david harari

MATHÉMATIQUES
MATHÉMATIQUES
MATHÉMATIQUES
SAVOIRS
ACTUELS
COHOMOLOGIE
GALOISIENNE
ET THÉORIE DU CORPS
DE CLASSES
DAVID HARARI
CNRS ÉDITIONS
David Harari
Cohomologie galoisienne
et théorie du corps de classes
S A V O I R S
A C T U E L S
EDP Sciences/CNRS ÉDITIONS
Imprimé en France.
c 2017, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,
91944 Les Ulis Cedex A
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ISBN EDP Sciences 978-2-7598-2066-5
ISBN CNRS Éditions 978-2-271-09509-1
TABLE DES MATIÈRES
Avant-propos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Notations et conventions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Partie I. Cohomologie des groupes et cohomologie galoisienne :
généralités
1. Cohomologie des groupes finis : propriétés de base. . . . . . . . .
1.1. Notion de G-module. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. La catégorie des G-modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Les groupes de cohomologie H i (G, A). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Calcul de la cohomologie avec les cochaînes. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Changement de groupe : restriction, corestriction, suite spectrale de Hochschild-Serre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Corestriction ; applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
12
15
18
23
26
33
35
2. Groupes modifiés à la Tate, cohomologie des groupes
cycliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Les groupes de cohomologie modifiés de Tate . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Changement de groupe. Transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Cohomologie d’un groupe cyclique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Quotient d’Herbrand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Cup-produits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Cup-produits pour la cohomologie modifiée. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
39
43
50
51
53
55
63
3. p-groupes, théorème de Tate-Nakayama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Modules cohomologiquement triviaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Théorème de Tate-Nakayama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
65
70
73
iv
TABLE DES MATIÈRES
4. Cohomologie des groupes profinis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Notions de base sur les groupes profinis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. G-modules discrets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Cohomologie d’un G-module discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
75
80
82
88
5. Dimension cohomologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Définitions, premiers exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Propriétés de la dimension cohomologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
91
93
96
6. Premières notions de cohomologie galoisienne. . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Théorème de Hilbert 90 et applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Groupe de Brauer d’un corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Dimension cohomologique d’un corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. Corps C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
99
100
101
102
104
106
Partie II. Corps locaux
7. Rappels sur les corps locaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.1. Anneaux de valuation discrète. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.2. Corps complet pour une valuation discrète. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.3. Extensions d’un corps complet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.4. Théorie de Galois d’un corps complet pour une valuation discrète. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.5. Théorème de structure ; filtration du groupe des unités. . . . . . . 116
7.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8. Le groupe de Brauer d’un corps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.1. Axiome du corps de classes local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.2. Calcul du groupe de Brauer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.3. Dimension cohomologique ; théorème de finitude . . . . . . . . . . . . . 126
8.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9. Corps de classes local : l’application de réciprocité. . . . . . . . . 131
9.1. Définition et principales propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.2. Théorème d’existence : lemmes préliminaires et cas d’un corps
p-adique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10. Dualité locale de Tate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.1. Module dualisant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.2. Le théorème de dualité locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
TABLE DES MATIÈRES
10.3.
10.4.
10.5.
10.6.
Caractéristique d’Euler-Poincaré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cohomologie non ramifiée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Du théorème de dualité au théorème d’existence. . . . . . . . . . . .
