Sur les nombres pratiques

Groupe d’étude en
théorie analytique
des nombres
M AURICE M ARGENSTERN
Sur les nombres pratiques
Groupe d’étude en théorie analytique des nombres, tome 1 (1984-1985), exp. no 21,
p. 1-13
<http://www.numdam.org/item?id=TAN_1984-1985__1__A4_0>
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Groupe d ’ é tude en
THÉORIE ANALYTIQUE DES NOMBRES
lre-2e années, 1984-1985, n° 21, 13
21-01
3 décembre 1984
p.
SUR LES NOMBRES
PRATIQUES
Maurice MARGENSTERN
1.
R ésultats.
1.1. Définitions et critères de
Un nombre
Tout entier naturel
de’
m .
est
prati ue
un
,
entier naturel ~~
nul,
r~n
praticité.
plus égal à
au
’Ce qui peut s’écrire :
nul vérifiant la
non
est
suivante :
de diviseurs distincts
somme
n, tel que
pour tout entier
propriété
n 03C3(m) ,
1
est
représentable
par les diviseur~ de a ou que les diviseurs de a représentent b, si b est
b est à portée de
a
a . On dit que
somme de diviseurs distincts de
si, et seulement si,
b
1 , ou si le plus petit facteur premier p de b vérifie
Dans le cas contraire, on dit que b est hors de portée de a .
et
a
b
étant deux entiers naturels
nuls,
non
dit que
on
b
=
étant
n
facteurs
entier naturel
un
premiers
avec
ql
non
nul. Soit
et les
qr
...
n =
sa
...
ai
décomposition
nuls. On définit
non
en
Q~ y ..’ y
par
Chaque
quotient
~
entier Qk
de
n
appelé préfixe
de
un
par
ses
de
n .
(D.
d
= n
... ,p
F.
la liste de
r
ses
Soit
entier naturel
un
n
remarque que si tout nombre
~ Ô ~ ’
les mêmes
Une caractérisation
THÉORÈME
2.
non
tout
n
(D.
M.
si, et seulement si,
sommes
nul, et
diviseurs par ordre croissant. Pour
tk = d1 + ... + dk .
dk+1 ’‘ tk 1 pour
dl ==
k
Le nombre
est
n
-
un
nombre
+
m, tel que
augmentées
plus puissante
de
se
convaincre
1 $ m #
d.
tk ,
qu’elle
est suffisante
est somme de
di
distincts
permettent d’ aller jusqu’à
(*)
Maurice
tk+1.
est fournie par le théorème suivant.
Un enti er naturel
non
chacune de ses terminaisons est à
nul es t
portée
du
un
nombre
préfixe
pratique
correspon-
dant.
MARGENSTERN, Mathématiques, Bâtiment 425,
9140 5 ORSAY CEDEX.
1 ,
avec
-
....201420142014201420142014201420142014201420142014-201420142014201420142014-
La condition est évidemment nécessaire. Pour
avec
de
préfixes.
ROBINSON). -
0 k r , on pose
pratique si, et seulement Si9
on
appelle terminaison
On
,
THEOREME 1.
d22 ,
est
Université
Paris-Sud,
°
21-02
COROLLAIRE 1. -Si
n o(m) + 1 ,
le
y
est
m
produit
un
COROLLAIRE 2. - Tout nombre
nombre
fixes
Il est
assez
est
mn
un
pratique plus ~rand
pratique sont
entier
pratique et n un
nombre pratique.
nombre
nul tel que
pair. Tous
est
1
que
non
les
pré-
pratiques.
des nombres
facile de voir que la condition du théorème 2 est nécessaire. La
suffisance découle immédiatement du lemme suivant.
LEMME 1. Si
mp~
duit
est
m
est
un
nombre
La démonstration
cr ( mp 11+ 1 )
a P n+ 1
a,
on
+ r
a(n)
a >
nombre pratique, et p un
pratique pour tout entier
fait par récurrence
se
sur
nombre
examine successivement le
Considérant
n.
et
avec
écrit alors
qu’on
a
p n+ 1
r
=
cas
cr(B)
premier
p
a f cr(m)
qu’on écrit
m, le pro-
en
un
entier
écrit alors
qu’on
base
p , et le
cas
où il est facile de montrer que
b
+
avec
n.
