Chapitre3

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Electromagnétisme
Chapitre 3
TSI 2
Chapitre 3 : Théorème de Gauss et condensateur
I-
Commenté [A1]: Problématique :
Comment expliquer l’effet Faraday et l’effet de pointe
Théorème de Gauss :
a)
Vidéos du palais de la découverte
http://phymain.unisciel.fr/faire-taire-une-radio/
Flux du champ électrostatique à travers une surface fermée contenant une charge ponctuelle
Considérons une charge ponctuelle
à travers une surface
placée en
( origine du repérage sphérique) et examinons le flux du champ électrostatique créé
≡
sphérique fermée de rayon
⃗( )
=
=
⃗=
=
4
⃗.
4
Nous allons présenter au cours de ce chapitre une troisième
méthode permettant de calculer le champ électrostatique :
le théorème de Gauss. Cette méthode sera, on le verra, un
moyen rapide d’obtenir l’expression du champ dans les cas
de distributions présentant de hautes symétries.
centrée sur cette charge :
=
⃗
=
4
Le flux du champ électrostatique à travers la sphère
ne dépend pas de la taille de celle-ci, mais seulement de la valeur de la charge
qui
se trouve au centre de cette sphère (cette propriété est généralisable à une surface fermée quelconque).
b)
Commenté [A2]: La dépendance en 1
Flux du champ électrostatique à travers une surface fermée ne contenant pas de charge
Dans le cas d’une charge ponctuelle on peut dessiner le tube de champ ci-contre :
On peut considérer une surface
fermée constituée par la réunion d’une portion de tube de champ
⃗ ) et des deux surfaces
et
s’appuyant sur deux contours (auxquels on associe deux éléments de surface ⃗ = −
⃗ et ⃗ =
de surface
du champ
électrostatique et la dépendance en
de la surface se
simplifient et on obtient un flux constant indépendant de la
surface choisie. Ce résultat constant indépendant de la
surface est donc très logique.
Commenté [AM3]: Ce résultat est tout à fait
généralisable à une distribution plus complexe de charges
et une surface de Gauss de géométrie quelconque.
D’après le principe de superposition :
=
⃗. ⃗ = ∑ ∯
⃗ ⃗
∯∑
(auquel on associe des éléments de surface
⃗).
Exprimons le flux à travers cette surface fermée ne contenant pas de charge :
Par définition du tube de champ
⃗( )
=
=−
⃗=
⃗( )
⃗.
4
⃗+
⃗+
⃗( )
4
⃗ +
⃗( )
⃗.
⃗
La quantité
⃗. ⃗ correspond à la projection de ⃗ suivant
⃗ et donc à
:
-pour des charges dans alors pour décrire toute la
surface : = ∑
⃗=0
Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée ne contenant pas de charge est nul
c)
-Pour des charges extérieures ∯
⃗
⃗ = 0 à cause
du flux rentrant et sortant intégrés sous le même angle
solide mais au signe près. Donc =
Enoncé du théorème de Gauss
Le théorème de Gauss est la généralisation des propriétés précédentes à une distribution de charges quelconques.
Soit une surface
fermée pour laquelle la normale en tout point est, par convention, orientée vers l’extérieur. Le flux
électrostatique à travers la surface fermée
surface :
Avec
=∯
(appelée surface de Gauss) est proportionnel à la charge totale
du champ
enfermée dans cette
⃗ ( ) ⃗( ) =
point appartenant à la surface
de Gauss et centré sur
D’où :
d)
⃗=
( )
⃗ ⃗=∭
⃗
=
=∭
Commenté [A5]: On peut se convaincre à l’aide de cette vidéo
http://uel.unisciel.fr/physique/elecstat/elecstat_ch04/co/observer_
ch04_01.html
( )
En associant à la distribution de charges une densité volumique de charges ( ), on peut écrire (avec S surface de Gauss et
délimité par cette surface) : ∯
volume
( )
Ce bilan local de flux constitue l’équation de Maxwell Gauss
Symétrie et invariance du champ électrostatique
Le principe de Curie postule que le champ électrostatique possède les mêmes propriétés d’invariance et d’invariance que la distribution de
charges qui en est à l’origine. Il convient de ne pas confondre invariance et symétrie :
-
L’analyse des symétries de la distribution de charges peut nous permettre de déterminer la ou les directions du champ
électrostatique.
1
Commenté [A4]: Dans cette situation le champ électrostatique
est à flux conservatif
Et de cette vidéo
http://uel.unisciel.fr/physique/elecstat/elecstat_ch08/co/observer_
ch08_02.html
Commenté [A6]: En utilisant le théorème d’Ostrogradsky
Commenté [A7]: On retrouve que le champ électrostatique
est à flux conservatif dans une zone sans charge : des
lignes de champ parallèles sont donc associées à un champ
⃗ = 0 mais le champ n’est pas nul
uniforme. Attention
pour autant !!!
