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TD 3 Outils pour Biologistes 2 : Dynamique
30BU03SV – 2016-2017
Résultats partie en autonomie
Exercices en autonomie
1
Questions de base sur le
Principe Fondamental de
la Dynamique
Une force constante de module F = 100 N est appliquée durant t = 3 s sur un objet de masse m1 =
50 kg initialement au repos.
1. Quelle est la nature du mouvement pendant
les 3 premières secondes ?
1
Uniformément
accéléré
(accélération
constante)
2. Quelle est la nature du mouvement pour t >
3 s (si aucune autre force n’est appliquée) ?
Mouvement à vitesse constante (accélération nulle car bilan des forces nul) NB
question pas très bien formulée. . .il faut
bien comprendre qu’à t = 3 s la force F
s’arrête.
3. A l’aide du PFD calculez la vitesse v(t) durant les 10 premières secondes du mouvement
et tracez-en une représentation graphique.
t ∈ [0, 3s] : v(t) =
1 F 2
2 m1 t
F
m1 t
= 2t;
x(t) =
= t2
4. Calculez la position x(t) durant les 10 premières secondes du mouvement et tracez-en
2
une représentation graphique.
t ≥ 3s : v(t) = v(3s) + 0.(t − 3s) = 6
m.s−1 x(t) = x(3s) + v(3s).(t − 3s) +
1
2 .0.(t
− 3s)2 = 9 + 6(t − 3)
5. On suppose une masse m2 = 100 kg double de
m1. Reprenez toutes les question précédentes
dans ce cas. Quelle est la nature du mouvement pendant les 3 premières secondes ?
Quelle est la nature du mouvement pour t >
3 s ? A l’aide du PFD calculez la vitesse v(t)
et la position x(t) durant les 10 premières
secondes du mouvement et tracez-en une représentation graphique.
Nature du mouvement sur chaque intervalle de temps ne change pas. Seule l’accélération est deux fois plus faible. La vitesse
atteinte (à 3 s) est deux fois plus faible. La
3
position à 3 s est deux fois plus faible.
6. Comment les mouvements se comparent-ils
pour les deux masses ?
Un objet de masse double soumi à la
même force a une accélération moitié moins
grande qui se traduit une vitesse et position atteinte de moitié de celle de l’objet
original.
Exercices
d’approfondissement
2
Force sur un pivert
4
Thème : forces mécaniques biologiques
Les crânes de piverts sont
adaptés pour pouvoir délivrer
une grande force sur une surface de bois afin de percer un
trou et avoir accès aux insectes sous l’écorce de
l’arbre. Pour avoir une idée de l’intensité de cette
force, nous allons considérer un modèle tiré d’un article de 2011 par Yoon et al. 1 Ci-contre une photo
issue de cet article.
Le graphe ci-dessous donne une courbe du déplacement de la pointe du bec, mesuré à partir de la
surface du bois et orienté positivement vers l’extérieur de celui-ci (voir le repère en noir sur la photo) 2.
1. SH Yoon & S. Park, A mechanical analysis of woodpecker drumming and its application to shock absorbing systems, Bioinspiration
& Biomimetics, 6 (2011) 016003 (12 pp).
2. Cette courbe a été un peu lissée, en particulier durant les premières ms quand le pivert subit de nombreuses vibrations à haute
fréquence. Bien que celles-ci aient des conséquences importantes sur
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L’origine du temps t = 0 s correspond à l’instant de
contact, quand la pointe touche la surface du bois.
Pendant quelques millisecondes, la pointe du bec pénètre dans le bois (x négatif), puis rebondit en arrière et ressort de l’écorce au moment que x redevient positif. Le choc se passe donc durant ces premières millisecondes, lorsqu’il y a contact (et même
pénétration) du bec avec le bois. Le reste du graphe
représente le mouvement amorti quand la pointe se
repositionne doucement sur la surface.
la structure du cerveau du pivert on ne considérera pas ces vibrations
ici.
6
A. Calcul de l’accélération du bec À partir
de la courbe précédente on souhaite estimer la force
qu’exercent la tête et le bec sur l’arbre.
1. Quel est le déplacement de la pointe du bec
entre l’instant de contact (t = 0) et sa position de pénétration maximale ?
2. Quelle est la durée de ce mouvement vers l’intérieur du tronc (sens négatif) ?
∆t ∼ 1 ms
3. Quelle est la vitesse moyenne d’arrivée du bec
vers le tronc durant le choc ?
Pénétration de la pointe du bec dans le bois
d’environ 1 mm en environ ∆t1 = 1 ms ⇒
vitesse moyenne d’arrivée v1 = −1 m.s−1
4. À partir de la position la plus profonde, le
mouvement s’inverse et le bec rebondit (mouvement dans le sens des x positif). Quelle est
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la durée de ce recul jusqu’à ce que la pointe
du bec ressorte du bois ?
5. Quelle est la durée de ce mouvement vers l’intérieur du tronc (sens négatif) ?
∆t ∼ 0,5 ms
6. Quelle est la vitesse moyenne du bec durant
le recul ?