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
149
151
152
154
11. Corps de classes local : théorie de Lubin-Tate. . . . . . . . . . . . . 157
11.1. Groupes formels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11.2. Changement d’uniformisante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.3. Corps associés aux points de torsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.4. Calcul de l’application de réciprocité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.5. Théorème d’existence (cas général). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Partie III. Corps globaux
12. Rappels sur les corps globaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12.1. Définitions, premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12.2. Extensions galoisiennes d’un corps global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
12.3. Idèles, théorème d’approximation forte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
12.4. Quelques compléments dans le cas d’un corps de fonctions . . 187
12.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
13. Cohomologie des idèles : axiome du corps de classes. . . . . . 191
13.1. Cohomologie du groupe des idèles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
13.2. La seconde inégalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
13.3. Extensions de Kummer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
13.4. Première inégalité et axiome du corps de classes. . . . . . . . . . . . 202
13.5. Preuve de l’axiome du corps de classes pour un corps de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
13.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
14. Loi de réciprocité et théorème de Brauer-Hasse-Noether 213
14.1. Existence d’une extension cyclique neutralisante. . . . . . . . . . . . 213
14.2. Invariant global et symbole de reste normique. . . . . . . . . . . . . . . 217
14.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
15. Le groupe de Galois abélien d’un corps global. . . . . . . . . . . . . 223
15.1. Application de réciprocité et groupe des classes d’idèles. . . . . 223
15.2. Le théorème d’existence global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
15.3. Le cas du corps de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
15.4. Corps de classes de rayons ; corps de classes de Hilbert. . . . . . 235
15.5. Groupes de Galois de ramification restreinte. . . . . . . . . . . . . . . . 241
15.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
vi
TABLE DES MATIÈRES
Partie IV. Théorèmes de dualité
16. Formations de classes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
16.1. Notion de formation de classes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
16.2. La suite spectrale des Ext. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
16.3. Le théorème de dualité pour une formation de classes. . . . . . . 262
16.4. P -formations de classes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
16.5. Du théorème d’existence au théorème de dualité pour un
corps p-adique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
16.6. Compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
16.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
17. Dualité de Poitou-Tate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
17.1. La P -formation de classes associée à un groupe de Galois de
ramification restreinte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
17.2. Les groupes PiS (M ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
17.3. Énoncé des théorèmes de Poitou-Tate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
17.4. Preuve des théorèmes de Poitou-Tate (I) : calcul de deux
groupes Ext. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
17.5. Preuve des théorèmes de Poitou-Tate (II) : calcul des Ext à
valeurs dans IS et fin de la preuve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
17.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
18. Quelques applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
18.1. Nullité de certains Xi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
18.2. Dimension cohomologique stricte d’un corps de nombres . . . . 306
18.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Appendice
Quelques résultats d’algèbre homologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
A.1. Généralités sur les catégories. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
A.2. Foncteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
A.3. Catégories abéliennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
A.4. Catégories de modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
A.5. Foncteurs dérivés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
A.6. Ext et Tor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
A.7. Suites spectrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Index terminologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
AVANT-PROPOS
Les outils issus de la cohomologie galoisienne jouent un rôle fondamental dans la théorie des nombres moderne. Ils permettent en effet d’avoir une
meilleure compréhension du groupe de Galois d’un corps local ou d’un corps
de nombres, qui sont des objets centraux dans la plupart des grands problèmes arithmétiques de notre époque. La théorie cohomologique du corps
de classes, qui s’est développée après la guerre, peut être vue comme une première étape dans la mesure où elle traite principalement des extensions dont
le groupe de Galois est abélien. En un sens, c’est le cas de dimension 1 du
programme de Langlands, lequel est aujourd’hui l’un des domaines phares
de l’arithmétique.
L’origine de ce livre est le constat de deux manques dans la littérature
existante. Tout d’abord, il n’y a à notre connaissance pas de livre publié
en français traitant de façon détaillée de la théorie du corps de classes global. Ensuite, les ouvrages (en anglais) comme [38] ou [41] qui donnent
des preuves des théorèmes de Poitou-Tate admettent en général un certain
nombre de résultats de la théorie du corps de classes, ce qui ne facilite pas
la compréhension de l’enchaînement logique des idées pour l’étudiant.
Le but de ce livre est donc de rassembler dans un même ouvrage, et en
donnant des démonstrations complètes, les bases de cohomologie (partie I :
chapitres 1 à 6), la théorie du corps de classes local (partie II : chapitres 7
à 11) et global (partie III : chapitres 12 à 15), et les difficiles (mais ô combien utiles) théorèmes de dualité de Poitou-Tate (partie IV : chapitres 16
à 18). Les prérequis se limitent aux généralités d’algèbre et arithmétique
enseignées à l’université en M1 (théorie de Galois, notions de base d’arithmétique et de théorie des groupes finis), rendant ainsi le livre accessible pour
des étudiants de M2. On a en particulier inclus un chapitre de rappels sur
les corps locaux (chapitre 7) ainsi que sur les corps globaux (chapitre 12),
ainsi qu’un appendice résumant les résultats d’algèbre homologique qui sont
2
AVANT-PROPOS
utilisés dans le livre. Nous pensons en effet que quelques connaissances en
algèbre homologique (catégories abéliennes, foncteurs dérivés, suites spectrales) seront de toute façon utiles à l’étudiant qui veut poursuivre son apprentissage en algèbre, en arithmétique, ou encore en géométrie algébrique ;
de plus, l’utilisation systématique de l’algèbre homologique permet d’avoir
une présentation vraiment élégante de certains résultats (par exemple ceux
du chapitre 16 sur les formations de classes), qui paraîtraient sinon assez
artificiels ; elle est aussi adaptée pour justifier les commutativités des diagrammes, que nous avons essayé de présenter le plus rigoureusement possible
tout au long du texte. Nous n’avons par contre pas jugé utile de recourir
aux catégories dérivées qui, même si elles peuvent apporter un point de vue
nouveau, demandent un effort conséquent et ne sont pas réellement utiles
pour les sujets traités dans ce livre ; elles deviennent en revanche rapidement
indispensables si on s’intéresse à des théorèmes de dualité plus généraux que
ceux de Poitou-Tate, comme ceux faisant intervenir des corps de dimension
cohomologique 3 ([18]) ou encore des complexes de modules galoisiens
([19], [16]).
