Singularités des modules différentiels à coefficients dans un corps

Singularités des modules différentiels à coefficients dans
un corps
ou
avec un corps
algébriquement clos ou un corps de nombres)
Salah eddine Remmal
Exposé donné le 3/9/2012 à l’Ecole de recherches CIMPA-UNESCO
Singularités des espaces, des fonctions et des feuilletages qui a eu lieu
à La Faculté des Sciences FES entre le 3 et 14 septembre.
Introduction :
On sait que la donnée d’un système différentiel linéaire correspond à la
donnée d’un module différentiel muni d’une connexion. De même, deux
systèmes différentiels linéaires équivalents correspondent à des modules
isomorphes dans la catégorie des modules différentiels.
La classification des systèmes différentiels linéaires est basée d’abord sur la
caractérisation des singularités et la distinction entre singularités : ordinaire,
régulière ou irrégulière. Un des outils de cette caractérisation est le rang de
Poincaré-Katz.
Le calcul de ce rang n’est pas difficile si on dispose d’un bon lemme de
vecteur cyclique qui permet de passer d’un système différentiel linéaire à une
équation différentielle linéaire .On peut alors calculer sur les coefficients de
l’équation différentielle la plus parts des invariants du module associé au
système :
 Rang de Katz
 Les invariants de Gérard Levelt
 L’indice de Malgrange et de Ramis
 Le calcul des facteurs déterminants dans la décomposition de Turrittin
D’autre part, il existe des algorithmes qui permettent de calculer le rang de
Katz sans passer par le lemme de vecteur cyclique comme les algorithmes
de Babith-Varadarajan (Propositions1et 2).
On peut également, dans le cas où
est un corps de nombres, utiliser
l’analyse p-adique et la notion de rayon de convergence générique
du module
associé au système différentiel pour avoir des
informations sur les singularités et les exposants
(voir théorème3 et corollaire 2).
Ces résultats utiles en géométrie arithmétique nous permettent de
voir qu’un G-opérateur différentiel n’a que des singularités régulières à
exposants rationnels alors qu’un E-opérateur (transformé de Fourrier-Laplace
d’un G-opérateur) ne possède qu’une singularité régulière et une singularité
irrégulière
En plus les coefficients de la matrice de réduction à la
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forme de Krull- Turrittin(corollaire1) au voisinage d’une singularité régulière0
sont des G-fonctions dans le cas d’un G-opérateur et des E-fonctions dans le
cas d’un E-opérateur.
,
.
1. Généralités
Soit un anneau commutatif muni d’une dérivation d et soit l’anneau des
constantes de .
 Un -module différentiel est un -module libre de rang fini muni d’un
opérateur c-a-d un -endomorphisme de qui vérifie :
 Si
et
sont deux -modules différentiels. Une application -linéaire
est dite horizontale si :
.
On note
( ) la catégorie dont les objets sont les -modules
différentiels libres de rang fini sur et les morphismes sont les
applications -linéaires horizontales. C’est une sous catégorie de la
catégorie des
-modules de type fini.
 Si est un sur-anneau différentiel de c.-à-d. un -module libre de rang
fini contenant et muni d’une dérivation prolongeant la dérivation de
et si
alors
est un -module différentiel muni de
l’opérateur défini par :
 Si
est une base de
, il existe alors des coefficients
On dit que la matrice
représente dans la base et on
note :
 Si
est une autre base de et si
est la
matrice de changement de bases, l’opérateur est alors représenté par
la matrice :
 On appelle solution du module
toute application -linéaire s de
(c-a-d
)
dans un sur-anneau différentiel
dans telleque :
de
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D’où :
où
est une base de .
Autrement dit le vecteur
est solution du système
différentiel linéaire
De même on a :
est solution du système différentiel
linéaire
