Singularités des modules différentiels à coefficients dans un corps
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Singularités des modules différentiels à coefficients dans
un corps ou avec un corps
algébriquement clos ou un corps de nombres)
Salah eddine Remmal
Exposé donné le 3/9/2012 à l’Ecole de recherches CIMPA-UNESCO
Singularités des espaces, des fonctions et des feuilletages qui a eu lieu
à La Faculté des Sciences FES entre le 3 et 14 septembre.
Introduction :
On sait que la donnée d’un système différentiel linéaire correspondà la
donnée d’un module différentiel muni d’une connexion. De même, deux
systèmes différentiels linéaires équivalents correspondent à des modules
isomorphes dans la catégorie des modules différentiels.
La classification des systèmes différentiels linéaires est basée d’abord sur la
caractérisation des singularités et la distinction entre singularités : ordinaire,
régulière ou irrégulière. Un des outils de cette caractérisation est le rang de
Poincaré-Katz.
Le calcul de ce rang n’est pas difficile si on dispose d’un bon lemme de
vecteur cyclique qui permet de passer d’un système différentiel linéaire à une
équation différentielle linéaire .On peut alors calculer sur les coefficients de
l’équation différentielle la plus parts des invariants du module associé au
système :
Rang de Katz
Les invariants de Gérard Levelt
L’indice de Malgrange et de Ramis
Le calcul des facteurs déterminants dans la décomposition de Turrittin
D’autre part, il existe des algorithmes qui permettent de calculer le rang de
Katz sans passer par le lemme de vecteur cyclique comme les algorithmes
de Babith-Varadarajan (Propositions1et 2).
On peut également, dans le cas où est un corps de nombres, utiliser
l’analyse p-adique et la notion de rayon de convergence générique
du module associé au système différentiel pour avoir des
informations sur les singularités et les exposants
(voir théorème3 et corollaire 2).
Ces résultats utiles en géométrie arithmétique nous permettent de
voir qu’un G-opérateur différentiel n’a que des singularités régulières à
exposants rationnels alors qu’un E-opérateur (transformé de Fourrier-Laplace
d’un G-opérateur) ne possède qu’une singularité régulière et une singularité
irrégulière En plus les coefficients de la matrice de réduction à la
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forme de Krull- Turrittin(corollaire1) au voisinage d’une singularité régulière0
sont des G-fonctions dans le cas d’un G-opérateur et des E-fonctions dans le
cas d’un E-opérateur.,.
1. Généralités
Soit un anneau commutatif muni d’une dérivation d et soit l’anneau des
constantes de .
Un -module différentiel est un -module libre de rang fini muni d’un
opérateur c-a-d un -endomorphisme de qui vérifie :
Si et sont deux-modules différentiels. Une application -linéaire
est dite horizontale si :.
On note () la catégorie dont les objets sont les -modules
différentiels libres de rang fini sur et les morphismes sont les
applications -linéaires horizontales. C’est une sous catégorie de la
catégorie des -modules de type fini.
Si est un sur-anneau différentiel de c.-à-d. un -module libre de rang
fini contenant et muni d’une dérivation prolongeant la dérivation de
et si alors est un -module différentiel muni de
l’opérateur défini par :
Si est une base de , il existe alors des coefficients
On dit que la matrice représente dans la base et on
note :
Si est une autre base de et si est la
matrice de changement de bases, l’opérateur est alors représenté par
la matrice :
(c-a-d )
On appelle solution du module dans un sur-anneau différentiel de
toute application -linéaire s de dans telleque :
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D’où :
où
est une base de .
Autrement dit le vecteur est solution du système
différentiel linéaire
De même on a : est solution du système différentiel
linéaire .
Les systèmes et associès au même module
relativement aux bases et sont alors équivalents.
Inversement, étant donné un système différentiel, on peut lui
associer le -module différentiel définie par :
où est la base canonique
de et
Considérons l’ensemble
des
équations différentielles .On sait que c’est un anneau euclidien à droite
et à gauche non commutatif et simple muni de l’opération :
.
Tout élément
défini un -module différentiel
de rang muni de l’opérateur tel que :
et ; où
est une base et)=
;.
De même tout élément
défini un système
différentiel de la forme : où
Tout -module différentiel est un -module muni de
l’opération :
Lemme de vecteur cyclique :
Si est un -module différentiel de rang et si est un corps de
caractéristique 0 ou de caractéristiquerang, alors, il existe un vecteur
tel que : soit une base de appelée base
cyclique de.
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Dans ce cas, si
, le module est isomorphe au
module :
où
Remarque 1: Soient et une base de ,
alors tel que :
est un vecteur cyclique de
2. Modules différentiels algébriques
Soient un corps commutatif algébriquement clos de caractéristique nulle et
le corps des séries formelles à coefficients dans .
Rappelons que la clôture algébrique de est
où
est l’extension galoisienne de degré de et que la dérivation
de
s’étend d’une manière unique sur
.
Si
avec , on note :
2.1 Singularités : Rang de Poincaré-Katz et nombre de Fuchs-Malgrange
Soient un -module différentiel de rang, une base de et
.
Le nombre rationnel :
est appelé rang de Poincaré-Katz de .
Remarques 2:
1. Ce nombre ne dépend pas de la base e choisie. En plus, il est le même
pour tous les -modules c-a-d :
2. Si le module M à une singularité
régulière (resp.irrégulière) en 0
3. admet un point singulier régulier en 0 s’il existe une extension
de et une base de espace vectoriel où la
dérivation
est représentée par une matrice telle que
4. Un système différentiel linéaire ou une équation différentielle linéaire ont
un point singulier régulier (resp.irrégulier) en 0 si le module associée à
une singularité régulière (resp.irrégulière) en 0.
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Proposition1 :
Si est une base de -module telle
que :
alors :
1.
et on retrouve les
conditions de Fuchs pour la caractérisation des singularités de l’équation
associée à .
2. alors on a : telle que :
;
;
où est à coefficients dans
, est une matrice non
nilpotente et est le plus petit entier tel que :.
Remarques3:
1. Une matrice de la forme : où est appelée une
transformation de Schearing.
2. Si on écrit sous la forme :
avec,
le nombre de Fuchs est : .
La nullité du nombre de Fuchs caractérise une singularité régulière.
3. Si on considère la dérivation
et l’opérateur
,,()
, où
,,
et
,
le polygone de Newton de qui est la clôture convexe dans de
possède une seule pente et cette pente est nulle si et seulement si 0
est un point singulier régulier de.
(). (Voir)
4. Si est l’équation différentielle associée à , on écrira :
) et on notera le rang de Poicaré-Katz
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