Nous n’avons pas non plus (faute de place) fait figurer dans cet ouvrage
les aspects analytiques, tels que la preuve à l’aide des séries de Dirichlet de
la « première inégalité » (que nous démontrons par une méthode algébrique
au chapitre 13) ou encore la preuve du théorème de Čebotarev (qui permet
de raffiner quelques résultats du chapitre 18). Il va de soi que les méthodes
analytiques apportent un éclairage différent et important sur la théorie du
corps de classes global : on pourra consulter [25] ou [32] pour une présentation détaillée de ces méthodes, ou encore [28] pour une vue d’ensemble du
domaine. On a aussi laissé de côté des sujets plus avancés tels que la théorie
d’Iwasawa, les problèmes de plongements, ou la géométrie anabélienne, pour
lesquels on trouvera une excellente introduction dans [41].
Ce livre est organisé pour être particulièrement adapté à des étudiants
de M2. Il s’agit d’ailleurs d’une synthèse de deux cours de M2 recherche
donnés à Orsay ces dernières années, ce qui permettra aussi au livre d’être
utilisé par les enseignants ou les doctorants. Chaque cours durait au total
44 heures, à raison de 4 heures par semaine. Les deux cours traitaient (plus
ou moins en détails) les parties I et II du livre. L’un des deux (intitulé
Cohomologie galoisienne et théorie des nombres) mettait ensuite l’accent sur
la partie IV (en admettant la plupart des résultats de la partie III) ; l’autre
(intitulé Théorie du corps de classes) détaillait la partie III (en n’abordant
pas la dualité de Poitou-Tate). On a tenu à faire figurer dans ce livre un
certain nombre d’exercices (plus de 110 au total) à la fin de chaque chapitre,
issus notamment de ceux donnés pendant les cours sus-mentionnés, ainsi
que des examens correspondants. Certains de ces exercices constituent des
compléments utiles au texte principal ; cependant leurs résultats ne sont pas
AVANT-PROPOS
3
utilisés dans les démonstrations des théorèmes dudit texte, ce qui permet
au lecteur d’avoir toujours des preuves complètes directement disponibles.
Beaucoup de résultats exposés ici possèdent de vastes généralisations,
dont certaines font encore l’objet de recherches très actives. Il existe notamment une théorie du corps de classes supérieure, développée dans les
années 1980 par Kato et Saito (voir par exemple [42]), pour laquelle il
existe maintenant une approche directe ne reposant pas sur la K-théorie
(cf. [52]). Par ailleurs, le lecteur désireux d’aller plus loin sur les théorèmes
de dualité pourra par exemple consulter le livre [38], ainsi que les articles
[19], [16] et [10] pour des théorèmes de dualité en cohomologie étale et
plate, y compris pour des schémas en groupes tels que les tores et les variétés abéliennes. Ces théorèmes de dualité sont devenus très présents dans
les questions arithmétiques concernant les points rationnels des variétés,
notamment les problèmes de principe local-global pour les groupes algébriques linéaires ; on en trouvera un aperçu dans le livre [51], ainsi que dans
les articles [44], [3], [18].