.
Les systèmes
et
associès au même module
relativement aux bases et sont alors équivalents.
 Inversement, étant donné un système différentiel
, on peut lui
associer le -module différentiel définie par :
où
est la base canonique
de
et
 Considérons l’ensemble
des
équations différentielles .On sait que c’est un anneau euclidien à droite
et à gauche non commutatif et simple muni de l’opération :
.
défini un -module différentiel
 Tout élément
de rang
muni de l’opérateur
et
est une base et
 De même tout élément
différentiel de la forme :
 Tout -module différentiel
l’opération :
tel que :
; où
)=
;
.
défini un système
où
est un
-module muni de
Lemme de vecteur cyclique
:
Si est un -module différentiel de rang et si est un corps de
caractéristique 0 ou de caractéristique rang , alors, il existe un vecteur
tel que :
soit une base de appelée base
cyclique de .
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Dans ce cas, si
, le module
module :
est isomorphe au
où
Remarque 1: Soient
alors
et
tel que :
une base de
,
est un vecteur cyclique de
2. Modules différentiels algébriques
Soient un corps commutatif algébriquement clos de caractéristique nulle et
le corps des séries formelles à coefficients dans .
Rappelons que la clôture algébrique de est
où
est l’extension galoisienne de degré de et que la dérivation
s’étend d’une manière unique sur .
Si
avec
de
, on note :
2.1 Singularités : Rang de Poincaré-Katz et nombre de Fuchs-Malgrange
Soient un -module différentiel de rang , une base de et
.
Le nombre rationnel :
est appelé rang de Poincaré-Katz de .
Remarques 2:
1. Ce nombre ne dépend pas de la base e choisie. En plus, il est le même
pour tous les -modules
c-a-d :
2. Si
le module M à une singularité
régulière (resp.irrégulière) en 0
3.
admet un point singulier régulier en 0 s’il existe une extension
de
dérivation
et une base de
espace vectoriel
est représentée par une matrice
où la
telle que
4. Un système différentiel linéaire ou une équation différentielle linéaire ont
un point singulier régulier (resp.irrégulier) en 0 si le module associée à
une singularité régulière (resp.irrégulière) en 0.
4
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Proposition1
Si
que :
1.
:
est une base de -module telle
alors :
et on retrouve les
conditions de Fuchs pour la caractérisation des singularités de l’équation
associée à .
2.
alors on a :
telle que :
;
;
où
est à coefficients dans
,
est une matrice non
nilpotente et est le plus petit entier tel que :
.
Remarques3:
1. Une matrice de la forme :
où
est appelée une
transformation de Schearing.
2. Si on écrit sous la forme :
avec
,
le nombre de Fuchs est :
.
La nullité du nombre de Fuchs caractérise une singularité régulière.
3. Si on considère la dérivation
et l’opérateur
,
,
(
) , où
,
le polygone de Newton de
, et
,
qui est la clôture convexe dans
de
possède une seule pente et cette pente est nulle si et seulement si 0
est un point singulier régulier de .
(
). (Voir
)
4. Si est l’équation différentielle associée à , on écrira :
) et on notera
le rang de Poicaré-Katz
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de l’opérateur obtenu à partir de
(resp.
par le changement de variables :
)
Proposition2
:
Soient un -module différentiel de rang ,
.
Alors :
1.
2.
une base de
et
tels que:
est une matrice non nilpotente si
.
Remarques4 :
1. La matrice décrit un algorithme qui est un composé fini de
transformations matricielles polynomiales et de transformations de
Schearing.
2. Si on pose :
, les systèmes différentiels
et
sont alors équivalents.
2.2 Décomposition de Krull-Turrittin
La décomposition de Krull-Turrittin permet une classification des -modules
selon la nature des singularités. Un -module différentiel se décompose ainsi
comme somme directe de modules indécomposables (irréductibles) c.-à-d.
