Corrigé

Corrigé IE4 Mécanique
Exercice I :
1.T = −T ur , N

= − N uθ
,
2008-2009
mg sin θ − T = ma r
mg cosθ − N = maθ



P = mg (sin θ u r + cosθ uθ )
. En projetant la RFD, on obtient
1
3
2. On applique le théorème de Huyghens : I Oy = ma 2 + mδ 2 =
()

  

LO = I Oyθ u y .M O P = mgδ cosθ u y
,
( )



MO T = 0
,
( )



MO N = 0
(
)
ma 2
1 + 3η 2 . Donc, par définition,
3
car ces 2 forces passent par O. En utilisant le
théorème du moment cinétique, on en déduit que : I Oyθ = mgδ cosθ . Par conséquent, I Oyθθ = mgδθ cosθ ,
ce qui donne en intégrant, , la constante d’intégration étant nulle avec les conditions imposées. On en
déduit la formule (A) sans difficulté.
1
I Oyθ 2 . EP=mgz avec z l’altitude. Ici l’origine est prise (par exemple) lorsque la
2
tartine est horizontale au départ. On a donc, E P = −mgδ sin θ . Si l’énergie mécanique totale est
3. Par définition, E c =
conservée, sachant qu’à t=0, cette énergie est nulle, on en déduit que pour tout instant t,
. En remplaçant le moment d’inertie par sa valeur, on retrouve facilement (A).
E c = − E P = mgδ sin θ
4. Pendant la chute libre, la tartine tourne évidemment autour de G. La seule force agissant sur la tartine
étant son poids qui agit en G, le moment total des forces est nul : M G (P ) = 0 . On en déduit que la vitesse
angulaire est constante et vaut donc ω0. Par conséquent, θ (t ) = ω0 t +
π
2
en prenant l’origine des temps au
moment où la tartine s’écarte de la table.
5. On a une chute libre et la hauteur de chute est ∆z=h-2a. l’accélération est g et donc, on obtient
1
2
rapidement z (t ) = − gt 2 d’où la formule demandée en remplaçant z par ∆z. On trouve τ=0,36s, il sera
donc difficile de rattraper la tartine ‘en vol’.
6. En faisant le dessin qu’il faut, on se rend compte que θ l =
3π
. Ainsi, la tartine a tourné de π et a mis le
2
temps τ pour cela. D’après 4, on a donc ω0τ = π . Finalement, τ 2 = 2
h − 2a π 2
= 2 . On obtient alors la
g
ω0
α ± α2 −4
. En effectuant l’application numérique,
6
une seule valeur est physique et donne 0,021. En conséquence, la tartine a de grandes chances de
tomber ‘du mauvais coté’.
7. Si la table est plus haute, la tartine aura plus de temps pour tourner et aura plus de chances de tomber
du bon côté. Si la tartine est plus grande, a augmente et malheureusement, τ diminue ce qui diminue les
chances de tomber du bon côté. Enfin, la forme de la tartine fixe le moment d’inertie de la tartine et
modifie alors l’ensemble des résultats.
relation vérifiée par ηmin : 3η 2 − αη + 1 = 0 et donc η =
Exercice II :
Le corrigé détaillé se trouve en page 92 du polycopié de cours. Ici, il faut rajouter la vitesse de translation


Vt = V0 ut . La formule finale à trouver est modifiée en :V0 + (R + r )θ = rϕ