TD 3 Outils pour Biologistes 2 : Dynamique

TD 3 Outils pour Biologistes 2 : Dynamique
30BU03SV – 2016-2017
Résultats partie en autonomie
Exercices en autonomie
1
Questions de base sur le Principe Fondamental de la Dynamique
Une force constante de module F = 100 N est appliquée durant t = 3 s sur un objet de
masse m1 = 50 kg initialement au repos.
1. Quelle est la nature du mouvement pendant les 3 premières secondes ?
Uniformément accéléré (accélération constante)
2. Quelle est la nature du mouvement pour t > 3 s (si aucune autre force n’est appliquée) ?
Mouvement à vitesse constante (accélération nulle car bilan des forces nul) NB
question pas très bien formulée. . .il faut bien comprendre qu’à t = 3 s la force
F s’arrête.
3. A l’aide du PFD calculez la vitesse v(t) durant les 10 premières secondes du mouvement et tracez-en une représentation graphique.
t ∈ [0, 3s] : v(t) =
F
m1 t
= 2t; x(t) =
1 F 2
2 m1 t
= t2
4. Calculez la position x(t) durant les 10 premières secondes du mouvement et tracezen une représentation graphique.
t ≥ 3s : v(t) = v(3s) + 0.(t − 3s) = 6 m.s−1 x(t) = x(3s) + v(3s).(t − 3s) +
1
2
2 .0.(t − 3s) = 9 + 6(t − 3)
5. On suppose une masse m2 = 100 kg double de m1 . Reprenez toutes les question
précédentes dans ce cas. Quelle est la nature du mouvement pendant les 3 premières
secondes ? Quelle est la nature du mouvement pour t > 3 s ? A l’aide du PFD
calculez la vitesse v(t) et la position x(t) durant les 10 premières secondes du
mouvement et tracez-en une représentation graphique.
Nature du mouvement sur chaque intervalle de temps ne change pas. Seule
l’accélération est deux fois plus faible. La vitesse atteinte (à 3 s) est deux fois
plus faible. La position à 3 s est deux fois plus faible.
6. Comment les mouvements se comparent-ils pour les deux masses ?
Un objet de masse double soumi à la même force a une accélération moitié
moins grande qui se traduit une vitesse et position atteinte de moitié de celle
de l’objet original.
Exercices d’approfondissement
1
2
Force sur un pivert
Thème : forces mécaniques biologiques
Les crânes de piverts sont adaptés pour pouvoir délivrer une grande force sur une surface de bois afin
de percer un trou et avoir accès aux insectes sous
l’écorce de l’arbre. Pour avoir une idée de l’intensité
de cette force, nous allons considérer un modèle tiré
d’un article de 2011 par Yoon et al. 1 Ci-contre une
photo issue de cet article.
Le graphe ci-dessous donne une courbe du déplacement de la pointe du bec, mesuré à partir de la
surface du bois et orienté positivement vers l’extérieur de celui-ci (voir le repère en noir sur la photo) 2 .
L’origine du temps t = 0 s correspond à l’instant de
contact, quand la pointe touche la surface du bois.
Pendant quelques millisecondes, la pointe du bec pénètre dans le bois (x négatif), puis rebondit en arrière et ressort de l’écorce au moment
que x redevient positif. Le choc se passe donc durant ces premières millisecondes, lorsqu’il
y a contact (et même pénétration) du bec avec le bois. Le reste du graphe représente le
mouvement amorti quand la pointe se repositionne doucement sur la surface.
A. Calcul de l’accélération du bec À partir de la courbe précédente on souhaite
estimer la force qu’exercent la tête et le bec sur l’arbre.
1. Quel est le déplacement de la pointe du bec entre l’instant de contact (t = 0) et sa
position de pénétration maximale ?
2. Quelle est la durée de ce mouvement vers l’intérieur du tronc (sens négatif) ?
∆t ∼ 1 ms
3. Quelle est la vitesse moyenne d’arrivée du bec vers le tronc durant le choc ?
Pénétration de la pointe du bec dans le bois d’environ 1 mm en environ ∆t1 =
1 ms ⇒ vitesse moyenne d’arrivée v1 = −1 m.s−1
1. SH Yoon & S. Park, A mechanical analysis of woodpecker drumming and its application to shock
absorbing systems, Bioinspiration & Biomimetics, 6 (2011) 016003 (12 pp).
2. Cette courbe a été un peu lissée, en particulier durant les premières ms quand le pivert subit de
nombreuses vibrations à haute fréquence. Bien que celles-ci aient des conséquences importantes sur la
structure du cerveau du pivert on ne considérera pas ces vibrations ici.
2
4. À partir de la position la plus profonde, le mouvement s’inverse et le bec rebondit
(mouvement dans le sens des x positif). Quelle est la durée de ce recul jusqu’à ce
que la pointe du bec ressorte du bois ?
5. Quelle est la durée de ce mouvement vers l’intérieur du tronc (sens négatif) ?
∆t ∼ 0,5 ms
6. Quelle est la vitesse moyenne du bec durant le recul ?
Profondeur maximale de la pointe du bec dans le bois d’environ 1 mm et recul
durant ∆t2 = 1 ms ⇒ vitesse moyenne de recul v2 = 1 m.s−1 (aussi)
7. Vous pouvez donc maintenant calculer la différence des vitesses d’arrivée et de recul.
8. On considère que les vitesses moyennes correspondent aux vitesses du bec au milieu des phases d’avancée et de recul. En quel intervalle de temps pouvez vous
donc considérer qu’a eu lieu le changement de vitesses de la question précédente ?