dont les sous-modules différentiels n’ont pas de supplémentaire.
Dans le cas d’une singularité régulière, nous retrouvons la décomposition
formelle classique des modules Fuchsiens. L’analogue de cette
décomposition dans le ca d’un opérateur linéaire correspond à une
factorisation de selon les pentes de son polygone de Newton en un produit
d’opérateurs ayant une seule pente (
). On peut retrouver aussi cette
décomposition en appliquant le lemme de Hensel (
).
Définition : Une matrice
est dite sous forme
canonique ou réduite si :
1.
2. Les matrices sont semi-simples et commutent deux à deux
3. Les matrices
commutent avec la matrice .
4.
Remarques5 :
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1. Si
où
sont des blocs de matrices, on notera
.
2. Si on pose :
=
alors, on peut écrire :
et
,
,
où
,
où
3. Si est un -module différentiel associé à la matrice
-module différentiel associé à la matrice
alors, on a :
où
(irréductible).
4. Si est une matrice de la forme :
Jordan. On peut écrire :
Jordan de valeur propre .
et si
est un
est un module indécomposable
où
où
est sous forme de
est une matrice de
Théorème1
(Décomposition de Krull-Turrittin)
Soit un -module différentiel de rang . Alors,
1. Si 0 est une singularité régulière, il existe une extension
et une base de
espace vectoriel
de
où la dérivation
est
représentée par une matrice canonique de la forme :
Dans ce cas, on a :
où
est un
différentiel associé à la matrice
2. Si 0 est une singularité irrégulière, il existe une extension
de
et une base de
espace vectoriel
-module
où la dérivation
est représentée par une matrice canonique de la forme :
Dans ce cas, on a :
différentiel associé à la matrice
est un -module
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Corollaire
Soit
un système différentiel linéaire. Alors :
1. Si 0 est une singularité régulière, il existe une extension
, une matrice
) et une matrice
de
telles que :
Dans ce cas,
est une solution formelle du système différentiel.
2. Si 0 est une singularité irrégulière, il existe extension
de
une matrice
) telles que :
où
Dans ce cas, on a :
,
Remarques6 :
1. Les valeurs propres de la matrice
exposants du module différentiel
est une matrice canonique.
est une matrice non nilpotente et
est solution du système.
modulo
sont appelées les
(ou du système différentiel
2. La matrice n’est pas unique et elle est appelée matrice de réduction.
3. L’anneau des séries formelles
muni de la valuation -adique est
un anneau valué discret dont est le corps résiduel puisque que les
corps
et
la classe de
sont isomorphes. Si
, on notera
modulo
Lemme de Hensel
:
On considère le corps
muni de la dérivation
et on
suppose que est un corps algébriquement clos.
Soit
tels que :
et
dans
où
est
un polynôme unitaire de degré
Si
, les polynômes
sont premiers entre eux,
alors, il existe un relèvement unique
de
tel que :
avec :
.
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Application au cas singulier régulier :
On considère l’équation
:
Le système différentiel linéaire associé à
est défini par la matrice :
On a :
si 0 est une singularité régulière. Dans ce cas, le polynôme
caractéristique de la matrice
appelé polynôme indiciel de l’équation
différentielle est :
+…+
On peut écrire
car le corps est algébriquement clos.
Les racines du polynôme indiciel sont les exposants du module ou du
système associé à .
On peut appliquer Le lemme de Hansel, en posant :
+…+
,
,
;
.
La condition du lemme de Hansel est équivalente a :
ce
qu’on peut toujours avoir moyennant une transformation de Schearing).
Il existe donc : ,
tels que :
avec
;
Cette factorisation de correspond à une décomposition de krull-Turrittin du
module différentiel :
On a :
où
où :
.
.
D’autre part, si on applique le théorème de Krull-Turrittin au module , on
obtient
car
où
est un facteur de Jordan associé à la valeur propre
En plus,
où

