Chap. 19 ALGEBRE LINEAIRE EN DIMENSION FINIE ∑ ∑ ( ∑ ∑

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Chap. 19 ALGEBRE LINEAIRE EN DIMENSION FINIE
Introduction
Dans ce chapitre, on définit la dimension d'un -espace vectoriel de la forme Vect F, F finie. On en étudie ensuite les
propriétés. L'étude d'un -espace vectoriel de dimension n se ramène à celle de 
n
, une fois choisie une base de
cardinal n et tous les calculs peuvent alors se faire matriciellement.
On met également en place le mécanisme matriciel permettant de faire des changements de base. Enfin, on étudie le
rang d'une application linéaire et on prouve qu'il est égal au rang du système linéaire associé à sa matrice.
§1 Espace vectoriel de dimension finie
On pourrait définir la dimension d'un sev comme étant le nombre de paramètres dans une écriture paramétrique, c.a.d
que la dimension du sev Vect F serait égale au cardinal de la famille génératrice F. Ainsi une droite u
t
et un plan
u
t
+ v
t
dans 
n
seraient de dimension 1 et 2 respectivement. Le problème c'est que ce cardinal peut dépendre de la
famille génératrice F choisie. On doit déjà se restreindre à une famille F qui est libre car alors aucun des vecteurs de F
n'est superflu. On va prouver effectivement que les familles à la fois libres et génératrices dans un sev ont toutes le
même cardinal.
1.1 Dimension
1.1.1 Définition (espace de dimension finie)
Un -ev est dit de dimension finie s'il possède une famille génératrice finie.
Un -ev est donc de dimension finie s’il peut s’écrire sous la forme Vect F avec F une famille finie de vecteurs.
1.1.2 Propriété
Soit E un -ev de dimension finie, engendré par une famille F de cardinal p.
Alors toute famille de cardinal ≥ p + 1 est liée.
Preuve
On écrit F = (u
1
, ... , u
p
) et on considère une famille G = (v
1
, ... , v
p + 1
) de p + 1 vecteurs. Montrons que G est liée.
Comme E = Vect F, on peut décomposer les vecteurs de G :
v
j
= ∑
i = 1
p
a
i , j
u
i
, 1 ≤ j ≤ p + 1
(noter que cette écriture n’est pas forcément unique).
On cherche les p + 1-uplets (λ
1
, ... , λ
p + 1
) tels que
∑
j = 1
p + 1
λ
j
v
j
= 0
∑
j = 1
p + 1
λ
j
v
j
= ∑
j = 1
p + 1
λ
j
∑
i = 1
p
a
i , j
u
i
= ∑
i = 1
p
( ∑
j = 1
p + 1
a
i , j
λ
j
) u
i
Il suffit donc que
∑
j = 1
p + 1
a
i , j
λ
j
= 0 , 1 ≤ i ≤ p.
On reconnaît un système linéaire homogène de p équation et d’inconnues λ
1
, ... , λ
p + 1
. On sait que le rang d’un tel
système est ≤ p (nombre de lignes). Il y a donc au plus p inconnues principales et donc au moins un paramètre. En
attribuant une valeur non nulle à ce paramètre, on obtient une solution non triviale pour (λ
1
, ... , λ
p + 1
). Cela prouve que
la famille G est liée.
Toute famille de cardinal ≥ p + 1 est donc aussi liée puisque contenant une sous-famille de cardinal p + 1 liée.

