Définition Une partie A ⊂ V est libre si la seule combinaison linéaire

Algèbre linéaire
Vecteurs linéairement indépendants, parties libres, liées et généra
Bases, composantes et dimension
Définition
→
−
Une partie A ⊂ V est libre si la seule combinaison linéaire qui donne 0 est
la combinaison linéaire triviale (i.e. tous les coefficients sont nuls),
−
−
c’est-à-dire que quels que soient les vecteurs →
u1 , . . . , →
uk de A, si
→
−
→
−
→
−
λ1 u1 + · · · + λk uk = 0
alors λ1 = · · · = λk = 0.
Exemple
La partie A = {(0, 1), (1, 1)} est une partie libre de R2 car si
λ(0, 1) + µ(1, 1) = (0, 0), alors (µ, λ + µ) = (0, 0), et donc µ = λ + µ = 0,
ce qui n’est possible que si µ = λ = 0.
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Algèbre linéaire
Résultat
Une partie A est libre si et seulement si aucun de ses éléments n’est
combili des autres éléments de A.
Démonstration.
Supposons que A soit libre et supposons par l’absurde qu’il existe un
−
−
v0 , . . . , →
vk
élément de A qui soit combili des autres, c’est-à-dire il existe →
des vecteurs de A tels que
k
X →
→
−
v0 =
λi −
vi
i=1
pour certains scalaires λ1 , . . . , λk , alors la combinaison linéaire suivante
est nulle
k
X
→
−
→
−
−
v0 −
λi →
vi = 0
i=1
−
mais n’est pas triviale puisque le coefficient de →
v0 est 1, une contradiction
avec l’hypothèse que A est libre.
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Démonstration - ⇐.
Démontrons la contraposée : A pas libre implique qu’il existe un élément
de A combili d’autres éléments de A.
Si A n’est pas libre, c’est qu’il existe une combinaison linéaire non-triviale
→
−
qui est égale au vecteur nul 0 , c’est-à-dire il existe des vecteurs
→
−
−
v1 , . . . , →
vk de A et des scalaires λ1 , . . . , λk tels que
→
−
−
−
λ1 →
v1 + · · · + λk →
vk = 0
avec au moins l’un des coefficients λi qui soit non-nul. Supposons que ce
−
soit λ1 6= 0. Dans ce cas, on peut « isoler » →
v1 :
λ
λk →
2−
−
→
−
v2 − · · · −
vk
v1 = − →
λ1
λ1
ce qui montre qu’alors, l’un des éléments de A est combinaison linéaire des
autres éléments de A (le raisonnement est identique si ça avait été λ2 ou
λ3 ou un autre λi ...)
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Définition
Un ensemble de vecteurs formant une partie libre sont appelés linéairement
indépendants. Si la partie formée n’est pas libre, la partie est dite liée, les
vecteurs sont appelés linéairement dépendants.
Des vecteurs linéairement indépendants sont donc des vecteurs qui ne
peuvent pas s’écrire comme combinaison linéaire des autres.
Résultat
Soit V un espace vectoriel et A un sous-ensemble de V .
Si A est liée, tout ensemble de vecteurs contenant A est lié.
Si A est libre, tout ensemble de vecteurs contenu dans A est libre.
−
−
Si A est libre et →
x s’écrit de manière unique comme
x ∈ hAi, alors →
combinaison linéaire des éléments de A.
− −
x ∈ V , alors A ∪ →
Si A est libre, et →
x est encore libre si et
−
seulement si →
x ∈
/ hAi.
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Remarque (Signification de « unicité »)
Si on a deux combinaisons linéaires égales, alors les coefficients
correspondant à un vecteur donné sont les mêmes.
Exemple
−
−
Considérons, dans R3 , l’ensemble λ→
v + µ→
w t.q. µ, λ ∈ R , pour
−
−
−
−
v ,→
w est libre, est
certains →
v ,→
w non nuls. Dire que la partie →
→
−
−
équivalent à dire que w n’est
pas un multiple de →
v.
−
−
−
−
u
Si on considère →
v ,→
w,→
u , cette partie sera libre si et seulement si →
→
−
→
−
→
−
n’est pas combinaison linéaire de v et w c’est-à-dire u n’est pas dans le
−
−
plan contenant →
v et →
w.