Il va sans dire que le matériel couvert dans cet ouvrage est très classique,
et s’inspire donc largement de certains textes antérieurs. En particulier,
l’influence des livres [38], [39], [41], [45] et [48] est évidente. Je tiens à
remercier particulièrement leurs auteurs pour leur travail remarquable, qui
m’a permis d’apprécier pleinement la beauté des sujets abordés dans le présent ouvrage. Mes remerciements s’adressent aussi à tous les étudiants qui
ont suivi mes cours et m’ont signalé des erreurs ou des améliorations à
apporter aux notes que je mettais en ligne chaque semaine, notamment :
M. Chen, Z. Gao, C. Gomez, A. Jaspers, Y. Liang, S. Liu, J. Xun. La première version du manuscrit a également bénéficié des précieuses remarques
de J.-B. Bost, C. Demarche, D. Izquierdo, G. Lucchini-Arteche, A. Pirutka,
J. Riou, A. Smeets, T. Szamuely et O. Wittenberg : je tiens à leur exprimer
ici toute ma gratitude. Je remercie enfin C. Sabbah pour m’avoir le premier parlé de la possibilité d’écrire ce livre et pour son très efficace travail
éditorial.
NOTATIONS ET CONVENTIONS
Le symbole := signifie que l’égalité en question est une définition. On
désignera parfois le cardinal d’un ensemble fini E par #E. On appelle diagramme commutatif exact un diagramme commutatif dont les lignes et les
colonnes sont des suites exactes.
Si A et B sont des groupes abéliens (que l’on peut voir comme des
Z-modules), on notera A ⊗ B pour désigner le produit tensoriel A ⊗Z B.
Rappelons aussi que si R est un anneau et si M et N sont respectivement
des R-modules à droite et à gauche, alors on peut définir le produit tensoriel M ⊗R N , qui est un groupe abélien (et si R est commutatif c’est un
R-module), [4], § 3.1.
Pour tout n > 0, le sous-groupe de n-torsion d’un groupe abélien A (dont
la loi est notée additivement) est le sous-groupe A[n] := {x ∈ A, nx = 0}, et
le sous-groupe de torsion Ators de A est la réunion des A[n] pour n > 0. On
dit que le groupe abélien A est de torsion si A = Ators . On notera souvent
Z/n le groupe cyclique Z/nZ.
Soit p un nombre premier. Un groupe abélien de torsion A est dit pprimaire si tout élément de A est d’ordre une puissance de p. Tout groupe
abélien de torsion A s’écrit
p A{p} où, pour chaque p premier, on note
A{p} la composante p-primaire de A, c’est-à-dire le sous-groupe de A constitué des éléments d’ordre une puissance de p.
Un groupe abélien A est dit p-divisible si la multiplication par p dans A
est surjective, divisible si cette propriété est vraie pour tout nombre premier p (ou encore pour tout entier n > 0 à la place de p). Il est dit uniquement divisible si pour tout entier n > 0, la multiplication par n dans A est
un isomorphisme. On dit qu’un groupe fini G est un p-groupe si son cardinal
est une puissance de p. Un tel groupe est nilpotent, en particulier son centre
n’est pas réduit à l’élément neutre.
Par convention, tous les systèmes inductifs (Ai )i∈I de groupes abéliens,
anneaux commutatifs, modules sur un anneau R, etc. que nous considérerons
6
NOTATIONS ET CONVENTIONS
seront associés à des ensembles I ordonnés non vides filtrants, c’est-à-dire
tels que si i, j ∈ I, il existe k ∈ I avec i k et j k ; ainsi la limite inductive
limi∈I Ai sera toujours bien définie en tant que groupe abélien (resp. anneau
−→
commutatif, R-module... ), et pas seulement en tant qu’ensemble.
Si G est un groupe (resp. un groupe topologique) et H un sous-groupe
de G, on désigne par G/H l’ensemble (resp. l’espace topologique quotient)
des classes à gauche selon H, c’est-à-dire l’ensemble des aH pour a ∈ G.
Si H est distingué dans G, l’ensemble G/H est muni canoniquement d’une
structure de groupe quotient (resp. groupe topologique quotient). Un caractère d’un groupe fini (resp. d’un groupe topologique) G est un morphisme
(resp. un morphisme continu) de G dans Q/Z (considéré comme un groupe
discret). On notera G∗ = Homc (G, Q/Z) le dual d’un groupe topologique G,
qui est aussi le dual de son abélianisé (il coïncide avec le classique dual de
Pontryagin Homc (G, R/Z) si G est abélien de torsion, mais pas en général).
