EXALG020 – Mons, questions-types, 2000-2001

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Exercices résolus de mathématiques.
PRO 1
EXPRO010 – EXPRO019
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Jacques Collot
1 avril 03

www.matheux.be.tf - PRO 1 - 2 -
EXPRO010W
Une urne contient n boules blanches (n  4) et 10 boules noires.
On tire au hasard et simultanément 10 boules de l’urne.
On admet que tous les tirages sont équiprobables.
1) Calculer la probabilité Pn de tirer 5 boules noires et 5 seulement.
2) Etudier le sens des variations de Pn lorsque n croît (Calculer le rapport
Pn+1/Pn)
5
10
5
1010
55
10
1010
55
10 1
11011
55
10 1
111
1
)
Type de Nbre de Nbre de
boule boule cas
Noires 10 (On prend 5 boules noires)
Blanches (On prend 5 boules blanches)
Total 10
) De même :
n
n
n
nn
n
nn
n
n
n
n
a
C
nC
nC
CC
PC
CC
bP
C
CC
C
P
P
0 5 10
1 10
5 5 5 10
10 11
1010
1
1
1 ! 10 ! 5 !5! 1 !10!
1 5 !5! 10 10 !10! ! 11 !
1² ² 2 1
4 11 ² 7 44
est inférieur à 1 quand : ² 2 1 ² 7 44 9
Donc dès que 9; devient p
nn
n n n
n
n
n
n
CC
C C C C
C
n n n n
n n n n
nnn
n n n n
Pn n n n n
P
nP lus petit que qui
continue à décroitre avec n
P
n
Résolu le 27 février 2004

www.matheux.be.tf - PRO 1 - 3 -
EXPRO011W
Le clavier d’une machine comporte 42 touches, dont 8 chiffres et 26 lettres.
On frappe au hasard. Sachant que les touches sont équiprobables, calculer les
probabilités suivantes :
a) De taper une lettre.
b) De taper une suite de 5 lettres.
c) De taper le mot espoir.
6
26
) 0.62
42
) On admet que l'on peut frapper plusieurs fois la même touche :
26
0.09
42
1
) Probabilité de taper une lettre déterminée : 42
Donc la probabilité de taper le mot espoir est :
aP
b
P
cP
P
610
11.8210
42
C'est très peu probable.
Résolu le 27 février 2004

www.matheux.be.tf - PRO 1 - 4 -
EXPRO012W
Un cinéma bruxellois prévoit, pour l’année 2000, 365 spectacles différents dont
73 films policiers.
A) Quelles seront respectivement les probabilités p et q pour qu’une personne
entrant un jour, au hasard, dans ce cinéma assiste à
a. un film policier
b. un autre film
B) M Dupont va à ce cinéma une fois par mois, sans connaître à l’avance le
programme. Quelles seront respectivement les probabilités p1, p2, p3, et
p4 pour qu’il voie durant une année.
a. un film policier et un seul ?
b. douze films non policiers ?
c. au moins deux films policiers ?
d. quatre films non policiers et quatre seulement ?
1 11 11
1 12
12
2
On a deux évènements contraires, c'est donc une loi binomiale.
73
) ) 0.2
365
) 1 0.8
) ( ) 1
) 12 0.2 0.8 0.21
) 0.07
) Il est plus simple de calculer la prob
i
ii nx
xx
i i n
A a p
b q p
B f x P X x C p p
a p C pq
b p q
c
3 1 2
3 1 2
4 8 4 6 4
4 12
abilité de l'évènement
contraire :
1
1 0.72
) 495 0.41 2.5610 5.1910
C' est donc très peu probable.
p p p
p p p
d p C p q 
Résolu le 27 février 2004

www.matheux.be.tf - PRO 1 - 5 -
EXPRO013W
On jette un dé.
Si on obtient un 6, on gagne 5 Euro
Si on obtient un 5 ou un 4, on gagne 1 Euro
Si on obtient un 3 ou un 2, on gagne 0 Euro
Si on obtient un 1, on perd 0.5 Euro
Calculer
a) L’espérance mathématique
b) La variance
c) L’écart type
) Etablissons le tableau :
0.5 0 1 5
1 2 2 1
6 6 6 6
1 1 2 2 1
0 1 5 0.917
2 6 6 6 6
1 2 2 1
) 0.5 0.917 ² 0.917 ² 1 0.917 ² 5 0.917 ²
6 6 6 6
3.3957
) 1.8427
a
X
p
Ex
b V x
c V x
Résolu le 27 février 2004