PTSI1 PTSIA

PTSI 1
PTSI A
PTSI1
PTSIA
Classe préparatoire PTSI 1
Lycée Vauvenargues
2016/2017
Devoir surveillé n ° 5
Vendredi 31 mars 2017 - 2h
■ CONSIGNES
ä Présentation et rédaction
La rédaction et la présentation comptent pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Ï Précisément, en terme de rédaction, il est rappelé que l’écriture des mathématiques consiste incidemment à faire des phrases dans lesquelles apparaissent, il est vrai, des symboles et formules. Mais un
texte mathématique ne peut en aucun cas se limiter à un empilement de formules et calculs. Il est également rappelé l’importance capitale des liens logiques (d’où, donc, parce que, car, d’après, alors, si,
si et seulement si, etc.) entre les différentes phrases de votre composition.
Ï En ce qui concerne la présentation, les consignes sont habituelles : soignez l’écriture, marge supplémentaire à droite, séparations franches entre toutes les questions, résultats encadrés, numérotation
exhaustive de vos pages.
Ï Des points pourront être enlevés en cas de non respect de ces consignes (on en est quand même au 5e
devoirs, il faut écouter ses professeurs !).
ä Outils autorisées ou interdits
Ï Feuilles petit carreaux si possible, de quoi écrire, souligner, encadrer, du brouillon, c’est tout.
Ï Aucun document, ni aucun appareil électronique n’est autorisé.
Ï Les smartphones ou appareils assimilés (genre montres connectées) doivent être au minimum en « mode
avion » ou encore mieux éteints, dans votre sac, et votre sac stocké avec tous les autres à l’endroit indiqué par le surveillant.
ä Composition du devoir
Ï Le devoir est constitué de trois petits problèmes indépendants et ils peuvent être traités dans l’ordre
que vous voulez.
Ï Cette fois, une seule copie est demandée pour l’ensemble du devoir.
Ï Ces trois problèmes seront à peu près équivalent en terme de barème.
■ Problème 1 - Calcul matriciel
Le but de ce problème est de calculer les puissances successives de la matrice suivante :


−1 2 0
A = −3 4 0
−7 7 1
1. On considère la matrice suivante :


−1 2 3
P = −1 2 2
−2 3 3
Calculer l’inverse de P (le fait que votre calcul aboutisse prouve au passage que P est inversible ce qui
n’est pas garantie a priori).
2. Calculer P −1 AP. Montrer que l’on obtient une matrice de la forme :


1 0 a
T = 0 1 0 
0 0 b
et préciser, bien sûr, les valeurs numériques de a et b.
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3. Dans cette question, on souhaite calculer les puissances successives de T.
Si vous n’avez pas réussi à inverser P et-ou à calculer les valeurs numériques de a et b, traiter cette
question en gardant a et b comme des « paramètres inconnus » dans vos calculs.
a) Calculer (au moins) les 5 premières puissances de T i.e. T n avec n ∈ [[1, 5]].
b) À la lecture des premières puissances, conjecturer une formule donnant T n . Si tout va bien, vous devriez conjecturer une expression de la forme :


1 0 xn
T n = 0 1 0 
0 0 yn
où (x n )n∈N∗ et (y n )n∈N∗ sont deux suites réelles que l’on explicitera.
c) Démontrer la formule précédente par récurrence sur n ∈ N∗ .
4. En déduire une formule explicite de An en fonction de n (cela se simplifie relativement bien).
5. À l’aide de cette formule, donner en particulier la valeur de A10 .
Un nombre de points significatif sera attribué à cette dernière question, certes purement calculatoire,
pour récompenser ceux qui seront arrivés complètement au bout du problème.
■ Problème 2 - Arithmétique
Si n ∈ N∗ , on note D(n) l’ensemble des diviseurs de n et σ(n) la somme des diviseurs de n. Par exemple :
©
ª
D(4) = 1, 2, 4
σ(4) = 1 + 2 + 4 = 7
Un entier n ∈ N∗ est dit parfait si σ(n) = 2n. Par exemple 6 est parfait car :
©
ª
D(6) = 1, 2, 3, 6
σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 × 6
1. Si p est un nombre premier, démontrer que σ(p) = 1 + p.
2. Si n est de la forme n = p α où p est premier et α ∈ N démontrer que σ(n) =
p α+1 − 1
.
p −1
3. a) Déterminer D(48) et σ(48).
b) On a évidemment 48 = 6 × 8. Déterminer σ(6) et σ(8) puis comparer σ(48) et σ(6)σ(8).
Que constate-t-on ?
c) Que vaut le PGCD de 6 et 8 ?
4. a) Déterminer D(56) et σ(56).
b) On a évidemment 56 = 7 × 8. Déterminer σ(7) et σ(8) puis comparer σ(56) et σ(7)σ(8).
Que constate-t-on ?
c) Que vaut le PGCD de 7 et 8 ?
On admet dans la suite de ce problème que la fonction σ est multiplicative, ce qui signifie que pour tout
¡ ¢2
(a, b) ∈ N∗ tel que PGCD(a, b) = 1 on a σ(ab) = σ(a)σ(b).
5. Soient a et n deux entiers supérieurs ou égaux à 2. Démontrer que si a n − 1 est premier alors nécessairement a = 2 et n est premier.
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Pour tout entier n ∈ N∗ , on note Mn = 2n −1. Ce nombre est appelé n-ième nombre de Mersenne. D’après
la question précédente, si Mn est premier alors n est nécessairement premier. La réciproque est fausse
mais ce n’est pas complètement évident car le plus petit contre exemple est M11 = 2047 = 23 × 89. Néanmoins, les nombres de Mersenne ont « de bonnes chances d’être premiers » et surtout il existe des tests
de primalité spécifiques et optimisés pour les nombres de Mersenne. C’est la raison pour laquelle la recherche de « grands » nombres premiers se focalise essentiellement sur ces nombres.
6. Soit p un nombre premier tel que Mp soit lui aussi premier.
a) Démontrer que 2p−1 et Mp sont premiers entre eux, c’est-à-dire que leur PGCD est égal à 1 (ou de
manière équivalente qu’ils n’ont aucun diviseur commun autre que 1).
b) Notons E p = 2p−1 Mp . Déduire de la question précédente la valeur de σ(E p ).
c) Démontrer que E p est un nombre parfait.
d) Démontrer que 8128 est un nombre parfait.
■ Problème 3 - Dénombrement
On tire (simultanément) 6 cartes dans un jeu de 32 cartes. On dit dans ce cas que l’on a une main de 6 cartes.
Déterminer (sans chercher à obtenir le résultat numérique explicite) le nombre :
1. N1 de mains de 6 cartes ;
2. N2 de mains de 6 cartes contenant 4 rois ;
3. N3 de mains de 6 cartes contenant 4 rois et 2 as ;
4. N4 de mains de 6 cartes contenant exactement 3 trèfles ;
5. N5 de mains de 6 cartes ne contenant aucun as ;
6. N6 de mains de 6 cartes contenant au moins un as ;
7. N7 de mains de 6 cartes contenant exactement 2 as et un cœur ;
8. N8 de mains de 6 cartes contenant au moins un roi et au moins un cœur.
d Fin de l’énoncé
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d
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