Un morphisme continu f : A → B de groupes topologiques est strict s’il
induit un homéomorphisme de l’espace topologique quotient A/ Ker f sur
le sous-espace Im f de B ; c’est équivalent à demander que l’image de tout
ouvert de A soit un ouvert de f (A) (où f (A) est muni de la topologie induite
par celle de B), et pour un morphisme surjectif, c’est équivalent à dire que
c’est une application ouverte.
Par définition, un espace topologique compact sera pour nous toujours
séparé (au sens de Hausdorff) et dénombrable à l’infini ; de même pour un espace localement compact. Un espace topologique est totalement discontinu
si ses seules composantes connexes sont les singletons. Avec nos conventions, un morphisme continu surjectif entre groupes localement compacts
est automatiquement strict ([21], Th. 5.29).
Tous les corps seront supposés commutatifs. Un corps k de caractéristique
Car k strictement positive p est parfait si le morphisme x → xp de k dans k
est un isomorphisme (exemple : k fini), imparfait sinon. Pour tout entier q
puissance d’un nombre premier p, on notera Fq le corps fini à q éléments,
qui est de caractéristique p. Une extension d’un corps K est un corps L
équipé d’un morphisme de corps (nécessairement injectif) K → L. Une telle
extension est dite finie si le K-espace vectoriel L est de dimension finie.
Dans ce cas, on notera [L : K] cette dimension. Une extension galoisienne
de corps sera dite abélienne si son groupe de Galois est abélien. Quand k
est un corps, on désignera par k une clôture séparable fixée de k (qui est
aussi une clôture algébrique si k est de caractéristique zéro ou parfait de
caractéristique p).
Si I, J sont deux idéaux bilatères d’un anneau A, on notera I · J ou IJ
l’idéal bilatère constitué des sommes d’un nombre fini d’éléments de la
NOTATIONS ET CONVENTIONS
7
forme ij avec i ∈ I et j ∈ J ; en particulier on pose I 2 = I · I. Un anneau A sera dit intègre s’il est commutatif, non nul, et si l’égalité ab = 0,
avec a, b ∈ A, implique a = 0 ou b = 0. Un anneau principal A est un
anneau intègre tel que tout idéal I de A soit de la forme aA avec a ∈ A. Un
anneau intègre A est dit intégralement clos si tout élément de son corps des
fractions qui est entier sur A (c’est-à-dire annule un polynôme unitaire à coefficients dans A) est dans A ; c’est le cas par exemple d’un anneau factoriel
(et a fortiori d’un anneau principal). Un idéal I d’un anneau commutatif A
est premier si le quotient A/I est un anneau intègre, maximal si A/I est
un corps.
PARTIE I
COHOMOLOGIE DES GROUPES
ET COHOMOLOGIE GALOISIENNE :
GÉNÉRALITÉS
Cette première partie est consacrée aux résultats généraux sur la cohomologie des groupes finis et profinis, qui peuvent d’ailleurs être utiles dans
des domaines des mathématiques autres que la théorie des nombres. Les
deux premiers chapitres présentent les bases de la théorie pour les groupes
finis. Le troisième est un peu plus spécialisé : il aboutit au théorème de
Tate-Nakayama, qui sera un outil essentiel dans notre approche de la théorie du corps de classes local et global. On passe ensuite à la généralisation
aux groupes profinis des notions vues dans les deux premiers chapitres, et
on développe le très important concept de dimension cohomologique. Enfin,
cette partie se termine avec l’une des principales applications de la théorie
générale, la cohomologie galoisienne, qui est omniprésente dans tout le livre,
et dont on voit au chapitre 6 les premières propriétés.
CHAPITRE 1
COHOMOLOGIE DES GROUPES FINIS :
PROPRIÉTÉS DE BASE
Le but de ce chapitre est de définir les groupes de cohomologie associés
à un groupe fini G et à ce qu’on appelle un G-module. Cette notion sera
essentielle dans toutes les applications arithmétiques que nous traiterons
dans cet ouvrage, notamment pour la théorie du corps de classes.
Beaucoup de définitions et propriétés de ce chapitre s’étendent à des
groupes G non nécessairement finis (on pourra consulter le chapitre VII de
[45] ou le chapitre 6 de [53] pour le cas d’un groupe quelconque). Nous avons
choisi de nous limiter ici au cas où G est fini qui, avec sa légère généralisation
aux groupes profinis (chapitre 4), sera le seul dont nous aurons besoin dans
la suite. Cela rendra notre exposé un peu plus simple, et évitera de surcroît
une confusion entre la cohomologie des groupes profinis telle qu’elle sera
définie au chapitre 4 et la cohomologie des groupes quelconques telle qu’elle
est définie dans les références ci-dessus, les deux notions ne coïncidant pas
en général pour un groupe profini quelconque.