’
,
a=
un
b ~
Le théorème 2
On
permet d’améliorer
le
critère de
praticité
fourni par le théorème 1.
a
la liste de
... , d
viseurs par ordre croissant. Soit h le plus petit indice j pour lequel
Alors n est un nombre pratique si, et seulement si~
Soit n un entier
et
pair,
d2 ’
ses
di-
de
pratique, et si
est son plus grand diviseur pratique, si p est le plus petit facteur premier
n/m , alors tout diviseur de n est soit au plus égal à m , soit au moins égal
à
p .
La
m
suffisance
L’exemple
de
de la condition résulte de
102
=
6.17
montre
ce
que si
n’est pas
n
qu’il faut pousser parfois
le test
jusqu’à
l’ indic e
h .
1.2.
et
1
Quelques propriétés algébriques
2
sont des nombres
THEOREME 4. - Il existe
2
de
est
un
nombre
pratiques.
une
un
infinité de nombres
pratiques puisque
2,
on
nombre
toute
puissance
tire immédiatement le théorème 5.
5. - Le produit de deux nombres pratiques est
Donc le carre d’un nombre
est
Il résulte du lemme 1 le théorème suivant.
pratique.
Au corollaire 1 du théorème
THÉORÈME
pratiques.
des nombres
pratique,
pratique
est
10
ne
mais que
un
nombre
un
pratique.
l’est pas. On
a
nombre
pratique.
Observons que
100
le résultat suivant.
=
102
21-03
PROPOSITION 1. - Tout entier
et
pratique
Ce
un
non
multiple propre qui
qui résulte immédiatement
nombre
pratiques.
On
a
immédiatement des définitions la
nombre
un
pratique.
donc
nuls
non
toujours définies
sont
et D
M
multiple propre qui est
un
n-uple d’entiers naturels
On pose pour tout
Les fonctions
n’est pas
un
théorème 2.
du
l’ensemble des nombres
S
Soit
possède
nul
a ,
... ,
(i)
du fait de
et
an
(ii).
On tire
suivante.
proposition
PROPOSITION 2.
et le fait que l’entier naturel non nul
si,
n
tiques, que
... ,
n
et
a)
=
a2 =
un
... ,
a)
si
52 . Cependant
nombre
et
non
nombre
s
est
pratique,
un
nombre
fixe de
u
Doncy
si
q
pratique si
y
et seulement
sont des nombres pra-
30
2 . Donc
n’a pas
on
S .
Cependant y on peut
pratiques. Prendrey par exeuple,
a~e
on a
s)
deux nombres pratiques,
sont
s
est
pratique.
est à
pratique).
portée
d’un
de
préfixe
Par construction du
préfixe de
correspondante.
s) ,
un
de la terminaison
plus petit facteur premier
le
=
... ,y
Cela résulte de la remarque suivante : soit Q
q
et
si
PROPOSITION 3. - Si m
également
nombre
un
D(n) = n) . Observons que 20
pgcd( 20 , 30) = 10 et que D( 20 , 30)
(ou
avoir cette relation même pour des nombres
44
est
m
(ou
ppcm ,
de
on
s
peut
si
m
étant
qr
et
un
puisque
m
supposer que
ce
pré-
divise Q .
on a
... ~
donc
.
Par ailleurs :
PROPOSITION 4. - Soit
pratique
de
n
un
entier
n, et pour tout nombre
non
nul.
D(n)
est le
si,
pratique
plus grand
diviseur
et seulement
si,
~, D(n) .
