Corrigé

Corrigé IE4 Mécanique 2008-2009
Exercice I :
1.
r
uTT 
−=
,
θ
uNN 
−=
,
( )
θ
θθ
uumgP r
cossin +=
. En projetant la RFD, on obtient
=−
=−
θ
θ
θ
maNmg
maTmg r
cos
sin
2. On applique le théorème de Huyghens :
( )
2
2
22
31
33
1
ηδ +=+= ma mmaI
Oy
. Donc, par définition,
yOyO
uIL  θ =
.
( )
yO
umgPM 
θδ
cos=
,
( )
0
 =TMO
,
( )
0
 =NMO
car ces 2 forces passent par O. En utilisant l e
théorème du moment cinétique, on en déduit que :
θδθ
cosmgI
Oy
=
. Par conséquent,
θθδθθ cos
 mgIOy =
,
ce qui donne en intégrant, , la constante d’intégration étant nulle avec les conditions imposées. On e n
déduit la formule (A) sans difficulté.
3. Par définition,
2
2
1
θ
Oyc
IE =
. EP=mgz avec z l’al ti tu de . Ic i l ’origine est prise (par exemple) lorsque la
tartine est horizontale au départ. On a donc,
θδ sinmgE
P
−=
. Si l’énergie mécanique totale est
conservée, sachant qu’à t=0, cette énergie est nulle, on en déduit que pour tout instant t,
θδ
sinmgEE Pc =−=
. En remplaçant le moment d’inertie par sa valeur, on retrouve facilement (A).
4. Pendant la chute libre, la tartine tourne évidemment autour de G. La seule force agissant sur la tartine
étant son poids qui agit en G, le moment total des forces est nul :
( )
0
 =PM
G
. On en déduit que la vitesse
angulaire est constante et vaut donc ω0. Par conséquent,
2
)( 0
π
ωθ
+= tt
en prenant l’origine des temps au
moment où la tartine s’écarte de la table.
5. On a une chute libre et la hauteur de chute est ∆z=h-2a. l’a c célé rat ion e st g et donc, on obtient
rapidement
2
2
1
)( gttz −=
d’où la formule demandée en rem plaçan t z par ∆z. On trouve τ=0,36s , il se ra
donc difficile de rattraper la tartine ‘en vol’.
6. En faisant le dessin qu’il faut, on se rend compte que
2
3
π
θ
=
l
. Ainsi, la tartine a tourné de π et a mis le
temps τ pour cela. D’après 4, on a donc
πτω =
0
. Finalement,
2
0
2
22
2
ω
π
τ
=
−
=gah
. On obtient alors la
relation vérifiée par ηmin :
013 2=+−
αηη
et donc
64
2
−±
=
αα
η
. En effectuant l’application numérique,
une seule valeur est physique et donne 0,021. En conséquence, la tartine a de grandes chances de
tomber ‘du mauvais coté’.
7. Si la table est plus haute, la tartine aura plus de temps pour tourner et aura plus de chances de tomber
du bon côté. Si la tartine est plus grande, a augmente et malheureusement, τ diminue ce qui diminue les
chances de tomber du bon côté. Enfin, la forme de la tartine fixe le moment d’inertie de la tartine et
m od if ie al or s l’ensemble des résultats.
Exercice II :
Le corrigé détaillé se trouve en page 92 du polycopié de cours. Ici, il faut rajouter la vitesse de translation
tt uVV 
0
=
. La formule finale à trouver est modifiée en :
( )
ϕθ
rrRV =++
0