est un -espace vectoriel de dimension muni de l’opérateur
défini relativement à la base canonique par :

est un -espace vectoriel de dimension 1 muni de l’opérateur
tel
que
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
l’opérateur
est une base de module différentiel
défini par :
muni de
3. Modules Différentiels arithmétiques
On suppose que
et on note
la clôture algébrique de
3.1. Séries Gevrey de type arithmétique
Soit
une suite de nombres algébriques
On considère la condition suivante :
:
:
1. Les conjugués de
sont de module inférieur à
2. Le dénominateur commun à
est inférieur à
Définitions :
1. Une série entière
la série associée
>0,
<
dans .
est dite Gevrey d’ordre
a un rayon de convergence non nul
! .
est dite Gevrey arithmétique d’ordre s si
et la suite de terme générale :
vérifie la propriété
2.
si
.
3. Une série Nilsson- Gevrey arithmétique d’ordre s est une combinaison
linéaire finie de la forme :
où
d’ordre s.
et
est une série Gevrey arithmétique
Remarques7 :
1. Une série Gevrey d’ordre 0 est une série convergente.
2. Une série Gevrey d’ordre
est généralement une série divergente.
3. Une série Gevrey d’ordre
est une série entière d’ordre
exponentiel
.
4.L’ensemble des séries Gevrey arithmétiques d’ordre s noté
est
un sous
-algèbre de
stable par différentiation et par intégration.
5.L’ensemble des séries Nilsson- Gevrey arithmétiques d’ordre s noté
est une
-algèbre stable par différentiation et par intégration.
Définitions (G-fonctions,E-fonction)
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telle que f est solution d’un opérateur différentielle de
Soit
.
Alors f est une G-fonction (resp. une E-fonction) si
Exemples :
1. La fonction de Bessel
est une E-fonction.
(resp. si
).
2.
est une G-fonction alors que
est une E-fonction (où
+
1
).
La présence d’une série Nilsson Gevrey parmi les solutions d’une
équation différentielle linéaire à coefficients polynomiaux nous
renseigne sur les singularités et sur la structure de l’équation
Théorème
: soit
l’opérateur d’ordre
et soit
minimal annulant .Alors :
1. Si
, est Fuchsien c.-à-d. n’a que des singularités régulières. En
tout point
, admet une base de solutions dans
et une
base de solutions dans
2. Si
et sont les seules singularités de . ( admet une base de
solutions analytiques en tout point différent de et de ).
En plus :
 0 est une singularité régulière à exposants rationnels et admet une
base de solutions dans
.

est une singularité irrégulière et
admet une base de solutions de la
forme :
3. Si
où
,
et
et
sont les seules singularités non triviales de
En plus :
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 0 est une singularité irrégulière et
forme :

admet une base de solutions de la
où
et
est une singularité régulière à exposants rationnels et
admet une
base de solutions dans
3.2. Rayon de convergence générique
:
On suppose que k est un corps de nombres et on note :


l’ensemble de toutes les places finies normalisées sur k
le complété de la clôture algébrique de
pour une place finie
normalisée associée au nombre premier .


;
associée au nombre premier
une extension de
complète et algébriquement close dont
l’ensemble
des valeurs absolues est
transcendant sur celui de .

et dont le corps résiduel est
un point générique de valeur absolue
c.-à-d :
et
 Pour tout réel positif non nul r et toute valeur absolue non archimédienne
du corps de nombres k, on définit une valeur absolue sur k(x) en
posant :
si
et
si
.
Cette valeur absolue vérifie :
sur
en posant :
et se prolonge en une norme
si

