charges et courants surfaciques et linéiques, relations de passage

Charges surfaciques
C’est une modélisation pour un système de faible épaisseur ε comme une feuille de papier.
On passe d’une distribution volumique à une distribution surfacique en faisant ε → 0 .
La charge d2q = ρ(M )εd2 S
2
2
s’écrit alors d q = σ(M )d S
avec σ = lim (ρε) , ce qui entraîne
ε →0
que pour une telle modélisation, ρ → ∞
ε →0
σ(M , t ) s’appelle densité surfacique de charges (en C ⋅ m-2 )
Charges linéiques
C’est une modélisation pour un système de faible section S comme un fil.
On passe d’une distribution volumique à une distribution linéique en faisant S → 0 .
La charge dq = ρ(M ) S dl s’écrit alors dq = λ (M )dl avec λ = lim (ρS ) , ce qui entraîne que
S →0
pour une telle modélisation, ρ → ∞
S →0
λ (M , t ) s’appelle densité linéique de charges (en C ⋅ m-1 )
Courants surfaciques
Ce sont en réalité des courants volumiques qui traversent une surface εdl orientée par le
r
vecteur
normal
N
:r
r
r r
r
r
r
r
dI = J ⋅ dS = J ⋅ εdlN = ρvεdlN = ρεv ⋅ dlN
On passe d’une distribution volumique à une distribution surfacique en faisant ε → 0 :
r
r
On a donc dI = σv ⋅ dlN car σ = lim (ρε)
ε →0
r
r
r
r
Finalement dI = J S ⋅ dlN avec J S = σv vecteur densité surfacique de courants ( A ⋅ m-1 ),
tangent par construction à la surface qui porte les courants.
Courants linéiques (circuits filiformes)
r
Ils traversent en réalité une surface S orientée par le vecteur normal N :
r r r
r
r r
I = J ⋅ S = J ⋅ S N = ρS v ⋅ N
On passe d’une distribution volumique à une distribution linéique en faisant S → 0 .
r r
On a donc I = λv ⋅ N = λv car λ = lim (ρS )
S →0
4. CONTINUITÉ / DISCONTINUITÉ SPATIALE DES CHAMPS
À LA TRAVERSÉE D’UNE DISTRIBUTION
SURFACIQUE DE CHARGES ET DE COURANTS
r
4.1 Champ électrique E
— Dans une modélisation surfacique, la charge volumique ρ → ∞ , ce qui ne permet pas
r ρ
d’utiliser l’équation de Maxwell-Gauss divE =
. On revient donc à une distribution volumique
ε0
d’épaisseur ε que l’on fait tendre vers 0 :
Dans ce passage à la limite, le champ peut subir une discontinuité spatiale selon z (mais pas
selon x ni y).
— M.G fournit :
On en déduit
ε→0 :
r
∂E z
→ ∞ : il y a discontinuité de la composante normale de E , et lorsque
∂z ε →0
ε
ε


E z  z =  − Ez  z = − 
∂E z
2
2 ρ
ε
 ε  ρε


=
≈
⇒ Ez   − Ez  −  =
et par passage à la limite ε → 0 :
ε
ε0
∂z
2
 2  ε0
σ
E z (0 + ) − E z (0 − ) =
puisque σ = lim (ρε ) .
ε →0
ε0
On note ainsi : E 2N − E1N
r
r

E
=
E
(z = 0− )
σ
 1
où EN est orienté de 1 vers 2 et  r
=
r
ε0
E2 = E ( z = 0 + )
r
r
∂B
fournit :
— M.F rot E = −
∂t
→
∂E y
∂E x
et
sont bornés : il y
∂z
∂z
r
a continuité de E x et E y donc continuité de la composante tangentielle de E , ce que l’on
Les termes bornés quand ε → 0 sont soulignés. Il en résulte que
note E2T = E1T .
r
r
σ r
N1→ 2 , que l’on appelle
— En résumé, on peut écrire la formule intrinsèque E 2 − E1 =
ε0
relation de passage.
r
4.2 Champ magnétique B
— Dans une modélisation surfacique, la charge volumique ρ → ∞ soit J = ρv → ∞ , ce qui ne
r
→ r
r
∂E 
permet pas d’utiliser l’équation de Maxwell-Ampère rot B = µ0 J + ε0
 . On revient donc à
∂t 

une distribution volumique d’épaisseur ε que l’on fait tendre vers 0 :
Dans ce passage à la limite, le champ peut subir une discontinuité spatiale selon z (mais pas
selon x ni y).
— M.A fournit :
∂By
→ ∞ : il y a discontinuité de la composante tangentielle By
z
ε →0
∂
r
r
(orthogonale à J S ) de B , et lorsque ε → 0 :
On en déduit
ε
ε


By  z =  − By  z = − 
ε
 ε
2
2

−
≈− 
= µ0ρv ⇒ By   − By  −  = −µ0ρεv et par passage à la
∂z
ε
2
 2
limite ε → 0 :
∂By
By (0 + ) − By (0 − ) = −µ0σv = −µ0J S puisque σ = lim (ρε ) et que J S = σv .
ε →0
r
∂Bx
On en déduit aussi que
est borné, donc que la composante tangentielle Bx de B selon
∂z
r
J S est continue.
r
— M. Φ divB = 0 fournit :
∂Bz
est borné : il y a continuité de Bz donc continuité de la composante
∂z
r
r
B1 = B( z = 0 − )
r
normale de B , ce que l’on note B2N = B1N , avec  r
r
B2 = B( z = 0 + )
Il en résulte que
r
r
r
r
— En résumé, on peut écrire la formule intrinsèque B2 − B1 = µ 0J S ∧ N1→ 2 , que l’on appelle
relation de passage.
r
r
r
r
r
r r r
On a en effet en utilisant la base ( ex , ey , ez ) : B2 − B1 = µ0J S ex ∧ ez = −µ0J S ey
r
r r
Bx (0 + ) = Bx (0 − )
(B2 − B1) ⋅ ex = 0

 r
r r
⇒ (B2 − B1) ⋅ ey = −µ0J S soit ⇒ By (0+ ) − By (0 − ) = −µ0J S
r r
 r

+
−
(B2 − B1) ⋅ ez = 0
Bz (0 ) = Bz (0 )
Ces relations sont bien celles trouvées plus haut.