Dans tout le chapitre, G désigne un groupe fini (dont la loi est notée multiplicativement et l’élément neutre 1). Rappelons que l’algèbre du groupe G
est l’ensemble Z[G] des sommes formelles
ng g,
ng ∈ Z
g∈G
muni de l’addition évidente et du produit de convolution
g∈G
ng g
g∈G
mg g
:=
ng mg gg .
(g,g )∈G×G
En particulier, Z[G] est un anneau, non commutatif si G n’est pas abélien.
12
CHAPITRE 1. COHOMOLOGIE DES GROUPES FINIS
1.1. Notion de G-module
Définition 1.1. Un G-module est la donnée d’un groupe abélien (A, +) et
d’une action à gauche (g, x) → g · x de G sur A telle que pour tout g de G
l’application ϕg : x → g · x de A dans A soit un morphisme de groupes
abéliens.
Autrement dit, se donner une structure de G-module sur un groupe abélien (A, +) revient à se donner une application
G × A −→ A,
(g, x) −→ g · x,
satisfaisant aux règles de calcul :
g · (g · x) = (gg ) · x,
1 · x = x,
g · (x + y) = g · x + g · y
pour tous g, g de G et pour tous x, y de A.
Notons aussi qu’avec les notations de la définition 1.1, ϕg est un automorphisme de A, de réciproque ϕg−1 . Si A est un groupe abélien, dont
on note Aut(A) le groupe des automorphismes, se donner une structure de
G-module sur A revient à se donner un morphisme de groupes de G dans
(Aut(A), ◦). De façon équivalente, un G-module est la donnée d’un module
(à gauche) sur l’anneau R := Z[G] : en effet, si A est un module sur l’anneau R, on définit une structure de G-module sur A par g · x = gx pour
tout (g, x) ∈ G × A ; réciproquement si A est un G-module, on le munit
d’une structure de module sur R en posant ( g∈G ng g)x = g∈G ng (g · x).
Comme G est fini, il est équivalent de dire que A est de type fini en tant que
groupe abélien ou en tant que R-module, on dira donc simplement dans ce
cas que le G-module A est de type fini .
Définition 1.2. Un morphisme de G-modules (ou G-morphisme, ou encore
G-homomorphisme) f : A → A est un morphisme de groupes abéliens qui
commute aux opérations de G, c’est-à-dire tel que f (g · x) = g · f (x) pour
tout x de A et tout g de G. Cela revient à dire que f est un morphisme de
R-modules.
On définit de manière évidente les notions d’isomorphisme de G-modules,
de sous-G-module, de suite exacte de G-modules, etc. Si A et A sont des
G-modules, on note alors HomG (A, A ) l’ensemble des G-morphismes de A
dans A ; c’est un groupe abélien pour l’addition, qui est un sous-groupe
du groupe HomZ (A, A ) des morphismes de groupes abéliens de A dans A
(non nécessairement compatibles avec l’action de G).
Exemple 1.3. a) Pour tout groupe abélien A, l’action triviale de G sur A
(définie par g · x = x pour tout g ∈ G et tout x ∈ A) fait de A un G-module.
b) Posons G = {±1} et M = Z. Alors l’opération de G sur M définie par
g · x = gx fait de M un G-module.
1.1. NOTION DE G-MODULE
13
c) Soit L une extension finie galoisienne de groupe G d’un corps K. Alors
le groupe additif L et le groupe multiplicatif L∗ := L − {0} sont tous deux
des G-modules pour l’action de G = Aut(L/K).
d) Soient A et B des G-modules. Le groupe Hom(A, B) := HomZ (A, B)
est muni d’une structure de G-module, définie par (g · f )(x) := g · f (g −1 · x)
pour tous g ∈ G, f ∈ Hom(A, B), x ∈ A.
e) L’algèbre de groupe Z[G] est un G-module pour l’action à gauche
de G. Plus généralement, si H est un sous-groupe de G, alors le groupe
abélien Z[G/H] := g∈G/H Z.g est un G-module, où G/H est l’ensemble
des classes à gauche selon H.
Nous allons maintenant voir comment on peut, si H est un sous-groupe
de G, construire un G-module à partir d’un H-module.
