Introduction à la théorie des groupes et de leurs représentations

Introduction `a la th´eorie des groupes et de leurs
repr´esentations
Jean-Bernard Zuber
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Jean-Bernard Zuber. Introduction `a la th´eorie des groupes et de leurs repr´esentations. 2006.
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Introduction `a la th´eorie des groupes
et de leurs repr´esentations
Jean-Bernard Zuber
Service de Physique Th´eorique de Saclay *
F-91191 Gif-sur-Yvette Cedex, France
Cours donn´e au Magist`ere Interuniversitaire de Physique, Printemps 1994. (R´e´edition d’Octobre 2005)
*Laboratoire de la Direction des Sciences de la Mati`ere du Commissariat `a l’´ Energie Atomique

1

Table des mati`eres
CHAPITRE 1 : G´ EN´ ERALIT´ ES SUR LES GROUPES. . . . . . . . . . . . . 1
1. Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. D´efinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Classes d’un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1. D´efinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2. Ordre d’un sous-groupe d’un groupe fini; th´eor`eme de Lagrange . . . . . . 3
3. Homomorphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.1. Homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2. Automorphismes externes, internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4. Classes par rapport `a un sous-groupe, sous-groupe invariant et groupe quotient . 4
4.1. ´ Equivalence par rapport `a un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2. Sous-groupe invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.3. Groupe simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5. Produit direct, semi-direct de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6. Action d’un groupe sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7. Le groupe sym´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
8. Indications sur la classification des groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . 9
Appendice A. Groupe libre. Groupe engendr´e par g´en´erateurs et relations . . . . . 12
CHAPITRE 2 : G´ EN´ ERALIT´ ES SUR LES REPR´ ESENTATIONS. . . . . . . . . 14
1. D´efinitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1. Repr´esentations ´equivalentes. Caract`eres . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2. Repr´esentations r´eductibles et irr´eductibles . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Lemme de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. Produit tensoriel de repr´esentations ; d´ecomposition de Clebsch-Gordan . . . . 19
2.1. Produit tensoriel de repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. D´ecomposition de Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. Repr´esentation r´eguli`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1. D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. Cas d’un groupe fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4. Repr´esentations des groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1. Orthogonalit´e et compl´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2. Cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5. Un groupe continu : U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6. Sym´etries et Repr´esentations en M´ecanique Quantique . . . . . . . . . . . . 30
6.1. Transformations d’un syst`eme quantique. Th´eor`eme de Wigner . . . . . . 30
6.2. Groupe de transformations. Repr´esentations projectives . . . . . . . . . . 31
i

6.3. Transformations des observables. Th´eor`eme de Wigner-Eckart . . . . . . . 32
6.4. Invariance et lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
CHAPITRE 3 : ROTATIONS DANS L’ESPACE A TROIS DIMENSIONS. . . . . 44
1. Un bref retour sur le groupe SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2. Rotations de R3, les groupes SO(3) et SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1. Le groupe SO(3), groupe `a trois param`etres . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2. Topologie du groupe SO(3), le groupe SU(2) . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3. Mesure invariante sur SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3. G´en´erateurs infinit´esimaux. L’alg`ebre de Lie su(2) . . . . . . . . . . . . . 51
3.1. G´en´erateurs infinit´esimaux de SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2. G´en´erateurs infinit´esimaux dans SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3. Alg`ebre de Lie su(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4. Repr´esentations de SU (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1. Repr´esentations de l’alg`ebre de Lie et repr´esentations du groupe . . . . . . 57
4.2. Repr´esentations de l’alg`ebre su(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3. Construction explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4. Orthogonalit´e, compl´etude, caract`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5. Fonctions sp´eciales. Harmoniques sph´eriques . . . . . . . . . . . . . . . 64
5. Produit direct de repr´esentations de SU (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1. Produit direct de repr´esentations et l’“addition de moments angulaires” . . . 68
5.2. Coefficients de Clebsch-Gordan, symboles 3-jet 6-j . . . . . . . . . . . . . 70
6. Applications physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.1. Moments multipolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2. Etats propres de moment angulaire en M´ecanique Quantique . . . . . . . 73
6.3. L’isospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Appendice B. M´etrique, mesure d’int´egration et laplacien sur une vari´et´e . . . . . 85
CHAPITRE 4 : REPR´ ESENTATIONS DU GROUPE SYM´ ETRIQUE. . . . . . . 87
1. Tableaux d’Young. Alg`ebre du groupe et idempotents . . . . . . . . . . . . 87
1.1. Tableaux d’Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.2. Alg`ebre du groupe, id´eaux et idempotents . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.3. Idempotent associ´e `a un tableau d’Young . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2. Miscellan´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3. Application au groupe lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4. Particules indiscernables en M´ecanique Quantique . . . . . . . . . . . . . . 98
4.1. Postulat de sym´etrie/antisym´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2. Parastatistiques, groupe des tresses, ... ................ 100
Appendice C. Formule de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
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