La
première
assertion de la
proposition
se
déuontre
assez
aiséuent. La seconde
21-04
s’en déduit
considérant
en
pratique diaprés
De la
la
divise
et
n
qui est
un
nombre
proposition 3"
proposition 4
PROPOSITION 5. -
D(n» qui
=
Dl
on
jS~
tire la
b ,
a,
proposition 5.
sont des entiers naturels
e
nuls et si
non
ajc
alors
On
a
~
enfin le théorème
,
THEOREME 6. -
pratiques
En
T~~ 2014 n(~’
-n~
~
Soit
tels que
D
effet,
si
un
entier pair
D2
nul. Il existe
non
soit également
D + d
et
Dl
sont deux nombres
plus petite solution positive
la
ul
d
Soit
n u1
n u~ + d
u2
infinité de nombres
chercher
sous
pratiques vérifiant
d.2k
la forne
et
nombre
pratiques
infinité de nombres
pratique.
tels que
l’équation n u + d = 0
est un nombre pratique ainsi
de
Il n’est pas difficile de montrer que
où
est le quotient de
n~ u2 ’
un
une
par
que
Il suffit de construire
~~ .
une
la relation ci-dessus. Il suffit de les
pour des
et
h
exposants
k
existe
infinité de nombres pra-
judicieusenent
choisis.
Il résulte
tiques n
en
particulier
tels que
1.3. Analogies
m +
avec
2
de
soit
S(x)/x
Alors
-->
0
S(x)
on
qu’il
un
nombre
des nonbres
x --> +
S(x)
se
une
pratique.
premiers.
pratiques. -
le cardinal des nombres
quand
L’assertion concernant
si
également
les noubres
1.3*1* Densité de répartition
7. - Soit
théorème
ce
On
a
le théorème suivant.
pratiques au plus égaux à
00 .
démontre selon des méthodes
connues
sait démontrer que
On observe alors que
m
k
=
est
0 ,
un
nombre
... ,
pratique si, et seulement si,y
En particulier, si n est un
-
car on
/
0
nonbre
B
démontre immédiatement à partir du théorène 1 que
pour tout
pratique
(cf,
par
x .
21-05
Il résulte de
analogue
théorème que l’on
ce
premiers,
On pose
entier
M
=
et
ne
soit
pa1
nul tel que
m.axl..$:l..lII (N , ù(u)
à
non
avec
... ,
>
2K . On définit
1) .
+
nombres
Uh
nuls fixés. On
peut construire
N
ni
nl
...
et tels
pratique.
premiers
la suite des nombres
p~’’*y P
non
n ,
nombre
un
caractère constructif à cette propriété.
un
deux entiers
N
pairs consécutifs
d’eux
qu’aucun
donner
peut
on
K
THÉORÈME 8. - Soient
nombres
pratiques une propriété
nombres composés. Comme
non
théorème des blocs de longueur arbitraire de
au
pour les nombres
K
pour les nombres
a
Soit
le
Pj
= 2«(Pl ’
’ii
Pi ,
pairs consécutifs,y supérieurs à
té qu’aucun des nombres U n’est pratique
nombre
premier
pj)a + h) démontre
où h = 1 ,
N , et
des nombres
pratiques
a
moins égal
au
... ,
sans
on
(détails
et
et
... ,
y
plus petit
... ,
Une ninoration de la densité des nombres
=
plus égaux à 2K ,
au
K sont
grande difficul
[.6~).
dans
est donnée par le théorème ci-
dessous.
S(x) désignant
THÉORÈME 9. -
réel
où
positif
pour
est
constante strictement
A
une
L’idée de la démonstration
l’ordre de
r +
en
log log
x ,
on
...
qu’alors
...
...
est
qk
des choix
sq
sa1
y
=
un
dans
[61)
et
supérieure
est
une
prenant
est la suivante :
x.2’~ ’ ,
nombre
au
( y , 2y C ,
on
au
Yk
y
=
où
k
de
r
l’intervalle
partage
(0 , y)
=
constante fixe. On choisit
nombres
plus égal à
intervenir
une
choisit
on
Les conditions
pratique.
ces
et
un
nombre
On établit par récurrence
2y ( .
1’expression figurant
peut prendre A
=
plus égaux
positive.
reste inférieur à
différents de
q qui est
q r faisant
au
nombre
un
r
norée par
On
y
pratiques
grand,
assez
(détails
pose
pratique s de l’intervalle
chaque intervalle (yr+l-k ,
sq1
x
intervalles dont la borne
1
On constate
qu’à
le cardinal des nombres
correspondent
x .
sur
s
premier
sur
k
et les
dans
qk
que
qi
assurent
des valeurs différentes de
Le nombre des entiers de la forme
estimation
grossière
dans le membre de droite de
03C0(203B1) - 03C0(03B1)
de
l’inégalité
est midu théorème.