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Définition
−
−
Une
base est
la donnée d’un n-uple (→
e1 , . . . , →
en ) tel que la partie
→
−
→
−
e1 , . . . , en est à la fois libre et génératrice.
Résultat
Si B est une base, et si A ( B ( C , alors A n’est pas génératrice, et C
n’est pas libre.
Démonstration.
Partons de B et enlevons un élément (de B). Comme cet élément
n’était pas combili des autres (caractère libre), la partie obtenue ne
peut pas être génératrice.
Partons de B et ajoutons un élément (de V \ B). Comme cet élément
était combili des autres (car B est génératrice de V), la partie
obtenue en ajoutant cet élément ne peut pas être libre.
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Théorème
Une partie A ⊂ V est une base si et seulement si chaque élément de V
s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de A.
Démonstration.
Supposons que A est une base. Alors A est génératrice, donc tout élément
de V est dans hAi ; de plus comme A est libre nous avons l’unicité.
Supposons maintenant que chaque élément de V s’écrive de manière
unique comme combili des éléments de A. Comme chaque élément est
combili, la partie A est donc génératrice. Supposons qu’elle ne soit pas
−
libre. C’est-à-dire qu’il existe un vecteur →
x de A qui est combinaison
→
−
−
x est également une
linéaire des autres vecteurs de A. Or x = 1→
combinaison linéaire d’éléments de A. Dès lors il y a deux combinaisons
−
x , ce qui contredit l’hypothèse.
linéaires d’éléments de A qui donnent →
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Exemple
−
Dans Rn , on note →
ei = (0, . . . , 0, |{z}
1 , 0, . . . , 0).
e
i position
− →
−
−
Alors →
e1 , −
e2 , . . . , →
en est une base de Rn . En effet, tout élément →
x ∈ Rn
→
−
s’écrit x = (x1 , x2 , . . . , xn ). C’est-à-dire
n
X
−
→
−
xk →
ek .
x = x1 (1, 0, . . . , 0) + · · · + xn (0, . . . , 0, 1) =
k=0
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Exemple
o
→
−
f1 = (1, 1), f2 = (−1, 1) est une base de R2 . En
→
−
→
−
effet, tout élément (x , y ) s’écrit a f1 + b f2 si et seulement si
(a, a) + (−b, b) = (x , y )
c’est-à-dire
(
a − b=x
a + b=y
ou encore
2a = x + y
−2b = x − y
c’est-à-dire
x +y
y −x
a=
b=
2
2
Ce qui prouve l’existence et l’unicité de l’écriture sous forme de combili.
Dans R2 , l’ensemble
n→
−
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Théorème
Soit V un espace vectoriel :
toute partie libre peut être complétée en une base ;
toute partie génératrice contient une base ;
deux bases quelconques d’un espace vectoriel ont toujours le même
nombre d’éléments.
On ne fera pas la preuve de ce résultat.
Définition
La dimension de V est le nombre d’élément d’une quelconque de ses bases.
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Exemple
−
−
Rn est de dimension n. Une base est donnée par →
e1 , . . . , →
en , où
→
−
ei = (0, . . . , 0, |{z}
1 , 0, . . . , 0)
i e position
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Résultat
Pour des espaces vectoriels de dimension finie, V et W , si V ⊂ W et
dim V = dim W , alors V = W .
Démonstration.
Soit B une base de V , et notons n la dimension commune de V et W .
−
−
w n’est pas
Supposons par l’absurde V ( W , et soit →
w ∈ W \ V . Alors →
combinaison
linéaire
des
éléments
de
B
(sinon
il
serait
dans
V
), donc
→
−
B ∪ w est encore une partie libre de W , avec n + 1 éléments. Ceci
contredit le fait que W est de dimension n.
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Corollaire
Dans un espace V de dimension n, toute partie libre de n éléments est une
base, et toute partie génératrice de n éléments est une base.
Démonstration.
Soit P une partie de n éléments.
Si P est une partie libre, elle est une base de l’espace vectoriel qu’elle
engendre, donc hPi ⊂ V sont deux espaces de dimension n.
Si P est génératrice, elle contient une base par un résultat précédent, or
l’espace est de dimension n donc la base doit contenir n éléments et être
égale à P.
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