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1.1.3 Corollaire
Dans un -ev de dimension finie, le cardinal de toute famille libre est inférieur ou égal au cardinal de toute famille
génératrice.
1.1.4 Propriété
Dans un -ev E de dimension finie non réduit au vecteur nul, on peut extraire une base d’une
famille génératrice finie.
Preuve
Soit F une famille génératrice finie. Si F est réduit à {0}, c’est que E est réduit à {0} contrairement à l’hypothèse. Donc
F contient au moins un vecteur non nul.
Si F est libre, alors c’est une base de E. Sinon, parmi les vecteurs de F, l’un au moins s’exprime comme combinaison
linéaire des autres et on peut le retirer sans changer le Vect. En répétant ce procédé autant de fois que possible, on peut
extraire de F une famille libre sans changer le Vect de départ. On obtient ainsi une famille à la fois génératrice et libre.
1.1.5 Remarque
Il existe une autre façon de construire une base :
On démarre avec un vecteur u
1
non nul. La famille (u
1
) est donc libre.
De deux choses l’une : ou bien, pour tout vecteur x de E, la famille (u
1
, x) est liée et alors tout vecteur x est colinéaire à
u
1
; E est alors une droite vectorielle et (u
1
) est une base. Ou bien, on peut trouver un vecteur u
2
tel que (u
1
, u
2
) soit libre
dans E. On continue à rajouter ainsi des vecteurs : u
k + 1
∉ Vect(u
1
, ... , u
k
) tant que c’est possible. Comme le cardinal
d’une famille libre est plafonné, le procédé doit s’arrêter. C’est à dire qu’il existe p tel que (u
1
, ... , u
p
) soit libre et tel
que pour tout vecteur x de E, la famille (u
1
, ... , u
p
, x) soit liée. Dans ce cas, c’est que x ∈ Vect(u
1
, ... , u
p
) et la famille
(u
1
, ... , u
p
) est à la fois libre et génératrice dans E : c’est donc une base de E.
1.1.6 Propriété
Tout -ev E de dimension finie, non réduit à 0, possède des bases. Toutes les bases sont finies et ont
même cardinal.
Preuve
E contient une famille génératrice finie F par définition dont on peut extraire une base B d’après (1.1.4).
Considérons alors une autre base B’. D’après (1.1.3), le cardinal de la famille libre B’ est majoré par le cardinal de la
famille génératrice B. En inversant les rôles, le cardinal de la famille libre B est majoré par le cardinal de la famille
génératrice B’. On a donc card B = card B’.
1.1.7 Définition (dimension d’un -ev E)
Soit E un -ev de dimension finie non réduit à 0. Le cardinal commun à toutes les bases est
appelé dimension de E et noté dim E ou simplement dim E.
Par convention, un -ev réduit à son vecteur nul est de dimension 0.
1.1.8 Propriété
Le -ev 
n
est de dimension n.
Le -ev M
n , p
() est de dimension np.
Preuve
En effet, dans 
n
, on dispose de la base canonique qui est de cardinal n :
e
1
= (1,0, ... , 0) , e
2
= (0,1,0, ... , 0) , ... , e
n
= (0, ..., 0 ,1)
Tout n-uplet (x
1
, ... , x
n
) se décompose de façon unique sous la forme
(x
1
, ... , x
n
) = x
1
(1,0, ... , 0) + ... + x
n
(0,0, ... , 1)

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1.1.9 Propriété
Soit A ∈ M
n , p
(); alors le sev Ker A de 
p
formé par les solutions homogènes du système linéaire de matrice A est de
dimension p − rg(A).
Preuve
On a vu que la méthode du pivot qui conduit à exprimer rg(A) inconnues principales en fonction de n inconnues
secondaires, aboutit à Ker A = Vect(F) où card F est égal au nombre d'inconnues secondaires, c.a.d card F = p − rg(A)
et qu'en plus F est libre. Ainsi F est une famille à la fois génératrice et libre dans Ker A, donc une base et dim Ker A =
card F = p − rg(A).
1.2 Caractérisation des bases
1.2.1 D’après les résultats du § 1.1, dans un espace de dimension n, toute famille libre est de cardinal ≤ n et toute famille
génératrice est de cardinal ≥ n.
Le théorème suivant indique pour montrer qu’une famille est une base, on peut se contenter de prouver qu’elle est soit
libre, soit génératrice, sous réserve bien sûr qu’elle ait le cardinal attendu.
1.2.2 Théorème
Soit E un -espace vectoriel de dimension n.
i) Soit F une famille libre de vecteurs de E, de cardinal n, alors F est une base de E, c.a.d qu'on a
automatiquement E = Vect F.
ii) Si E = Vect F et card F = n, alors F est une base de E, c.a.d qu'une famille génératrice de
cardinal n est automatiquement libre.
Preuve (en classe)
1.2.3 Propriété (base de 
3
)
Toute famille ( u
t
,v
t
,w
t
) de 
3
avec u
t
,v
t
,w
t
non coplanaires est une base de 
3
(donc en particulier une famille
génératrice).
1.2.4 Propriété (famille de degré échelonné dans [X])
i) Soit (P
k
) une famille finie de polynômes non nuls telle que deg P
k
≠ deg P
l
pour k ≠ l . Alors la
famille (P
k
) est libre dans [X].
ii) En particulier, toute famille (P
k
)
k = 0…n
de degré échelonné dans 
n
[X] (c.a.d telle que deg P
k
= k
pour k = 0, … , n) constitue une base de 
n
[X].
Preuve (en classe)
1.2.5 Exemples
1) (1 , X , … , X
n
) base canonique de 
n
[X].
2) Pour a fixé dans , P
k
(X) = (X − a)
k
, 0 ≤ k ≤ n .
Les coordonnées dans cette base sont données par la formule de Taylor.
3) P
0
= 1 et P
k
(X) = X (X − 1) … (X − k + 1) pour 1 ≤ k ≤ n
Dans la pratique, on cherchera une base de 
n
[X] dans laquelle les calculs demandés sont les plus simples possibles.