2 t- /~ /5 .
1.3.2. Nombres pratiques et progressions géométriques. - On
a
tout d’abord la pro-
position suivante.
PROPOSITION 6. - Soient
existe
un
existe
une
nombre
pratique
infinité.
a
au
et
moins
b
deux entiers naturels
égal à
a
et congru à
non
b
nuls~
module
a>b . S’il
a , il
en
21-06
Cela résulte de
que,y entre
ce
et
s
(s E S ) ,
2s
y
peut trouver
on
D’après le lemme 1, spn est un nombre pratique pour
prend s ~ a, pétant premier avec a, il existe une infinité de
(mod a) .
pour lesquelles pn 55 1
nier
tout
> s .
p
argument permet d’établir
PROPOSITION 7. - Soient
existe
un
entier
k
b
nombre
module
pratique
au
deux entiers naturels
b
et
a
égal à
moins
congru à
a
suite strictement croissante
et
une
a
tels que pour tout norbre
congru à
,
b
module
a .
C’est
ce
et
b
le
pgcd
un
nombre
de
a, il existe
module
pf
premier
pratique
un
un
pratiques congrus à.
quelque soit n.
~
moins
au
a > b . S ’ii
nuls,
égal à
a
a >
Soit
et
que donne le théorème 10.
pratique
a
d
de
D(a , b) .
par
ne
a
égal à
moins
au
deux entiers naturels
et congru à
a
soit pas divisible par
au
moins
proposition 6
a/d (de
divise pas
ne
tiers
n
n
et
assez
étant à
p
en
utilisant
sorte
portée
un
nombre
un
modulo
b
de
quotient
un
de
D(a, b)
de
p à portée
=
aura
existe
qu’il
qui permet
celui
bpn b(mod a) pour
nombre
D(a , b), bpn est
qu’on
d
premiers à portée
des nombres
premier
b .
est que le
a
argument analogue à
La suffisance de la condition relevé d’un
démontrer la
nuls,
non
b . Une condition nécessaire et suffisante pour
et de
a
de
tout
n
,
THEOREME 10. - Soient
qui
b
non
de nombres
m
Il r.::ste à caractériser l’existence d’un nombre
on
suivante.
proposition
la
Si
n .
valeurs de
y
Ce même
nombre pre-
un
infinité d’en-
une
pratique
pour
grand ) .
La condition est nécessaire :t soit
a =
et
da
b =
db
non
n
nul. Si tous les
premiers à portée de D( a ,y b) divisent a. ~ les diviseurs premiers de
les
ai n + b I sont hors de portée de D( a ,y b) . Comme D(a, b) = D(pgcd(a , b))
sont hors de portée de
diviseurs premiers de d qui ne divisent pas
D( a , b) . De ce fait, an + b n’est pas un nombre pratique.
nombres
y
contient soit
conséquence, une progression arithmétique
pratiques, soit aucun, soit un seul (au cas ou
Ce dernier cas se rencontre, par exemple, avec
En
théorème n’aborde pas le
1. Observons que si
bres
pratiques
l’étude des nombres
0
et
a
congrus à
Comme les nombres
où
cas
b
b
sont
module
b
pratiques
pratiques
=
0 . Mais
si,
autres que
1
de la forme
infinité de nombres
lui-même serait
b
nombre
un
pratique)
4
les nombres de la forme 12n + 2 . Le
cas
ce
premiers entre
a
une
est résolu par la
eux, il y
et seulement
sont
a une
si,
pairs,y
on
infinité de
est
a
proposition
impair.
peut supposer
et
b
nom-
pour
sont pairs et que
an +
b
non)
de termes consécutifs de la progres-
que
a
b ~ a .