Electromagnétisme
-
Chapitre 3
TSI 2
Repérer les invariances de la distribution de charges c’est repérer la ou les variables dont ne dépend pas la fonction densité
(volumique, surfacique ou linéique) de charges et revient à connaître les variables dont ne dépend pas le champ électrostatique.
II1)
Conducteur, condensateur et capacité
Définition d’un conducteur
Un conducteur est un corps contenant des charges libres de se déplacer sous l’action d’une moindre force. Lorsqu’il est chargé, la situation
d’équilibre observée est celle minimisant l’énergie potentielle entre les charges et donc à une distribution surfacique. L’immobilité des
charges implique aussi que le champ soit nul à l’intérieur d’un conducteur à l’équilibre.
2)
Définition d’un condensateur
Commenté [A9]: http://www.ampere.cnrs.fr/parcourspedagogiq
ue/zoom/video/leyde/video/leyde.php?format=wmv
Un condensateur est constitué de deux conducteurs (conducteur A1 au potentiel
et conducteur A2 au potentiel
)
chargés (en surface), séparé par un isolant et dont l’influence électrique conduit à des charges de signe opposée +
et − . La charge
Commenté [AM8]: Plus rigoureusement, c’est une distribution
quasi-surfacique
accumulée sous la tension
entre les conducteurs vérifie
=
où
Commenté [A10]: Il suffit d’utiliser le théorème de Gauss pour
s’en convaincre
> 0 est la capacité du
condensateur [ ] = [ ].
3)
Modèle du condensateur plan :
a)
Description :
Il s’agit de deux surfaces S conductrices planes parallèles (A1 et A2) dont les dimensions sont grandes par rapport à
la distance
qui les sépare (pas d’effet de bords). Nous allons considérer chacune des armatures comme des plans
infinis et chargés respectivement avec une charge +Q et -Q
b)
Capacité du condensateur plan :
Le champ créé par le plan A1 (de surface ) uniformément chargé avec une densité surfacique de charges
le champ total entre les armatures est donné par : ⃗ =
⃗+
⃗=
⃗=
et
⃗. Donc
⃗=−
: ∫ ⃗.
⃗=
= −∫
. Dans le cas où le vide est remplacé par un isolant, alors :
=
=
=
Commenté [A12]: Cette relation est directe dans le cas d’un
condensateur plan sachant que le champ est uniforme :U =Ee
avec
=
est une constante relative au milieu isolant.
c)
Commenté [A11]: La méthode pour les autres types de
condensateur reste la même :
Obtenir E(Q)
Puis V(Q) à l’aide de la relation qui relie champ et potentiel
⃗
On obtient la relation entre la charge et la différence de potentiel en intégrant ⃗ .
On trouve alors la capacité du condensateur plan : =
=
est donné par : ⃗ =
Commenté [A13]: Il s’agit d’un isolant linéaire homogène et
isotrope
Energie électrique d’un condensateur
On considère le circuit suivant :
A = 0 le condensateur est déchargé (pas de charge sur les armatures)
A , le potentiel de A1 est
( ) et le potentiel de A2 est
A = ∞ la tension ( ) =
=
L’arrivée d’une charge −
sur
entraîne une charge +
On peut exprimer l’énergie électrique totale associée à ces charges élémentaires :
=
Donc si la charge finale est Q alors l’énergie électrique acquise par le condensateur est :
condensateur :
( )−
et le condensateur se charge avec une charge
énergie électrique donnée respectivement par : -
Sachant que U = e E et connaissant l’expression de la capacité C :
( ): ( )=
=
(
sur
et
.
−
)=
= ∫
( ) =
( )
vérifiant
=
. Donc, chacune de ces charges a une
=
=
=
. On peut alors définir une densité volumique d’énergie du
=
Une distribution de charges rayonnant, dans le vide, un champ électrique ⃗ est associée à une densité volumique d’énergie électrique
=
AN : Dans le cas d’un condensateur électrochimique sous 10V et de capacité 100µF alors l’énergie électrique emmagasinée est de l’ordre de
5mJ. En tenant compte de la géométrie d’un condensateur, on trouve une densité de l’ordre de quelques Joules par mètre cube !
2
Commenté [A14]: On peut comparer cette énergie à celle
nécessaire pour soulever de 1 m une charge de 1kg, soit 10 J : il est
difficile de stocker de grandes quantités d’énergies
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