Définition 1.4. Soit G un groupe fini et soit H un sous-groupe de G. Soit A
H
un H-module. On définit un groupe abélien IG
(A) comme l’ensemble des
applications f : G → A satisfaisant à f (hg) = h · f (g) pour tous g ∈ G,
h ∈ H. Ce groupe abélien est alors muni d’une structure de G-module par
H
la formule (g · f )(g ) = f (g g) pour tous g, g de G. On dit que IG
(A) est
l’induit de H à G du H-module A.
Un cas particulier important est le suivant.
Définition 1.5. Soit G un groupe fini. Considérons le sous-groupe trivial {1}
de G. Soit A un groupe abélien, que l’on peut voir comme un {1}-module.
{1}
On note alors IG (A) l’induit IG (A) (cf. définition 1.4 dans le cas H = {1})
et on dit que IG (A) est le G-module induit du groupe abélien A.
On dit qu’un G-module M est induit s’il existe un groupe abélien A tel
que M soit isomorphe à IG (A).
Ainsi IG (A) est le groupe abélien des applications de G dans A, avec
l’action de G définie par (g · f )(g ) = f (g g).
Remarque 1.6. a) Noter que si un groupe abélien A est déjà muni d’une
certaine structure de G-module, alors IG (A) est isomorphe au G-module
F(G, A) défini (cf. [41], p. 31) comme l’ensemble des applications de G
dans A avec l’action (g · f )(g ) := g · f (g −1 g ) ; un isomorphisme de F(G, A)
dans IG (A) est en effet donné par f → (g → g · f (g −1 )) (je remercie Alexander Schmidt pour cette remarque).
b) Soit A un groupe abélien. On peut aussi voir le module induit IG (A)
comme le G-module HomZ (Z[G], A), l’action (à gauche) de G étant donnée
par l’action naturelle à droite sur le premier facteur. Comme nous avons
supposé G fini, il est facile de voir que ce G-module est isomorphe (non
canoniquement) à Z[G] ⊗ A, l’action de G étant cette fois-ci à gauche sur le
INDEX TERMINOLOGIQUE
H
homologie (groupes d’- ), 40
homomorphisme
croisé, 25
d’augmentation, 39
I
idéal
d’augmentation, 39
fractionnaire, 175
maximal, 7
premier, 7
principal, 175
principal (th. de l’-), 239
produit, 175
idèle, 180
fini, 180
principal, 180
S- , 184
indice
d’un sous-groupe fermé, 77
de ramification, 114
inflation, 27
J
jacobienne, 188
L
loi de réciprocité
globale, 218
quadratique, 221
M
Mittag-Leffler (condition de- ), 324
module
dualisant, 143
G- , 12
non ramifié, 151
plat, 320
morphisme
épi- , 314
de Frobenius, 116
de complexes, 327
de foncteurs, 317
de foncteurs cohomologiques, 27
de Frobenius, 179
de G-modules, 12
mono- , 314
strict, 6
N
nombre
p-adique, 112
surnaturel, 77
norme, 33, 39, 269
absolue, 299
noyau, 315
O
objet
acyclique, 19, 330
d’une catégorie, 313
final, 315
initial, 315
injectif, 324
noethérien, 314
projectif, 324
sous- , 314
zéro (ou nul), 315
ordre (d’un groupe profini), 77
P
place, 176
archimédienne, 176
décomposée, 189
divisant une autre place, 178
finie, 176
inerte, 198
non ramifiée, 178
totalement décomposée, 179, 189
Poitou-Tate
suite exacte de- , 284
théorème de- , 283
produit
dans une catégorie, 316
restreint, 180, 280
propre (application), 138
Q
quotient d’Herbrand, 51
R
réciprocité
application de- , 133
homomorphisme de- , 226
isomorphisme de- , 132, 225
résolution
complète standard, 42
injective, 19, 328
projective, 328
restriction, 27
S
sous-groupe
de congruence, 235
de torsion, 5
suite spectrale, 333
convergente, 334
de Hochschild-Serre, 32
des foncteurs composés, 336
effondrée, 335
symbole, 138
de Hilbert, 138
de Legendre, 139
343
344
de reste normique, 217
local, 138
T
Tate-Nakayama (th. de- ), 72
tore, 107
transfert, 45
transgression, 33
INDEX TERMINOLOGIQUE
U
uniformisante, 111
V
valuation, 111
p-adique, 112
variété abélienne, 77