On
sion
appelle séquent toute suite
arithmétique
sont des nombres
termes.
an +
(finie
qu’un séquent est pratique
un séquent fi ni, sa longueur
b . On dit
pratiques~
Pour
ou
si tous
ses
termes
est le nombre de
ses
21-07
THÉORÈME
11. - Soient
n = D(a , b),
il
majorée
est
b
On considère les nombres
module
soit
li
Comme
Donc
k llr -
2
des
aucun
divise
ne
p1
a(n
+
portée de n .
k) correspondant
+
sion
Pour
a
=
pratiques.
comme
sont
b
an +
2 ,
en
k)
+
k)
a(n
progression
k)
avec
Couine
al
et
de
b~
+
b.
+
h)
+
+ j)
+
dont tous les
module
période au plus
est égal
facteurs premiers
on en
sont
bl
de
module
y
li
.
sont
déduit que le nonbre
pratique.
noubre
un
3
si
suivanteo
p
pair plus grand
n
n’est pas
qu’au
moins
a un
reste
premier
portée
égale à 5 pour la longueur des segments
on excepte le séquent 2 , 4 , 6 , 8
borne
une
ce
uiers sont hors de
et
n
la
fait
proposition
n , n + 2 , n + 4 , n + 6
(k ~ 1)
de
=
PROPOSITION 8. - Pour
k + 3
Soit
a .
+ 1 ~u(D(a))+l
proposition 4, et
indiquer que les seguents pratiques les plus longs de la progresà chercher lorsque b
0 , ce que l’observation confirme.
Cette borne est
Cela résulte de
b
reste p
D(a , b) = D(d) ,
=
n’est pas
le théorème donne
le montre la
... ,y
périodique
+
+
a 1 (n
Comme m
suite
une
b1
+
b
de la
Les restes de
module ~ .
D(a, b) 1 D(a) d’ après
le théorème semble
1),
+
tel que le
h
entier
premier
donc hors de
b
un
des restes de
un
premiers à portée
b = dbl .
parcourt N constituent
quand j
fi
a(n
+
Y
reste
un
b
b + an,y
entre eux, il existe
premiers
b
avec
1 .
par
d = pgcd(a ,
pose
nuls
non
séquents pratiques
Alors la longueur des
an +
pairs
la suite des nombres
p. y ... , p
.- p 3. ...
arithmétique
deux entiers
b
e’c
a
de
un
que
nombre
un
des
2, au moins
pratique.
nombres
quatres
6
module
k ,
des
un
k
+
de sorte que tous
quatre nombres
k
1 ,
ses
+
2 ,
facteurs pre-
2 .
qu’une progression arithmétique ne peut janais contenir
2n est un nombre pratique, l’exde séquent pratique infini. Cornue pour chaque n
ponentielle est un exemple de fonction f telle que, pour chaque n y f(n) soit
Le théorème 11 montre donc
9
un
nombre
pour les
pratique. Qu’en est-il si f est polynôme à coefficients entiers ? Comme
nombres premiers, la réponse est négative comme l’établit le théorème sui-
vant.
THÉORÈME 12. - Soit
de valeurs de
de
f
A E
Z .
en
On
hors de
bres
telles
peut écrire
portée
de
une
il.
premiers à portée
on
degré
y
1
et
peut écrire
f(n) =
mB
où
moins
au
que
f(n) :~ C
tel que
n
série de Taylor,
suffit de trouver
de
E
n
effet, soit
En
f
B =
m
une
infinité
D()f(n))) . Par le développement
où
-r hf(n)))1 ==1 f(n) l11 + hA}
=
que
1 ,
Il suffit pour cela que
r~ .
1 . Il existe
ne soit pas un nombre pratique.
infinité de valeurs de
de
égal à
ou
h
B
pour
h
est hors de
portée
lesquelles1
+
de m . Il
hAl
soit
soit divisible par tous les
nom-
21-08
Observons
si r:;.
car
cependant qu’il
est pratique, u
a une
+
1 ~~ ~o(n)+
spécifiques
1.4. Propriétés
infinité de nombres
y
no:...bï°es
aux
et donc
1 ,
et
dé j à
On sai t
qu’il
m
l’est aussi.
usuelles
sur
les nombres
pratiques.
que
égalité
a
y
n2+n
de la forme
pratiques.
