Définition Une partie A ⊂ V est libre si la seule combinaison linéaire

1/13
Algèbre linéaire Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et génératrices
Bases, composantes et dimension
Définition
Une partie A⊂Vest libre si la seule combinaison linéaire qui donne −→ 0 est
la combinaison linéaire triviale (i.e. tous les coefficients sont nuls),
c’est-à-dire que quels que soient les vecteurs −→ u1,...,−→ ukde A, si
λ1−→ u1+· · · +λk−→ uk=−→ 0
alors λ1=· · · =λk=0.
Exemple
La partie A={(0,1),(1,1)}est une partie libre de R2car si
λ(0,1) + µ(1,1)=(0,0), alors (µ, λ +µ)=(0,0), et donc µ=λ+µ=0,
ce qui n’est possible que si µ=λ=0.

2/13
Algèbre linéaire Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et génératrices
Bases, composantes et dimension
Résultat
Une partie A est libre si et seulement si aucun de ses éléments n’est
combili des autres éléments de A.
Démonstration.
Supposons que Asoit libre et supposons par l’absurde qu’il existe un
élément de Aqui soit combili des autres, c’est-à-dire il existe −→ v0,...,−→ vk
des vecteurs de Atels que
−→
v0=
k
X
i=1
λi−→ vi
pour certains scalaires λ1, . . . , λk, alors la combinaison linéaire suivante
est nulle
−→
v0−
k
X
i=1
λi−→ vi=−→ 0
mais n’est pas triviale puisque le coefficient de −→ v0est 1, une contradiction
avec l’hypothèse que Aest libre.

3/13
Algèbre linéaire Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et génératrices
Bases, composantes et dimension
Démonstration - ⇐.
Démontrons la contraposée : Apas libre implique qu’il existe un élément
de Acombili d’autres éléments de A.
Si An’est pas libre, c’est qu’il existe une combinaison linéaire non-triviale
qui est égale au vecteur nul −→ 0 , c’est-à-dire il existe des vecteurs
−→
v1,...,−→ vkde Aet des scalaires λ1, . . . , λktels que
λ1−→ v1+· · · +λk−→ vk=−→ 0
avec au moins l’un des coefficients λiqui soit non-nul. Supposons que ce
soit λ16=0. Dans ce cas, on peut « isoler » −→ v1:
−→
v1=−λ2
λ1
−→
v2− · · · − λk
λ1
−→
vk
ce qui montre qu’alors, l’un des éléments de Aest combinaison linéaire des
autres éléments de A(le raisonnement est identique si ça avait été λ2ou
λ3ou un autre λi...)

4/13
Algèbre linéaire Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et génératrices
Bases, composantes et dimension
Définition
Un ensemble de vecteurs formant une partie libre sont appelés linéairement
indépendants. Si la partie formée n’est pas libre, la partie est dite liée, les
vecteurs sont appelés linéairement dépendants.
Des vecteurs linéairement indépendants sont donc des vecteurs qui ne
peuvent pas s’écrire comme combinaison linéaire des autres.
Résultat
Soit V un espace vectoriel et A un sous-ensemble de V .
Si A est liée, tout ensemble de vecteurs contenant A est lié.
Si A est libre, tout ensemble de vecteurs contenu dans A est libre.
Si A est libre et −→ x∈ hAi, alors −→ x s’écrit de manière unique comme
combinaison linéaire des éléments de A.
Si A est libre, et −→ x∈V , alors A ∪−→ xest encore libre si et
seulement si −→ x/∈ hAi.

5/13
Algèbre linéaire Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et génératrices
Bases, composantes et dimension
Remarque (Signification de « unicité »)
Si on a deux combinaisons linéaires égales, alors les coefficients
correspondant à un vecteur donné sont les mêmes.
Exemple
Considérons, dans R3, l’ensemble λ−→ v+µ−→ wt.q. µ, λ ∈R, pour
certains −→ v,−→ wnon nuls. Dire que la partie −→ v,−→ west libre, est
équivalent à dire que −→ wn’est pas un multiple de −→ v.
Si on considère −→ v,−→ w,−→ u, cette partie sera libre si et seulement si −→ u
n’est pas combinaison linéaire de −→ vet −→ wc’est-à-dire −→ un’est pas dans le
plan contenant −→ vet −→ w.