Corrigé

EXAMEN ANNEE 2014-2015
Licence Economie 2eannée
1re SESSION 3eSEMESTRE
Matière : Statistiques et probabilités – Éléments de correction Durée : 2H
Exercice I (30 min, 5 points)
On considère une variable aléatoire continue Xde densité fXreprésentée ci-dessous :
8-1 0 1 2 3 4 5 6 7
0,5
x
fX(x)
1) Le graphe ci-dessus correspond bien à une densité car la fonction est positive (courbe au dessus de l’axe des x),
continue (courbe continue) sauf en 1; 3; 4 et 6et d’intégrale égale à 1(aire entre la courbe et l’axe des xégale à l’aire de
2 triangles (1=4 chacun) et d’un rectangle (1=2).
2) En justifiant graphiquement vos réponses, déterminer les probabilités suivantes :
a) P .X < 1/ DP .X > 6/ Dcar la densité est nulle sur 1; 1 et sur Œ6; C1Œ.
b) P .3 6X64/ D1=2 car c’est l’aire du rectangle entre xD3et xD4.
c) P .1 6X63/ D1=4 car c’est l’aire du triangle entre xD1et xD2.
d) P .3 6X67/ D3=4 car c’est l’aire du rectangle précédent et du triangle entre xD5et xD6.
e) P .2 6X65/ D1=2 car c’est l’aire du rectangle précédent.
3) La courbe est symétrique par rapport à xD3:5. On en déduit que 3:5 est la médiane et l’espérance de X.
4) La variable Xvarie (avec une probabilité non-nulle) entre 1et 6. D’où 13:5 6XE.X/ 663:5. Les variations
de Xautour de sa moyenne sont donc inférieures à 2:5. Il en est donc de même de son écart-type X.
Exercice II (30 min, 4 points)
En moyenne, un automobiliste eectue le trajet en voiture via la N21 de Limoges à Périgueux en 1h30. On suppose que
la durée Xdu trajet de cet automobiliste (exprimée en minutes) suit une loi normale. (Rappel : 1 h = 60 min)
1) On observe que dans 10 % des cas, l’automobiliste eectue le trajet en plus de 1h45. On sait donc que X ,!N.90; /
et que P .X >105/ D0:10. On a donc
P .X >105/ D0:10 ”PX610590
D0:90 H) 105 90
Dz0:90 D1:285 H) D11:67
2) On suppose que Xsuit (approximativement) une loi N.90; 12/.
a) La probabilité que l’automobiliste fasse le trajet en moins de 1h10 est
P .X 670/ DPX67090
12 DP .X 61:66/ D1P .X61:66/ D10:9515 D0:0485
b) On sait que E.X/ D90. Donc P .X 690/ D0:50. La probabilité que le trajet dure entre 1h10 et 1h30 est donc
P .70 6X690/ DP .X 690/ P .X 670/ D0:5 0:0485 D0:4515

c) On cherche la durée maximale Mdu trajet les trois-quarts du temps, c’est-à-dire
P .X 6M /0:75 H) PX6M90
12 D0:75 H) M90
12 Dz0:75 D0:675 H) MD98:1
Exercice III (30 min, 5 points)
En 2010, on considère que 2 % des automobilistes de France métropolitaine circulent sans permis de conduire. Soit X
le nombre d’automobilistes sans permis parmi 125 automobilistes contrôlés (au hasard).
1) Le contrôle de 125 automobilistes correspond à un tirage sans remise de 125 automobilistes. Toutefois, le nombre
d’automobilistes circulant étant très supérieur au nombre controlé, on peut considérer que le tirage est eectué avec
remises. On compte le nombre d’automobiliste circulant sans permis dont la proportion dans la population est pD
0:02. D’on X ,!B.125; 0:02/.
2) Le nombre moyen d’automobilistes sans permis peut-on s’attendre à trouver (parmi les 125 contrôlés) correspond
à l’espérance de X, soit E.X/ D125 0:02 D2:5.
3) La probabilité qu’aucun des 125 automobilistes contrôlés soit sans permis est
P .X D0/ D 125
0!0:0200:98125 0:0:08
4) La probabilité qu’au moins 2 des 125 automobilistes contrôlés soient sans permis est
P .X >2/ D1P .X < 2/ D1P .X D0/ P .X D1/
P .X D1/ D 125
1!0:0210:98124 0:2042
P .X >2/ 10:08 0:2042 D0:7158
5) Comme nD125 est grand et pD0:02 petit, on peut approcher la loi binomiale par la loi de Poisson P.2:5/. Dans
la table, on peut lire P .P.2:5/ 68/ 0:9989. C’est la probabilité qu’au plus 8 des 125 automobilistes contrôlés soient
sans permis.
Exercice IV (20 min, 4 points)
Une brigade de gendarmerie teste une nouvel alcootest. Les résultats observés sont les suivants :
– lorsque la personne a consommé de l’alcool, le test se révèle positif dans 95 % des cas ;
– lorsque la personne n’a pas consommé d’alcool, le test se révèle (faussement) positif dans 3 % des cas.
Ce test a été expérimenté dans une zone géographique où 2 % des conducteurs conduisent en état d’ébriété.
1) On note POS l’événement « le test sur l’individu contrôlé est positif » et ALC l’événement « l’individu contrôlé a
consommé de l’alcool ». D’après l’énoncé, on a les probabilité suivante :
P .POSjALC/D0:95 P .POSjALC/D0:03 P .ALC/D0:02
2) D’après la formule des probabilités totales, la probabilité qu’un individu contrôlé soit déclaré positif est
P .POS/DP .POSjALC/P .ALC/CP .POSjALC/P .ALC/
D0:95 0:02 C0:03 0:98 D0:0484
3) D’après la formule de Bayes, la probabilité qu’un individu controlé positif ait eectivement consommé de l’alcool
est
P .ALCjPOS/DP .POSjALC/P .ALC/
P .POS/D0:95 0:02 0:0484 0:3925
4) D’après le dernier calcul, l’utilisation de ce test donne plus de 60 % de faux positifs (10:3925). Il n’est donc pas
raisonnable de continuer à l’utiliser !
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