corrigé

Exercice (5 pts)
(Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité).
Dans cet exercice, a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs.
1. a) Démontrer que, s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1, alors les
nombres a et b sont premiers entre eux. (0,5 pt)
Soit d un entier naturel qui divise a et b.
On sait que d divise tout nombre de la forme ax + by, où x et y sont des entiers relatifs.
En particulier, d divise au + bv.
Comme au + bv = 1, on en déduit que d divise 1, donc que d = 1.
1 est donc le seul entier naturel qui divise a et b.
Donc PGCD(a ; b) = 1 et a et b sont premiers entre eux.
b) En déduire que, si (a2 + ab − b2)2 = 1, alors les nombre a et b sont premiers entre eux.(0,75 pt)
On va prouver qu’il existe u, v entiers relatifs tels que au + bv = 1
Il suffit de développer l’expression (a2 + ab − b2)2 et de montrer qu’elle peut s’écrire au + bv.
(a2 + ab − b2)2 =
=
=
=
[ a(a + b) − b2 ]2
a2(a + b)2 − 2a(a + b)b2 + b4
a [ a(a + b)2 − 2(a + b)b2 ] + b [ b3 ]
au + bv
avec u = a(a + b)2 − 2(a + b)b2 et v = b3
Donc si (a2 + ab − b2)2 = 1, alors il existe u, v tels que au + bv = 1, ce qui implique que a et b sont
premiers entre eux.
2. On se propose de déterminer les couples de nombres entiers strictement positifs (a ; b) tels
que (a2 + ab − b2)2 = 1. Un tel couple sera appelé « solution ».
a) Déterminer a lorsque b = a. (0,25 pt)
On remplace b par a dans l’équation (a2 + ab − b2)2 = 1.
On obtient (a2 + a2 − a2)2 = 1, ou encore a4 = 1.
Et enfin a = 1 (n’oublions pas que a et b sont des entiers naturels…)
Conclusion : (a ; a) est solution ó a = 1.
b) Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulières. (0,5 pt)
a = 1 ; b = 1 : d’après la question précédente, (1 ; 1) est solution.
a = 2 ; b = 3 : (22 + 2 × 3 − 32)2 = (4 + 6 − 9)2 = 12 = 1, (2 ; 3) est solution.
a = 5 ; b = 8 : (52 + 5 × 8 − 82)2 = (25 + 40 − 64)2 = 12 = 1, (5 ; 8) est solution.
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c) Montrer que si (a ; b) est solution et si a ∫ b, alors a2 − b2 < 0. (0,75 pt)
Si (a ; b) est solution, alors (a2 + ab − b2)2 = 1.
Cela implique que a2 + ab − b2 = 1 ou a2 + ab − b2 = −1.
1er cas : si a2 + ab − b2 = −1, alors a2 − b2 = −1 − ab.
Comme a et b sont positifs, −1 − ab est négatifs, a2 − b2 est donc aussi négatif.
2ème cas : si a2 + ab − b2 = 1, alors a2 − b2 = 1 − ab.
Comme a et b sont positifs et différents, un des deux est nécessairement supérieur ou égal à 2, ce
qui implique que ab > 1, ou encore que 1 − ab est négatif, a2 − b2 est donc aussi négatif.
Conclusion : si (a ; b) est solution, a2 − b2 < 0.
3. a) Montrer que si (x ; y) est une solution particulière différente de (1 ; 1), alors (y − x ; x) et
(y ; y + x) sont deux autres solutions. (1 pt)
Supposons que (x ; y) soit un couple solution. On a : (x2 + xy − y2)2 =1.
Avant de démontrer que le couple (y − x ; x) est une solution, il faut vérifier que les entiers
y − x et x sont positifs.
Or on sait d’après la question précédente que x2 − y2 < 0, comme x et y sont positifs, cela
implique que x < y.
Donc y − x est positif ainsi que x.
Calcul : (y − x)2 + (y − x)x − x2 = y2 − 2xy + x2 + yx − x2 − x2
= −x2 − xy + y2
= − (x2 + xy − y2)
Donc [ (y − x)2 + (y − x)x − x2 ]2 = (−1)2 × (x2 + xy − y2)2 = 1 × 1 = 1
D’où : (y − x ; x) est solution.
Pour le couple (y ; y + x) : les deux nombres y et y + x sont positifs.
Calcul : y2 + y(y + x) − (y + x)2
= y2 + y2 + xy − y2 − 2yx − x2
= −x2 − xy + y2
= − (x2 + xy − y2)
Donc [ y2 + y(y + x) − (y + x)2 ]2 = (−1)2 × (x2 + xy − y2)2 = 1 × 1 = 1
D’où : (y ; y + x) est solution.
Conclusion : si (x ; y) est solution, alors les couples (y − x ; x) et (y ; y + x) sont aussi solutions.
b) Déduire de 2.b) trois nouvelles solutions. (0,5 pt)
Les nouvelles solutions sont répertoriées dans le tableau ci-dessous :
Solution (x ; y)
(2 ; 3)
(5 ; 8)
Solution (y − x ; x)
(1 ; 2)
(3 ; 5)
Solution (y ; y + x)
(3 ; 5)
(8 ; 13)
Les trois nouvelles solutions sont (1 ; 2), (3 ; 5) et (8 ; 13).
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4. On considère la suite de nombres entiers strictement positifs (an)n œ définie par a0 = a1 = 1
et, pour tout entier n, n r 0, an + 2 = an + 1 + an .
Démontrer que, pour tout entier n, (an ; an + 1) est solution. En déduire que les nombre an et an + 1
sont premiers entre eux. (0,75 pt)
Raisonnons par récurrence :
Propriété Pn : « (an ; an + 1) est solution ».
Démontrons que Pn est vraie pour tout entier n r 0.
Initialisation : n = 0.
a0 = 1 et a1 = 1.
On sait que (1 ; 1) est solution, donc (a0 ; a1) est solution, P0 est vraie.
Hérédité
Soit n un entier naturel fixé.
Supposons que Pn soit vraie, c’est à dire que (an ; an + 1) soit solution.
Démontrons que Pn + 1 est vraie, c’est à dire que (an + 1 ; an + 2) est solution.
Comme (an ; an + 1) est solution, d’après la question 3.a), on sait que (an + 1 ; an + 1 + an ) est solution.
Or an + 1 + an = an + 2 .
On déduit donc que (an + 1 ; an + 2) est solution, ce qui implique que Pn + 1 est vraie.
Conclusion : pour tout n œ , (an ; an + 1) est solution.
D’après la question 1.b., on sait que si (a ; b) est un couple solution, a et b sont premiers entre
eux. On déduit que pour tout n œ , an et an + 1 sont premiers entre eux.
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