Le Monde Perdu

I. L’arithmétique (très) élémentaire
I. L’arithmétique (très) élémentaire
Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. — 27 août 2014 1 / 32

I. L’arithmétique (très) élémentaire Les nombres de l’arithmétique élémentaire
I. Les nombres de l’arithmétique élémentaire
N: l’ensemble des nombres entiers naturels.
Deux opérations fondamentales (+,×), partout définies mais dont les
opérations réciproques (−,÷)ne le sont que partiellement.
Z: l’ensemble des nombres entiers, ou nombres entiers
rationnels.
Trois ( !) opérations fondamentales (+,−,×), partout définies mais
l’opération réciproque de la multiplication ne l’est que partiellement.
(Z; +,×)est un anneau commutatif (noté aussi (Z; +,·)).
En particulier, toutes les équations du premier degré à cœfficients dans Z, et dont
le cœfficient du terme de plus haut degré égale 1, c’est-à-dire du type :
x+b=0(b∈Z)
sont résolubles dans Z.
Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. — 27 août 2014 2 / 32

I. L’arithmétique (très) élémentaire Les nombres de l’arithmétique élémentaire
Q: l’ensemble des nombres rationnels.
Les quatre ( !) opérations fondamentales sont partout définies (en
dehors de la division par 0 . . . )
(Q; +,×)est un corps commutatif (noté aussi (Q; +,·)).
En particulier, toutes les équations du premier degré à cœfficients dans Q,
c’est-à-dire du type :
a·x+b=0(a,b∈Q)
sont résolubles dans Q.
On a
(N; +,·)⊂(Z; +,·)⊂(Q; +,·)
De plus, il y a une relation d’ordre, notée <, compatible avec les opérations
en question.
Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. — 27 août 2014 3 / 32

I. L’arithmétique (très) élémentaire La division euclidienne
II. La division euclidienne
Dans l’anneau Zdes nombres entiers, il n’y a plus que la division qui soit
partiellement définie.
Définition. Si a,det q∈Zsont tels que a=q·d, on dit que aest un
multiple de d.
Si d6=0, on dit aussi que ddivise a(ce qu’on note parfois d|a), ou que d
est un diviseur de a.
Par exemple, 8 divise 120 parce que 120 =15 ·8. On sait aussi que 8 n’est
pas un diviseur de 123 et que 20 ne divise pas −3. Mais on a aussi :
123 =15 ·8+3
−3= (−1)·20 +17
Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. — 27 août 2014 4 / 32

I. L’arithmétique (très) élémentaire La division euclidienne
Idée !
La division euclidienne, c’est faire plus, et mieux, que la division exacte, en introduisant la
notion de reste d’une division !
Théorème
Soient aet d∈Zavec d>0, alors il existe un et un seul nombre q∈Zet
un et un seul nombre r∈Ztels que :
1˚ 0 6r<d,
2˚ a=q·d+r.
Démonstration. Le nombre r— appelé reste de la division euclidienne de
apar d— est défini ici comme le plus petit nombre naturel dans l’ensemble
{a−z·d}z∈Z∩Z>0
Etc. 
Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. — 27 août 2014 5 / 32