Profondeur maximale de la pointe du bec
dans le bois d’environ 1 mm et recul durant
∆t2 = 1 ms ⇒ vitesse moyenne de recul
v2 = 1 m.s−1 (aussi)
7. Vous pouvez donc maintenant calculer la différence des vitesses d’arrivée et de recul.
8. On considère que les vitesses moyennes correspondent aux vitesses du bec au milieu des
phases d’avancée et de recul. En quel intervalle de temps pouvez vous donc considérer
8
qu’a eu lieu le changement de vitesses de la
question précédente ? Déduisez-en l’accélération moyenne du bec durant le choc ?
Entre les centres des intervalles de temps
« pénétration »et « recul »on a environ
∆t = 1 ms (tout assez symétrique). a =
2.103 m.s−2,
B. Masse du pivert Pour calculer la force ressentie par le pivert nous avons besoin de connaître
sa masse. Comme nous n’avons pas de pivert sous
la main pour le peser, nous allons en faire une estimation à partir de la photo.
1. En utilisant l’échelle de la photo, déterminez
les dimensions d’un cylindre qui approximerait le volume corporel du pivert.
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A peu près tube 10 cm de long 5 cm de
diamètre, Vpivert ∼ 2.10−4 m3
2. En déduire une estimation de la masse d’un
pivert.
Mpivert ∼ 200 g
C. Force sur le pivert
1. Déduire l’intensité de la force exercée par l’arbre
sur le bec durant le choc. (Penser à F =
ma = m∆v/∆t).
F = 400 N !
2. L’accélération est fréquemment exprimée en
unités de g(∼ 10ms−2). Exprimez l’accélération subie par la tête du pivert en ms−2 et en
g.
10
200 g !
3. Comment la force que l’arbre exerce sur le
bec du pivert se compare t’elle à la force que
le bec exerce sur l’arbre ?
Même intensité et direction mais sens opposé (donc ici dans le sens de l’axe des x
négatif, vers l’intérieur de l’arbre).
3
Chute
Une bille de masse m est lâchée sans vitesse initiale
d’une hauteur H avec une vitesse initiale 0 m.s−1
dans le champ de pesanteur terrestre g . On dotera
l’axe vertical d’un repère z dans le sens positif vers
le haut (donc g = −10 m.s−2).
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3.1
Sans frottement
a) Ecrire le Principe Fondamental de la Dynamique
(PFD) ; en déduire la vitesse v(t), puis l’altitude
z(t). Donner l’équation pour la vitesse en z = 0.
La masse apparaît-elle dans l’expression que vous
avez trouvée ? En conséquence quelle est la différence
entre la chute libre d’une bille de plomb et celle d’une
plume ? Commentez.
a l’accélération ; m.a = m.g, les masses se simplifient, l’accélération de chute libre est indépendante de la masse (c’est justement g, l’accélération
de la pesanteur).
v(t) = gt (Note : dans cet exo on nous a donné
g négatif, la vitesse est bien négative, vers le bas
par rapport au repère positif vers le haut.)
z(t) = 12 gt2 + H
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b) En éliminant le temps entre v(t) et z(t) obtenus en a), calculez l’expression du champ de vitesses
v(z) ; Représentez graphiquement la dépendance de
la vitesse en fonction de la distance.
t=
v
u
u
t
)
( 2(z−H)
g
r
→ v = (2g(z − H)) (Note : z <
H et g < 0, on a bien g(z − H) > 0).
3.2
Avec frottement
On rajoute une force de frottement fluide due à l’air,
de la forme : F~ = −γ~v . Le système est donc décrit
par les paramètres g, m et γ.
a) Quelles sont les dimensions de chacun de ces
paramètres ?
[F ] = M.L.T −2, [v] = L.T −1, [γ] = M.T −1
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b) Toutes les grandeurs caractéristiques du problème sont une composition de ces paramètres, les
seuls disponibles dans le cadre du système considéré (partie du cours « Analyse dimensionnelle »).
En toute généralité, ces grandeurs composées auront
la forme
g ambγ c,
a, b, c ∈ R
1. Montrez qu’il est possible de construire une
grandeur τ composée de g, m et γ de la dimension d’un temps T (donc trouver des réels
a, b, c tels que [g]a[m]b[γ]c = T ). Trouvez
cette grandeur.
τ = m/γ
2. Montrez qu’il est possible de construire une
grandeur vl composée de g, m et γ de la dimension d’une vitesse (M/L). Déterminez cette
grandeur.
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vl = g.m/γ
c) À partir du PFD écrivez l’équation reliant la
variation de la vitesse (accélération)
dv
dt
à la vitesse
v elle même et aux paramètres du problème.
m dv
dt = m.g − γ.v
d) Décrivez qualitativement (sans faire de calcul
donc) comment varie la norme de la vitesse |v(t)| à
partir de t = 0 ?
Au début v nulle, donc accélétation ∼ m.g, la
norme de v augmente, le terme de friction augmente mais reste faible, accélération toujours non
nulle, |v(t)| continue d’augmenter jusqu’à ce que
m.g − γ.v = 0
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e) Quelle est la vitesse au bout d’un temps très
long et comment la réponse se relie à la grandeur vl
déterminée par analyse dimensionnelle ?
Accélération à partir de la vitesse de lacher nulle
jusqu’à la valeur limite vl telle que m.g−γ.vl = 0,
on rettrouve l’expression par analyse dimensionnelle.
f) Comment pouvez-vous interpréter la signification du temps caractéristique τ déterminé plus haut
par analyse dimensionnelle ?
Donne l’échelle de temps au bout de la quelle on
atteint la vitesse limite.
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