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1.2.6 Théorème (de la base incomplète)
Soit E un -ev de dimension finie n.
Etant donné une famille libre F de p ≤ n vecteurs de E, on peut la compléter par n − p vecteurs pour obtenir une
base de E. On peut même la compléter par des vecteurs convenables tirés d'une base arbitraire fixée de E.
Preuve
Soit B = (e
1
, ... , e
n
) une base de E. Lorsque p = n, c’est que F est une base d’après (1.2.2) et il n’y a rien à prouver. On
suppose la propriété vraie pour un entier p ∈ ’1,n÷ et on la démontre pour l’entier p − 1.
Supposons donc card F = p − 1. Forcément, l’un des e
i
n’est pas dans Vect F sinon, Vect F contiendrait une base et F
serait une famille génératrice et libre, donc une base de E mais de cardinal p − 1 < n. Supposons pour fixer les idées que
e
1
∉ Vect F. Alors la famille F ’ composée des vecteurs de F et de e
1
est encore libre et de cardinal p. Comme la
propriété est vraie pour les familles de cardinal p, on peut compléter F ’ par des vecteurs de B , forcément n − p d’entre
eux, pour obtenir une base de E. Du coup, B peut-être complétée avec ces mêmes vecteurs auxquels on adjoint e
1
pour
obtenir la même base.
1.3 Calculs autour de la dimension des sev
1.3.1 Propriété
Tout sev F d'un -ev E de dimension finie n est lui-même de dimension finie ≤ n.
Preuve
Toute famille libre de F est une famille libre de E, donc de cardinal ≤ n. Si F est non nul, on procède comme en 1.1.5 :
on construit de proche en proche une famille libre (x
1
, … , x
k
) de vecteurs de F telle que x
k
∉ Vect (x
1
, … , x
k −1
) en
démarrant avec un vecteur x
1
non nul de E. On s'arrête lorsqu'on ne peut plus agrandir la famille. Si (x
1
, … , x
p
) est la
famille finale, alors pour tout vecteur x de F , la famille (x
1
, … , x
p
, x) est liée et x ∈ Vect(x
1
, … , x
p
). La famille (x
1
, …
, x
p
) est donc libre et génératrice dans F, c’est une base de F. De plus, p ≤ n, donc dim F ≤ dim E.
1.3.2 Propriété
Si F et G sont deux sev d'un -ev de dimension finie E tels que dim F = dim G et F ⊂ G alors F = G.
Preuve
Soit F une base de F. Alors card F = dim F = dim G. Par conséquent, F est une famille libre de G avec dim G vecteurs;
c'est donc une base de G et donc F engendre G et F = G.
1.3.3 Définitions
Soit E un -espace vectoriel quelconque
i) On appelle droite vectorielle d'un espace vectoriel E, tout sev de dimension 1
ii) On appelle plan vectoriel d'un espace vectoriel E, tout sev de dimension 2
Tout vecteur non nul x d'une droite vectorielle D en est une base. On note
D = x = {λx , λ ∈ }.
De même pour un plan P , si u
1
et u
2
sont deux vecteurs non colinéaires, la famille (u
1
, u
2
) est une base du plan et on
note
P = u
1
⊕ u
1
= {λ
1
u
1
+ λ
2
u
2
, λ
1
et λ
2
dans }
On appelle hyperplan vectoriel d'un espace vectoriel E de dimension finie n, tout sev de dimension n − 1

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1.3.4 Propriété
Soient F et G deux sev supplémentaires d'un -ev E de dimension finie.
Alors dim
K
F ⊕ G = dim F + dim G = dim E .
Toute réunion d'une base de F et d'une base de G donne une base de E.
Preuve (en classe)
1.3.5 Théorème
Soient E un un -ev de dimension finie n et F un sev de E de dimension p ≤ n.
Alors F admet au moins un supplémentaire dans E. De plus tous les supplémentaires de F
dans E sont de dimension n − p.
Preuve (en classe)
1.3.6 Exemple
Soit H un sev de dimension n − 1 dans un espace vectoriel E de dimension n. On considère un vecteur x ∉ H; alors H
et la droite vectorielle x sont des sev supplémentaires :
comme x ∉ H, la somme H + x est directe dans E. Mais dim (H ⊕ x) = n, d'où E = H ⊕ x .
1.3.7 Théorème (formule de Grassmann)
Soient F et G deux sev d'un -ev E de dimension finie.
Alors dim(F + G ) = dim F + dim G − dim(F ∩ G)
Preuve
Soit F' un supplémentaire de F ∩ G dans F. On a F + G = F' ⊕ G :
F' ∩ G ⊂ F ∩ G; or, F' ∩ (F ∩ G) = {0}, donc F' ∩ G = {0}
Soit x = y + z ∈ F + G ; y s'écrit y
1
+ y
2
avec y
1
∈ F' et y
2
∈ F ∩ G; donc x = y
1
+ (y
2
+ z) avec y
2
+ z ∈ G. On en déduit
que F' + G ⊃ F + G ; comme il est clair que F' + G ⊂ F + G, on a en fait F' + G = F + G d'où F + G = F' ⊕ G
On en déduit que dim (F + G ) = dim (F' ⊕ G ) = dim F' + dim G = (dim F − dim (F ∩ G) ) + dim G.
1.3.8 Propriété (sous-espaces de matrices)
i) S
n
(), A
n
() ainsi que l’espace des matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) sont des sous -espaces
vectoriels de M
n
().
ii) dim S
n
() = n(n + 1)/2 , dim A
n
() = n(n − 1)/2
Preuve (en classe)