  0
  sin()

La solution est :
b= 258° et H = 1.63 D/2
H
Niveau théo. de débit max.
2r = D
1.9 r
Niveau théo. de vitesse max.
Rh(H)
1.63 r
1.5 r
Niveau pratique optimale
15 %
Q(H)
r = D/2
 = 308°
V(H)
0.5 r
 = 258°
 = 240°
0
Dans la pratique les résultats de ces deux calculs ne sont pas exploitables. En effet, la
tranche d'air ménagée entre la surface et la voûte est trop faible pour que l'on soit sûr que la
conduite ne se mette en charge ce qui provoque des effets pneumatiques néfastes pour la
conduite et le débit transité.
Dans la pratique, on choisit une hauteur plus prudente de b, ce qui correspond à un angle mouillé
de 240°. La perte de débit correspond à 15 % environ par rapport au débit maximum théorique.
rH=0.55
rQ=0.6
rV=0.05
EXERCICE 1
Un canal circulaire de 2m de diamètre a une pente longitudinale de 10-4 m/m et
un coefficient de rugosité k égal à 50 (Manning Strickler)
1) Calculez le débit véhiculé par ce canal pour θ1 = 160° (angle de mouillage)
2) Calculez θ2 pour que le débit soit double de celui qui a été trouvé au 1).
EXERCICE 2
Un aqueduc de 2 m de diamètre a une pente longitudinale de 10-4 m/m et un
coefficient de rugosité Ks = 75
1) Calculer le débit véhiculé par ce canal pour un remplissage h/d = 0,40
2) Calculer le nouveau remplissage de l’aqueduc pour que le débit soit le double
de celui qui a été trouvé au 1).
Evaluation de k dans les sections hétérogènes
Il arrive souvent que la nature des parois change le long du périmètre mouillé. On peut alors considérer une
: avec pour chacune un coefficient de Strickler propre k . On peut alors
succession de portions pi du périmètre mouillé
i
évaluer un coefficient de Strickler moyen k(valable pour la section supposée alors homogène) par la relation dite
d'Einstein


k 



P

pi
k
3/2
i






2/3
  pi  n
neq  n  

p

3/2
i
P1
P2
Pi



2/3
p: périmètre mouillé de la section totale
Utilisation de la formule de Strickler pour les sections complexes
Les cours d'eau naturels présentent parfois des
sections complexes dans lesquelles les vitesses sont
très contrastées. C'est en particulier le cas lorsqu'un
cours d'eau déborde de son lit mineur. Il convient
alors de séparer au mieux la section en différentes
zones approximativement homogènes (de surface Si
de périmètre pi et de Strickler ki). Ces zones seront
établies en extrapolant les ruptures de pentes telles
que le suggère la figure ci-contre. Ce découpage
établi, on appliquera la formule de Strickler
successivement à ces différentes zones et on sommera
les débits.
k1
ki
S1
P1
Si
Pi
Q   Qi  ki Si5/3 pi2/3 I