1.4.1. Comportement des fonctions artithmétiques
-
pratiques
proque. En voici
autre démonstration
une
PROPOSITION 9. -
2. M. R. HEYWORTH
pour les puissances de
Si
Li
est
un
la preuve de la
nonbre
avec
a
déuontré la réci-
proposition
suivante.
distinct d’une puissance de
pratique
2,
2Li .
où
On écrit
en
p est
le
a ~ 1 ,
et
k
plus petit facteur premier
de
k . Donc
y
est
pratique,
p
a(2a)
+
1
=
2a+l ,
On établit
dans [6]
On
fait établir des résultats plus
peut
en
impair. Donc
et donc
2m
précis.
En
soit
effet,
N ~. 2 ,
Soit
~
03BB
un
+ 1 p)
03C0+~n=1(1
n~~
pn
rI
=
2k
P
n=..I.
E
réel
est
est dense dans
pratiques
divergent,
où
où
on
(2 ,
+
n
+
~[
et
peut trouver
e >
N
0
et
on
parcourt
~[ .
est la suite des nombres
p
n
[1 ,
annoncé.
parcourant S ,
que, pour m
PROPOSITION 10. - L’ensemble des rationnels de la forue
l’ensemble des nombres
comme
premiers.
fixé. Comme le produit
K
assez
grand pour que
Pour
21-09
A] ~ ¿ ,
k
prendre
assez
grand pour qu’également
un
assez
grand. Or
pratique.
nombre
où
PROPOSITION 11. - L’ensemble des rationnels de la forme
l’ensemble des nombres
En
qui
ce
concerne
pratiques
et
cj
PROPOSITION 12. - Pour tout nombre
0,
parcourt
m
1/2) .
est dense dans
les fonctions
peut
on
proposition suivante.
la
argument analogue permet d’ établir
Un
soit
m
est
k
fixé,
étant
K
et
N
si
la
on a
pratique pair
m ,
on a
log
d(n)
avec
première inégalité
La
rel
si
car
La seconde est triviale. La relation
n .
on
(1),
découle de
rème 9. Si
m
=
î1(m)
=
03A9(m) lopour
gm
est évidente méme
lim inf
-
m-to:>
pratiques construits
qr ,
sq....
i
lim sup
2 . Pour établir
fait abstraction des puissances de
suffit de considérer les nombres
sur
tout entier natu-
Îl(s)
m
, il
dans la démonstration du théo-
r , et
+
03A9(m) log m
l
log
log
r
est de l’ordre de
log log m , d’où le résultat.
su£ la, fonction FI . - Dans le but de cette étude, on introduit
nouvelle fonction Q , définie de la façon suivante. Pour tout entier naturel
1.4. 2.
une
n
non
_Préci,sÉons
Q(n)
nul,
est le
quotient
?’i(n)
de
par définition. Il résulte de la définition de
pour tous entiers
On
a
non
Q(p)
est
Il existe
La
(cf. [lJ
un
nombre
eux.
positive
assertion s’établit
%.
323).
On
prend
tel que
B
gauche.
p -
premier impair
1 , où
on a
Q(pn)
=
Q(p),
m
=
Q(p)
p ),
nombre premier impair,
B
On sait
1 . Si
>
alors
qu’il
plus grand que
n
(on
pour tout nombre
n ,
grande difficulté. Dans les inégalités du
sans
telle que, pour tout entier
impair,
~-
telle que, pour tout
A
il reste à démontrer celle de
B
et tout entier
p
pratique.
constante
une
première
théorème,
positive
o(m)
Q(n)n
donc
13. - Pour tout nombre premier
et
=
N que
entre
premiers
nuls
?’i(n)
n , de sorte que
par
on
grand pour
calcul simple
existe
3 ,
une
ú(n) ~
suppose, pour
que
un
montre que
mp
ne
peut être
Bn log log
p
un
nombre
n
premier
2B log
assez
de sorte que
constante
pratique.
21-10
De
ce
(3),
théorème et de
on
tire le résultat suivant.