.
le complété la de l’anneau des fractions rationnelles à coefficients
dans
sans pôles dans la couronne :
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pour la norme :
On sait que
coïncide avec l’anneau
analytiques dans la couronne
et que :
des fonctions
, (Voir
Soient
Les matrices
un
et
)
-module différentiel de rang , une base de,
.
sont liées par la formule de récurrence:
;
.
est l’unique solution du système
La matrice
différentiel :
vérifiant :
.
C’est une solution analytique dans le disque du centre
et de rayon
.
Le nombre
ne change pas si
je remplace par
où
et
est
le corps de fractions de
.
Ce nombre est donc identique pour toutes les bases du module . On
l’appellera le rayon de convergence générique du
-module
différentiel au voisinage du point générique pour la place finie du
corps associée au nombre premier et on le notera
ou
.
Si
écrira
est l’équation différentielle linéaire associée à M, on
au lieu de
.
Définition (caractérisation) d’un G-opérateur
Soit
:
.Alors :
L est un G-opérateur si et seulement si :
Définition d’un E-opérateur
.
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est un E-opérateur si son transformé de Fourier-Laplace
est un G-opérateur.
Où
tels que :
et
Les résultats suivants nous permettent de voir qu’un G-opérateur n’a
que des singularités régulières à exposants rationnels alors qu’un Eopérateur ne possède que deux singularités non triviales (une singularité
régulière en 0 dont les exposants sont des nombres rationnels et une
singularité irrégulière à l’infini)
Théorème
: si est un
module différentiel, alors les
assertions suivantes sont équivalentes :
1. Il existe une famille ( ) de nombres réels de
où décrit les places
finies de ) telle que :
.
2. 0 est une singularité régulière à exposants rationnels
Corollaire2 ( Katz) :
Si
est un
module différentiel te tel que :
où
alors
décrit les nombres premiers,
n'a que des singularités régulières exposants rationnels.
Théorème4 (Caractérisation des E-opérateurs)
Soit
.
alors L est un E-opérateur si et seulement si les
conditions suivantes sont satisfaites :
1. Les pentes du polygone de Newton (au sens de Ramis) de L sont dans
2.
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Remarque
:
1. Dans le cas d’un G -opérateur, les coefficients de la matrice de réduction
et de la matrice
(voir corollaire1) sont des G-fonctions
( Propriété :Local Galochkin) .
2. Dans le cas d’un E-opérateur, les coefficients de la matrice de réduction
et de la matrice
au voisinage de 0 sont des E-fonctions et les
exposants en 0 sont rationnels.
3. La grande différence entre la théorie des équations différentielles
complexes et la théorie des équations différentielles p-adiques est
qu’une solution p-adique ne converge pas jusqu'à la première singularité
contrairement à une solution complexe ce qui nous amène à introduire la
notion du rayon de convergence des solutions au voisinage d’un point.
4. La plus part des équations différentielles linéaires à coefficients
polynomiaux qui émaillent les traités de fonctions spéciales sont soit
fuchsiennes sur la sphère de Riemann, soit elles n’ont que deux
singularités, l’origine et l’infini, l’une des deux étant régulière.
5. Si
est une série Nilsson-Gevrey d’ordre
de type arithmétique,
vérifiant une équation différentielle à coefficients polynomiaux, alors
est solution d’un E-opérateur. Ce résultat montre l’importance des
E-opérateurs.
Références
Y.ANDRE, Séries Gevrey de type arithmétique,Annals of
mathématic,Vol 151 (2000).
DG.BABITT,VS.VARADARAJAN, Formal reduction of meromorphic
differential equation, a group theoric view, Pacific J.Math108,1983.
B.MALGRANGE, Equations différentielles à coefficients polynomiaux,
Birkhausser Vol 96, 1991.
S.MANJRA ,S.REMMAL, Rayon de convergence générique des
équations différentielles à coefficients polynomiaux sur un corps de
nombres, Annales mathématiques BLAISE PASCAL,Vol 8,N°2,pp 89-105
(2001).
S.MANJRA ,S.REMMAL, Equations différentielles p-adiques et
Séries Gevery arithmétiques. Mathematische Annalen.334,pp 37-64 (2006).
S.REMMAL,G.CHRISTOL, Irregular p-adic differential equation,
Lecture notes in algebra and number theory. Vol 208. Marcel Dekker 1999.
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P.ROBBA, Lemme de Hensel pour les opérateurs différentiels.
Ens.Math.26.Fasc 3-4,1980.
Marius van der Put, Michael F.Singer,Grundlehren der
mathematischen Wissenchften. Vol 328,Springer.
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