Déduisez-en l’accélération moyenne du bec durant le choc ?
Entre les centres des intervalles de temps « pénétration »et « recul »on a environ
∆t = 1 ms (tout assez symétrique). a = 2.103 m.s−2 ,
B. Masse du pivert Pour calculer la force ressentie par le pivert nous avons besoin de
connaître sa masse. Comme nous n’avons pas de pivert sous la main pour le peser, nous
allons en faire une estimation à partir de la photo.
1. En utilisant l’échelle de la photo, déterminez les dimensions d’un cylindre qui approximerait le volume corporel du pivert.
A peu près tube 10 cm de long 5 cm de diamètre, Vpivert ∼ 2.10−4 m3
2. En déduire une estimation de la masse d’un pivert.
Mpivert ∼ 200 g
C. Force sur le pivert
1. Déduire l’intensité de la force exercée par l’arbre sur le bec durant le choc. (Penser
à F = ma = m∆v/∆t).
F = 400 N !
2. L’accélération est fréquemment exprimée en unités de g(∼ 10ms−2 ). Exprimez l’accélération subie par la tête du pivert en ms−2 et en g.
200 g !
3. Comment la force que l’arbre exerce sur le bec du pivert se compare t’elle à la force
que le bec exerce sur l’arbre ?
Même intensité et direction mais sens opposé (donc ici dans le sens de l’axe des
x négatif, vers l’intérieur de l’arbre).
3
3
Chute
Une bille de masse m est lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur H avec une vitesse
initiale 0 m.s−1 dans le champ de pesanteur terrestre g . On dotera l’axe vertical d’un
repère z dans le sens positif vers le haut (donc g = −10m.s−2 ).
3.1
Sans frottement
a) Ecrire le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) ; en déduire la vitesse v(t),
puis l’altitude z(t). Donner l’équation pour la vitesse en z = 0.
La masse apparaît-elle dans l’expression que vous avez trouvée ? En conséquence quelle est
la différence entre la chute libre d’une bille de plomb et celle d’une plume ? Commentez.
a l’accélération ; m.a = m.g, les masses se simplifient, l’accélération de chute libre est
indépendante de la masse (c’est justement g, l’accélération de la pesanteur).
v(t) = gt (Note : dans cet exo on nous a donné g négatif, la vitesse est bien négative,
vers le bas par rapport au repère positif vers le haut.)
z(t) = 21 gt2 + H
b) En éliminant le temps entre v(t) et z(t) obtenus en a), calculez l’expression du champ
de vitesses v(z) ; Représentez graphiquement la dépendance de la vitesse en fonction de la
distance.
t=
3.2
q
( 2(z−H)
)→v=
g
p
(2g(z − H)) (Note : z < H et g < 0, on a bien g(z − H) > 0).
Avec frottement
On rajoute une force de frottement fluide due à l’air, de la forme : F~ = −γ~v . Le système
est donc décrit par les paramètres g, m et γ.
a) Quelles sont les dimensions de chacun de ces paramètres ?
[F ] = M.L.T −2 , [v] = L.T −1 , [γ] = M.T −1
b) Toutes les grandeurs caractéristiques du problème sont une composition de ces paramètres, les seuls disponibles dans le cadre du système considéré (partie du cours « Analyse
dimensionnelle »). En toute généralité, ces grandeurs composées auront la forme
g a mb γ c ,
a, b, c ∈ R
1. Montrez qu’il est possible de construire une grandeur τ composée de g, m et γ de
la dimension d’un temps T (donc trouver des réels a, b, c tels que [g]a [m]b [γ]c = T ).
Trouvez cette grandeur.
τ = m/γ
4
2. Montrez qu’il est possible de construire une grandeur vl composée de g, m et γ de
la dimension d’une vitesse (M/L). Déterminez cette grandeur.
vl = g.m/γ
c) À partir du PFD écrivez l’équation reliant la variation de la vitesse (accélération)
à la vitesse v elle même et aux paramètres du problème.
dv
dt
m dv
dt = m.g − γ.v
d) Décrivez qualitativement (sans faire de calcul donc) comment varie la norme de la
vitesse |v(t)| à partir de t = 0 ?
Au début v nulle, donc accélétation ∼ m.g, la norme de v augmente, le terme de
friction augmente mais reste faible, accélération toujours non nulle, |v(t)| continue
d’augmenter jusqu’à ce que m.g − γ.v = 0
e) Quelle est la vitesse au bout d’un temps très long et comment la réponse se relie à la
grandeur vl déterminée par analyse dimensionnelle ?
Accélération à partir de la vitesse de lacher nulle jusqu’à la valeur limite vl telle que
m.g − γ.vl = 0, on rettrouve l’expression par analyse dimensionnelle.
f) Comment pouvez-vous interpréter la signification du temps caractéristique τ déterminé plus haut par analyse dimensionnelle ?
Donne l’échelle de temps au bout de la quelle on atteint la vitesse limite.
5