COROLLAIRE. - Pour tout entier
Q(p)
Si
tier
un
22
n =
pratique
nombre
Q(n)
quelconque,
n
exemple
On
est
pour
1, on a
pour tout nombre crémier impair
n’est pas,
en
générale
un
nombre
p, pour
pratique.
un
en-
Prendre par
lequel Q = 3 .
le théorème suivant.
a également
14. - La fonction
la fonction
conséquent,
plus gra.nd que
n
est croissante
Q
est strictement
N
sur
les nombres
les
croissante sur
effet, soit p un nombre premier,y et m
et, d’après le théorème 2, mq est a fortiori
premier q inférieur à p . Donc Q(q) ~m .
En
=
Q(p) . p
nombre
un
premiers et, par
nombres premiers.
est donc à
portée
de
m
pour tout nombre
pratique
D’où le corollaire
COROLLAIRE. - Pour tout entier naturel
de
plus grand f ac teur premier
On observe que la fonction
aux
premiers, est à
nombres
n,
Q
1 , si
plus
ny
désigne
q
le
Q(n) ~ Q(q) .
~ , restreinte
surjective car
n’est pas strictement croissante.
valeurs
n’ y est
mais
dans 8 ,
pas
Q-l(28) = ~ .
PROPOSITION 13. S =
pairs. Soit
est la
Si 03B1
de
puissance
~
2.
’’ u’
Soit sl’ s 2 , ... ,
et
s
s. , s2
2
+ n -
1
et donc
n
n ’~
la suite des nombres pratiaues
...
M
= M(s1
de
2
divisant
M
-
...
plus grande puissance
divisant S , comme
n
~
n
--n-1~,-’
,
1
... ,,
sn) .
Alors
ls,
S22 ’
... ,
sn) ,
plus
on a
grande ,
.
aisément
d’où le résultat.
2
Conjectures.
âur la base d’observations faites à l’aide des ordinateurs du C . I. R. C. E.
d’Orsay,
on
peut
formuler
un
certain nombre de conjectures
(cf. [5J
Soit
CONJECTURE 1. - Il existe
quand
une
constante réelle
posit~.ive ~~.
telle que
~:~ S (x~ ~ ~
x
x --> + ~ .
Gn en tire aisément
sous
Cette
hypothèse,
S(x) ~ ^ x log x
quand
x 2014>
+ ~ ,
21-11
sk ~ 1 03BB
que
et que le
k log
k ,
n S(1
produit
Les observations
Soit
=
est le
1/m)
+
est
~
S ;
m ~
x
&
À -
2
n +
S} .
e
constante réelle
3. -
II existe
une
infinité de noubres pratiques
soient
également
des nombres
n+4
On sait
(proposition 8)
positive
est le seul
avec
m
E-
S ,
numériques suggèrent
ordre moyen
un
égal à
ô
=
Ti
1
2! 1/2
1
tels que
n
n +
ô
et
-
v
d
de
2
avec
l/A(iog m)~~ .
’,1,
’VB1J
telles que
longueur
-
log 2 . On peut attendre pour
CONJECTURE 5. - II existe des constantes réelles
positives
1/2
telle que
séquent pratique
CONJECTURE 4. - Il existe deux constantes réelles
positives
ô
1 telles que
1/2
Les observations
d(m) ,
.:! ’V(’
’
avec
et
CONJECTURE 6. - Pour tout
m
et
tels que
s
n
=
m +
entier pair
n
non
nul,
Ce
pair
3.
ou
pratiques
1
est
sonne
de d eux nombres
premiers.
qui équivaut,
contre que
Historique
existe deux nombres
s .
CONJECTURE 7. - Tout entier naturel plus ~rand
que
pratiques
et
1
sous
l’hypothèse
de la
est somme d’un nombre
conjecture 6, à énoncer : Tout entier in-
pratique
et d’un nombre
premier.
développements.
Le
premier article consacré aux nombres pratiques semble être celui de A. K.
SRINIVAS.AN en 1948 [8]. L’auteur se contente d’y donner une définition très
proche
de celle
qui
est donnée ici.
,
pratiques.
que 2,4,6,8
dans la suite des nombres pairs.
4
ce
Alors
une
et
+
1 , 3 .
