MSV31 TD 1

Université d’Evry Val d’Essonne
L2 SDV - MSV31
Année universitaire 2016-2017
TD 1 - Rappels
(Statistiques descriptives - Probabilités)
Exercice 1
Un test quantitatif de la charge virale permet de mesurer la quantité de virus dans un mililitre
de sang. Ce test est utilisé pour déterminer une infection du VHC (Virus Hépatite C). Le test
par PCR (réaction en chaîne de polymérase) détecte la présence de l’ARN du VHC dans le sang,
révélant ainsi une infection active. La série suivante représente la charge virale de dix patients
exprimée en 104 UI/ml :
x1
43
x2 x3 x4
63 57 65
P
P 2
On donne :
xi = 650 et
xi = 45370
x5
95
x6
62
x7
82
x8
41
x9
90
x10
52
1. Quelles sont les variables mesurées ?
2. Tracer l’histogramme
3. Calculer la moyenne, une médiane, les quartiles, les valeurs extrêmes et éventuellement
le(s) mode(s).
4. Calculer la variance, l’écart-type et l’amplitude.
5. Construire la boîte à moustaches (boxplot)
Solution :
1. Une seule variable mesurée : la charge virale
2. Choisir par exemple des classes de longueurs 10 ou 20.
3. x̄ = 65 ; m = 62.5 ; q1 = 52 ; q3 = 82 (beaucoup d’autres réponses possibles pour
médiane et quartiles) ; pas de valeurs extrêmes ; mode déterminé par le centre de la
classe de l’histogramme la plus fréquente (dépend donc du choix des classes).
4. s∗2 ≈ 346.67 et s∗ ≈ 18.62
5. .
Exercice 2
Un pépiniériste conditionne des bulbes de fleurs. On conviendra qu’un bulbe germe s’il donne
naissance à une plante qui fleurit. On considère que le pépiniériste dispose d’un très grand
nombre de bulbes et que la probabilité qu’un bulbe germe est de 0,83. Il prélève au hasard
successivement quinze bulbes de ce stock. On note D la variable aléatoire correspondant au
nombre de bulbes qui germent.
1. Quelle est la loi de D ?
2. Quelle est la probabilité qu’exactement 5 bulbes choisis germent ?
3. Quelle est la probabilité qu’au moins 9 bulbes germent ?
4. En moyenne, sur un prélèvement de 15 bulbes, combien vont germer ?
Solution :
1. X ∼ B(15, 0.83)
2. P(X = 5) ≈ 0.00002
3. P(X ≥ 9) ≈ 0.993
4. E(X) = 12.45
Exercice 3
Les cultures de tissus végétaux peuvent être infectées soit par des champignons, soit par des
bactéries. La probabilité d’infection par champignons est de 0, 15. La probabilité d’infection par
bactéries est de 0, 08.
1. Quelle est la probabilité d’une infection simultanée par champignons et bactéries :
(a) dans le cas où les infections sont indépendantes ;
(b) dans le cas où (les infections n’étant pas indépendantes) la probabilité d’infection par
bactéries sachant qu’on a une infection par champignons est égale à 0, 04.
2. Calculer la probabilité d’infection, quelle qu’en soit l’origine (dans le cas où les infections
sont indépendantes uniquement).
Solution :
Soit B l’evt ’le tissu est infecté par des bactéries’ et soit C l’evt ’le tissu est infecté par un
Champignon’.
1. (a) P(B ∩ C) = P(B) × P(C) = 0.15 ∗ 0.08 = 0.012
(b) Si P(B|C) = 0.04, P(B ∩ C) = P(B|C) × P(C) = 0.04 ∗ 0.15 = 0.006
2. P(B ∪ C) = P(B) + P(C) − P(B ∩ C) = 0.08 + 0.15 − 0.012 = 0.218
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Exercice 4
Des relevés effectués dans la population ont permis d’établir que le périmètre crânien d’un enfant
de 3 ans peut être modélisé par une variable aléatoire gaussienne de moyenne 50cm et de variance
4cm.
1. Déterminer la probabilité des événement suivants :
(a) un enfant de trois ans a un périmètre crânien inférieur à 45cm ;
(b) un enfant de trois ans a un périmètre crânien supérieur à 52.5cm ;
(c) son périmètre crânien est compris entre 49cm et 51cm.
2. Déterminer les valeurs `1 et `2 tels que
(a) 5% des enfants de trois ans ont un périmètre crânien plus petit que `1 ,
(b) 12% des enfants de trois ans ont un périmètre crânien plus grand que `2 .
Solution :
Soit X la variable aléatoire décrivant le périmètre crânien.
1. Lecture dans la table de la fonction de répartition d’une N (0, 1).
(a) P(X ≤ 45) = Φ 45−50
= Φ(−2.5) = 1 − Φ(2.5) = 0.0062,
2
52.5−50
(b) P(X > 52.5) = 1 − Φ
= 1 − Φ(1.25) = 0.1056,
2
49−50
(c) P(49 < X ≤ 51) = Φ 51−50
−
Φ
= Φ(0.5) − Φ(−0.5) = Φ(0.5) − (1 −
2
2
Φ(−0.5)) = 2Φ(0.5) − 1 = 0.383.
2. Lecture dans la table des fractiles d’une N (0, 1).
(a) on cherche `1 : P(X ≤ `1 ) = 0.05, c’est-à-dire `1 tel que
`1 − 50
`1 − 50
Φ
= 0.05 ⇔
= Φ−1 (0.05) = u0.05 ,
2
2
d’où `1 = 50 + 2u0.05 = 50 − 2u0.95 = 50 − 2 × 1.6449 = 46.71cm.
(b) De même, on cherche `2 : P(X > `2 ) = 0.12, c’est-à-dire `2 tel que
`2 − 50
`2 − 50
1−Φ
= 0.12 ⇔
= Φ−1 (0.88) = u0.88 ,
2
2
d’où `2 = 50 + 2u0.88 = 50 + 2 × 1.175 = 52.35cm.
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Exercice 5
Un éleveur possède un troupeau de 150 vaches qu’il veut répartir dans deux étables A et B pouvant chacune accueillir la totalité du troupeau. Pour ne pas "traumatiser" ses bêtes, il décide
de ne pas leur imposer une étable ; les bêtes se répartissent de façon équiprobable et indépendante dans l’une ou l’autre des étables. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de vaches
choisissant l’étable A.
1. Quelle est la loi de probabilité de X ?
2. Donner, après justification, une approximation de la probabilité de l’événement : "le
nombre de vaches choisissant A est supérieur ou égal à 80".
3. Momentanément, pour raison de travaux, chaque étable ne comporte que N places disponibles (N ∈ [75, 150]).
(a) Exprimer à l’aide de X et N l’événement : "Toutes les vaches trouvent une place".
(b) Déterminer la valeur minimale de N pour que la probabilité de soit supérieure à
0.9.
Solution :
1. X ∼ B(150, 0.5)
L
2. n ≥ 30 et np = 75 ≥ 10 : d’après TCL, X −→N (75, 6.12).
P(X ≥ 0.8) = P(
80 − 75
X − 75
≥
) = 1 − 0.7939 = 0.2061
6.12
6.12
3. .
(a) = [150 − N ≤ X ≤ N ]
(b) P()P( 75−N
6.12 ≤
X−75
6.12
≤
N −75
6.12 )
⇔
N −75
6.12
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≥ 1.645 ⇔ N ≥ 86