charges et courants surfaciques et linéiques, relations de passage

Charges surfaciques
C’est une modélisation pour un système de faible épaisseur ε comme une feuille de papier.
On passe d’une distribution volumique à une distribution surfacique en faisant 0
→
ε
.
La charge S
22
d)(d ερ= Mq s’écrit alors
S
SS
S
22
d)(d Mq σ
σσ
σ=
==
=
avec
)(lim
0
ρε
ρερε
ρε=
==
=σ
σσ
σ
→
→→
→ε
εε
ε
, ce qui entraîne
que pour une telle modélisation, ∞→ρ
→ε 0
)
,
(
t
M
σ
σσ
σ
s’appelle densité surfacique de charges (en
-2
m
C
⋅
⋅⋅
⋅
)
Charges linéiques
C’est une modélisation pour un système de faible section S comme un fil.
On passe d’une distribution volumique à une distribution linéique en faisant 0
→
S
.
La charge ld)(d SMq
ρ
=
s’écrit alors l
ll
l
d
)
(
d
M
q
λ
λλ
λ
=
==
=
avec )(lim
0
S
S
ρ=λ
→
, ce qui entraîne que
pour une telle modélisation, ∞→ρ
→0S
)
,
(
t
M
λ
λλ
λ
s’appelle densité linéique de charges (en
-1
m
C
⋅
⋅⋅
⋅
)

Courants surfaciques
Ce sont en réalité des courants volumiques qui traversent une surface ld
ε
orientée par le
vecteur normal
N
r
:
NvNvNJJI
r
l
r
r
l
r
r
l
r
r
r
ddddd ⋅ρε=ερ=ε⋅=⋅= S
On passe d’une distribution volumique à une distribution surfacique en faisant 0
→
ε
:
On a donc NvI
r
l
r
dd ⋅σ= car )(lim
0
ρε=σ
→ε
Finalement NJI
r
r
l
ll
ldd ⋅
⋅⋅
⋅=
==
=
S
SS
S
avec vJ
r
r
σ
σσ
σ=
==
=
S
SS
S
vecteur densité surfacique de courants (
-1
m
A
⋅
⋅⋅
⋅
),
tangent par construction à la surface qui porte les courants.
Courants linéiques (circuits filiformes)
Ils traversent en réalité une surface S orientée par le vecteur normal
N
r
:
NvNJJI
r
r
r
r
r
r
⋅ρ=⋅=⋅= S SS
On passe d’une distribution volumique à une distribution linéique en faisant 0
→
S
.
On a donc vNvI λ=⋅λ=
r
r
car )(lim
0
S
S
ρ=λ
→

4. CONTINUITÉ / DISCONTINUITÉ SPATIALE DES CHAMPS
À LA TRAVERSÉE D’UNE DISTRIBUTION
SURFACIQUE DE CHARGES ET DE COURANTS
4.1 Champ électrique
E
r
— Dans une modélisation surfacique, la charge volumique
∞
→
ρ
, ce qui ne permet pas
d’utiliser l’équation de Maxwell-Gauss
0
div ε
ρ
=E
r
. On revient donc à une distribution volumique
d’épaisseur ε que l’on fait tendre vers 0 :
Dans ce passage à la limite, le champ peut subir une discontinuité spatiale selon z (mais pas
selon x ni y ).
— M.G fournit :
On en déduit ∞→
∂
∂
→ε 0 z
E
z
: il y a discontinuité de la composante normale de
E
r
, et lorsque
0
→
ε
:
00
22
22 ε
ρε
=
ε
−−
ε
⇒
ε
ρ
=
ε
ε
−=−
ε
=
≈
∂
∂
zz
zz
z
EE
zEzE
z
E
et par passage à la limite 0
→
ε
:
0
)0()0( ε
εε
ε
σ
σσ
σ
=
==
=−
−−
−
−
−−
−+
++
+zz
EE puisque )(lim
0
ρε=σ
→ε
.

On note ainsi :
0
N1N2
ε
εε
ε
σ
σσ
σ
=
==
=−
−−
−EE où
N
E est orienté de 1 vers 2 et 
==
==
+
−
)0(
)0(
2
1
zEE
zEE rr
r
r
— M.F
t
B
E∂
∂
−=
→
r
r
rot fournit :
Les termes bornés quand 0
→
ε
sont soulignés. Il en résulte que
z
E
x
∂
∂
et
z
E
y
∂
∂
sont bornés : il y
a continuité de
x
E et
y
E donc continuité de la composante tangentielle de
E
r
, ce que l’on
note
T
1
T
2
EE =
==
= .
— En résumé, on peut écrire la formule intrinsèque
21
0
12 →
→→
→
ε
εε
ε
σ
σσ
σ
=
==
=−
−−
−NEE
r
r
r
, que l’on appelle
relation de passage .
4.2 Champ magnétique
B
r
— Dans une modélisation surfacique, la charge volumique
∞
→
ρ
soit
∞
→
ρ
=
vJ , ce qui ne
permet pas d’utiliser l’équation de Maxwell-Ampère
∂
∂
ε+µ=
→
t
E
JB
r
rr
00
rot . On revient donc à
une distribution volumique d’épaisseur ε que l’on fait tendre vers 0 :

Dans ce passage à la limite, le champ peut subir une discontinuité spatiale selon z (mais pas
selon x ni y).
— M.A fournit :
On en déduit ∞→
∂
∂
→ε 0 z
B
y
: il y a discontinuité de la composante tangentielle
y
B
(orthogonale à
S
J
r
) de
B
r
, et lorsque 0
→
ε
:
vBBv
zBzB
z
B
yy
yy
y
ρεµ−=
ε
−−
ε
⇒ρµ=
ε
ε
−=−
ε
=
−≈
∂
∂
−
00
22
22 et par passage à la
limite 0
→
ε
:
S
JvBB
yy 00
)0()0( µ−=σµ−=−
−+
puisque )(lim
0
ρε=σ
→ε
et que vJ σ=
S
.
On en déduit aussi que
z
B
x
∂
∂
est borné, donc que la composante tangentielle
x
B de
B
r
selon
S
J
r
est continue.
— M.
Φ
0div =B
r
fournit :
Il en résulte que
z
B
z
∂
∂
est borné : il y a continuité de
z
B donc continuité de la composante
normale de
B
r
, ce que l’on note
N
1
N
2
BB =
==
=, avec
==
==
+
−
)0(
)0(
2
1
zBB
zBB rr
r
r
— En résumé, on peut écrire la formule intrinsèque
21012 →
→→
→
∧
∧∧
∧µ
µµ
µ=
==
=−
−−
−NJBB
r
r
r
r
S
, que l’on appelle
relation de passage .
On a en effet en utilisant la base (
x
e
r
,
y
e
r
,
z
e
r
) :
yzx
eJeeJBB
r
r
r
r
r
SS 0012
µ−=∧µ=−
=⋅−
µ−=⋅−
=⋅−
⇒
0)(
)(
0)(
12
012
12
z
y
x
eBB
JeBB
eBB
r
rr
r
rr
r
r
r
S
soit
=
µ−=−
=
⇒
−+
−+
−+
)0()0(
)0()0(
)0()0(
0
zz
yy
xx
BB
JBB
BB
S
Ces relations sont bien celles trouvées plus haut.