CONJECTURE 2. - II existe
CONJECTURE
=
m
divergent.
numériques sucèrent
cardlm
03A3
1
nes
k-ièI’1e nombre pratique pair, que
21-12
STEWART de 1954
L’article de B.
ticité
fonction de la
en
nul. Il
décomposition
HEYWORTH
Ils donnent
la
plus
non
([7] et [3])
1980
un
découvrent
autre critère de
question
les
sur
de tout nombre rationnel
distinctes. Les articles de D. fi’.
égyptiennes
en
premier à caractériser la prapremiers d’un entier naturel non
nombres pratiques si ce n’est une
être le
facteurs
en
décomposition
nouvelle démonstration de la
densité des nombres pratiques ?
une
[9] parait
contient pas d’autre indication
ne
fractions
existe-t-il
question :
Il pose seulement la
un
1979 et de M. R.
nombres.
ces
praticité (théorème
de la densité. Dans
en
somme de
en
1 de cet
addendum à
son
article)
sans
aborder
R. HEYWORTH
article,
retrouve le critère de Stewart.
lignes, après l’exposé qu’il
article récent de M. HAUSMAN et H. SHAPIRO de 1984 [2J sur
G. TENENBAUM
sujet,
ce
un
a
signalé à l’auteur
de
considère la fonction
nombres.
nombre m
plus égal à
au
f(n)
soit
f(n) égale
est
n
f(n)
~n . Ces auteurs établissent que si
(
est la constante
y
n ~ sauf
un
nombre
À e )0 ,
d’Euler),
finiy
il existe
On
peut sans
graphe 1.
il
en
une
doute trouver
une
relation
x ~
1/3 ,
mêmes
entier tel que tout
nombre
pratique si,
11 >
si
1
ces
sur
n .
Il résulte
et seulement
f(n) 3. ~ B (n)
si,
pour tout
pratique et que pour tout
nombres non pratiques tels que
entre ce résultat et le théorème 3 du para-
résulte que
M. HAUSMAN et H. SHAPIRO démontrent
et que, pour tout réel
un
alors pour tout
infinité de
plus grand
de diviseurs distincts de
somme
aisément des définitions qu’un entier
au.
fait
a
ces
n
est
également
l’intervalle
un
nombre
que
(x,
x +
contient
au
moins
un
particulier, tout intervalle de la forme (x2(X + 1)2)
contient au moins un nombre pratique puisque le carré d’un nombre pratique l’est).
Concernant la densité des nombres pratiques, H. DELANGE n’ a signalé que de l’inégalité de gauche de la proposition 12, on tire, par des arguments classiques, que
nombre
pratique
(donc,
en
S(x) = 0(x/(log x)03B1) d’où 03B1 = 1 - 1 + log log 2 log 2 = o,086...
G.
l’exposé qu’il a présenté devant le groupe de travail, le
TENENBAUM a indiqué (voir [10]) un résultat beaucoup plus précis
nu
par
Lors de
une
gence
1,
1985,
S(x)
obte-
sur
méthode de crible
Cependant,
ture
7 janvier
n’est
résultat, non contradictoire avec la densité déduite de la conjecpas assez précis pour statuer sur le corollaire concernant la diverrecensent, J. P. KAHANE à démontré que
1/m . Or,
ce
21-13
pour 03A3m~S 1/m ).
formule initialement
indépendant
c~ ,~ t~ ~ c?
La preuve repose
où
,
Sv
cie la fome M =
étant 11 ensemble des entiers
p1 = 21 p2 - 3 , Pj premiers
j == 2,3 ,
v
...,
1,
-
1
1/v
r
..
12)
et donc
est
S
t
pour
Pj
...
un
ensemble de nombres pratiques
..
’
Par
SV ,
-
avec
pv
,
à, l’aide
v
1
c-
ailleurs,y pour
V
V
.
p2
p1,
..
~_
cet encadrement s’obtenant par "réduction" de
r-
On observe que
et
p2
p~
quadratfroi et que
.
lo~ log m
(cf. proposition
v
,
V
signale qu’on retrouve l’encadrement des
G.
songes
voisines
considère
com-e
qu’il introduit dans la méthode
plansible la conjecture S(x)""
-t
par des estimations de
de crible citée
(cf. L-LO])
et
qu’il
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